行列式的一種計(jì)算技巧及其應(yīng)用

程波 何銘凱

【摘要】本文首先介紹了行列式計(jì)算的一種技巧，然后將此技巧應(yīng)用到特征多項(xiàng)式的計(jì)算，得到圖譜理論中一類圖的特征多項(xiàng)式.

【關(guān)鍵詞】行列式；特征多項(xiàng)式；圖譜

【基金項(xiàng)目】廣東外語外貿(mào)大學(xué)大學(xué)生創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目資助

行列式的計(jì)算是高等代數(shù)、線性代數(shù)等課程的一個(gè)重要內(nèi)容.n級(jí)行列式

玠et玜11猍]a12猍]…[]a1n

a21猍]a22猍]…[]a2n

骩]骩]鱗]螵

a﹏1猍]a﹏2猍]…[]a﹏n

等于所有取自不同行不同列的n個(gè)元素的乘積

a1﹋1猘2﹋2…a﹏﹋璶（1）

的代數(shù)和，這里j1j2…j璶是1,2,…,n的一個(gè)排列，每一項(xiàng)（1）都按下列規(guī)則帶有符號(hào)：當(dāng)j1j2…j璶是偶排列時(shí)，（1）帶有正號(hào)；當(dāng)j1j2…j璶是奇排列時(shí)，（1）帶有負(fù)號(hào).

這一定義可寫成

玠et玜11猍]a12猍]…[]a1n

a21猍]a22猍]…[]a2n

骩]骩]鱗]螵

a﹏1猍]a﹏2猍]…[]a﹏n=А苆1j2…j璶(-1)│(j1j2…j璶)?a1﹋1猘2﹋2…a﹏﹋璶，

這里А苆1j2…j璶П硎徑運(yùn)有n級(jí)排列求和.

定義表明，為了計(jì)算n級(jí)行列式，首先作所有可能由位于不同行不同列元素構(gòu)成的乘積.把構(gòu)成這些乘積的元素按行指標(biāo)排成自然順序，然后由列指標(biāo)所成的排列的奇偶性來決定這一項(xiàng)的符號(hào).

除定義外，主要的計(jì)算方法有拉普拉斯降階方法、三角化方法、遞推法等，參見文獻(xiàn)［1］和［2］.以下我們介紹爪型行列式的一種計(jì)算方法，并應(yīng)用它來求一類圖的特征多項(xiàng)式.

1.爪型行列式的計(jì)算方法

我們通過一個(gè)例子來介紹爪型行列式的這種計(jì)算方法.

例 計(jì)算行列式

玠et玜0[]b1[]b2[]b3

c1[]a1

c2[][]a2

c3[][][]a3

，

其中a1，a2，a3均不為0.

解 將行列式第2列、第3列、第4列分別提取因子a1，a2，a3，然后把上述列的-c1倍，-c2倍，-c3倍都加到第1列，則原行列式轉(zhuǎn)化成上三角形行列式，所以

г式=a1a2a3a0 b1[]a1 b2[]a2[SX)] b3[]a3

c1 1

c21

c31

=a1a2a3a0-∑3[]i=1b璱c璱[]a璱

.

2.在圖譜理論中的應(yīng)用

圖譜理論研究圖的各種對(duì)應(yīng)矩陣的譜性質(zhì)，圖的無符號(hào)拉普拉斯矩陣是近年來在圖譜研究中十分活躍的課題，參見文獻(xiàn)［3］.

設(shè)G是一個(gè)圖，v1,v2,…,v璶是它的所有頂點(diǎn)，那么n階矩陣A=(a﹊j)稱為G的鄰接矩陣，其中a﹊j=1, 若v璱與v璲鄰接，

0，其他.

定義D為對(duì)角陣玠iag(d1,d2,…,d璶)，其對(duì)角元d璱為v璱在G中的度數(shù).那么A+D稱為G的無符號(hào)拉普拉斯矩陣.

A+D的特征多項(xiàng)式的計(jì)算并不是一件容易的事情，下面利用前面介紹的行列式計(jì)算技巧計(jì)算一類圖的無符號(hào)拉普拉斯矩陣的特征多項(xiàng)式.

設(shè)有c條相互獨(dú)立的邊及（n-2c）個(gè)孤立點(diǎn)，在其中取一個(gè)孤立點(diǎn)，將這點(diǎn)與其他（n-1）個(gè)點(diǎn)都連接，這樣得到的圖稱為花束圖，這類圖在文獻(xiàn)［4］中討論過.

對(duì)于這類圖，A=0[]J1,n-2c-1猍]J1,2c

，其中0表示零矩陣，J﹑,q表示p×q階全1矩陣，F(xiàn)璽=

2t×2t，

而且D=玠iag(n-1,1,…,1,2,…,2).

那么A+D的特征多項(xiàng)式

Φ(A+D,x)=玠et玿-n+1[]-J1，n-2c-1猍]-J1,2c

-J﹏-2c-1,1猍](x-1)?I﹏-2c-1猍]0

-J2c,1猍]0[](x-2)?I2c-F璫，

其中I璸表示p階單位矩陣.從而上述行列式第2列、第3列、……、第（n-2c）列分別提取因子(x-1)，然后把上述列都加到第1列，降階得到

Φ(A+D,x)=(x-1)﹏-2c-1?玠et玜-J1,2c

-J2c,1 (x-2)?I2c-F璫

，

這里a=x-n+1-n-2c-1[]x-1.

進(jìn)一步計(jì)算，得

Φ(A+D,x)=(x-1)﹏-2c-1(x-3)(x-1)?┆玠et玜-2[]x-3 -J1,2c-2

-J2c-2,1 (x-2)?I2c-2-Fヽ-1=(x-1)﹏-2c-1(x-3)琧(x-1)琧?a-2c[]x-3=（x-1)﹏-2c-1(x-3)琧(x-1)琧?﹛-猲+1-n-2c-1[]x-1-2c[]x-3

=(x-1)﹏-c-2(x-3)ヽ-1(x3-(n+3)x2+3nx-4c).

這里我們反復(fù)運(yùn)用上述行列式的計(jì)算技巧，得到了最后的結(jié)果.