“錯(cuò)位”問(wèn)題解法探討“錯(cuò)位”問(wèn)題解法探討

何正榮

【摘要】“錯(cuò)位”排列是高中數(shù)學(xué)中排列組合一章的難點(diǎn)，很多同學(xué)對(duì)相關(guān)問(wèn)題或無(wú)從下手，或分析的思路混亂.其實(shí)，該類(lèi)型的題目其規(guī)律性很強(qiáng)，掌握了規(guī)律，相關(guān)問(wèn)題可迎刃而解.在此，通過(guò)對(duì)典型的題目進(jìn)行分析，探討總結(jié)解此類(lèi)題的規(guī)律.

【關(guān)鍵詞】錯(cuò)位；解法；探討；規(guī)律オ

問(wèn)題(部分指定元素“錯(cuò)位”) 編號(hào)為1號(hào)至n(n≥2)號(hào)的n名運(yùn)動(dòng)員，分別從編號(hào)為1號(hào)至n號(hào)的n個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中各選擇1個(gè)不同的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目進(jìn)行訓(xùn)練.如果1號(hào)至k號(hào)(k＜n)的k名運(yùn)動(dòng)員不選擇與自身編號(hào)相同的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目,求滿(mǎn)足條件的不同選擇種數(shù).

解法1 利用容斥原理求解.

容斥原理：對(duì)k個(gè)集合M1，M2，…，M璳，則

玞ard(M1∪M2∪…∪M璳)

=А1≤i≤kИ玞ard(M璱)-А1≤i1

其中А1≤i1

設(shè)i(i≤k)號(hào)運(yùn)動(dòng)員選擇i號(hào)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，其余運(yùn)動(dòng)員在其余運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中各選擇1個(gè)不同的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目時(shí)，所有選擇結(jié)果為元素構(gòu)成集合M璱.則這樣的集合有M1,M2,…,M璳共獵1璳個(gè)，每個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)均為獳﹏-1﹏-1，這獵1璳個(gè)集合元素個(gè)數(shù)之和

А1≤i≤kИ玞ard(M璱)=獵1璳?獳﹏-1﹏-1.

從集合M1,M2,…,M璳中任取m(2≤m＜k)個(gè)集合的交集有獵玬璳個(gè)，每個(gè)交集均為指定1號(hào)至k號(hào)運(yùn)動(dòng)員中的m名運(yùn)動(dòng)員選擇與自身編號(hào)相同的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，其余n-m名運(yùn)動(dòng)員在其余n-m項(xiàng)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中各選擇1個(gè)不同的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目時(shí)，所有選擇結(jié)果為元素構(gòu)成的集合，所以每個(gè)交集的元素個(gè)數(shù)均為獳﹏-m﹏-m，這獵玬璳個(gè)交集的元素個(gè)數(shù)之和

А1≤i1

交集M1∩M2∩…∩M璳是1號(hào)至k號(hào)運(yùn)動(dòng)員均不選擇與自身編號(hào)相同的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，其余n-k名運(yùn)動(dòng)員在其余n-k項(xiàng)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中各選擇1個(gè)不同的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目時(shí)，所有選擇結(jié)果為元素構(gòu)成的集合，所以其元素個(gè)數(shù)

玞ard(M1∩M2∩…∩M璳)=獳﹏-k﹏-k=獵琸璳?獳﹏-k﹏-k.

由容斥原理，得

玞ard(M1∪M2∪…∪M璳)=獵1璳?獳﹏-1﹏-1-獵2璳?獳﹏-2﹏-2+…+（-1）﹎-1獵琺璳?獳﹏-m﹏-m+…+（-1）﹌-1獵玨璳?獳﹏-k﹏-k.①

而并集M1∪M2∪…∪M璳是1號(hào)至k號(hào)運(yùn)動(dòng)員中至少有一名運(yùn)動(dòng)員選擇與自身編號(hào)相同的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目時(shí)，所有選擇結(jié)果為元素構(gòu)成的集合，所以其補(bǔ)集就是1號(hào)至k號(hào)運(yùn)動(dòng)員均不選擇與自身編號(hào)相同的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目時(shí)，所有選擇結(jié)果為元素構(gòu)成的集合，其元素個(gè)數(shù)即為所求的不同選擇種數(shù)，記所求的不同選擇種數(shù)為a﹏,k，于是

a﹏,k=獳琻璶-玞ard(M1∪M2∪…∪M璳).②

由①和②得：

a﹏,k=獳琻璶-獵1璳?獳﹏-1﹏-1+獵2璳?獳﹏-2﹏-2-…+（-1）琸獵玨璳?獳﹏-k﹏-k.這就是原問(wèn)題的求解公式.

解法2 用數(shù)學(xué)歸納法求解.

為方便敘述，把k=m時(shí)滿(mǎn)足條件的不同選擇種數(shù)記為a﹏,m.

當(dāng)k=1，即“1號(hào)運(yùn)動(dòng)員不選擇1號(hào)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，每名運(yùn)動(dòng)員各選擇1個(gè)不同運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目”時(shí)，其對(duì)立事件“1號(hào)運(yùn)動(dòng)員選擇1號(hào)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，其余運(yùn)動(dòng)員各選擇1個(gè)不同運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目”的不同選擇種數(shù)為

獳﹏-1﹏-1，所以a﹏,1=獳琻璶-獳﹏-1﹏-1.③

k=1時(shí)分為兩種情形：

一是“2號(hào)運(yùn)動(dòng)員選擇2號(hào)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目”，這是去掉了2號(hào)運(yùn)動(dòng)員和2號(hào)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的問(wèn)題，由③得滿(mǎn)足條件的不同選擇種數(shù)

a﹏-1,1=獳﹏-1﹏-1-獳﹏-2﹏-2；

二是“2號(hào)運(yùn)動(dòng)員不選擇2號(hào)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目”，這就是k=2時(shí)的情形，其不同選擇種數(shù)為a﹏,2，所以

a﹏,2=a﹏,1-a﹏-1,1=獳琻璶-獳﹏-1﹏-1-(獳﹏-1﹏-1-獳﹏-2﹏-2)

=獵02?獳琻璶-獵12?獳﹏-1﹏-1＋獵22?獳﹏-2﹏-2.④

同理k=2時(shí)分兩種情形：

一是“3號(hào)運(yùn)動(dòng)員選擇3號(hào)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目”，這就是去掉了3號(hào)運(yùn)動(dòng)員和3號(hào)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的問(wèn)題，其不同選擇種數(shù)為a﹏-1,2，由④得

a﹏-1,2=獵02?獳﹏-1﹏-1-獵12?獳﹏-2﹏-2＋獵22?獳﹏-3﹏-3；

二是“3號(hào)運(yùn)動(dòng)員不選擇3號(hào)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目”，即k=3時(shí)的情形，其不同選擇種數(shù)為a﹏,3，

所以

a﹏,3=a﹏,2-a﹏-1,2

=獵02?獳琻璶-獵12?獳﹏-1﹏-1＋獵22?獳﹏-2﹏-2-(獵02?獳﹏-1﹏-1-┆獵12?獳﹏-2﹏-2+獵22?獳﹏-3﹏-3)

=獵03?獳玭璶-獵13?獳﹏-1﹏-1＋獵23?獳﹏-2﹏-2-獵33?獳﹏-3﹏-3.

設(shè)k=m時(shí)，

a﹏,m=獵0璵?獳琻璶-獵1璵?獳﹏-1﹏-1＋獵2璵?獳﹏-2﹏-2-…＋(-1)琺獵玬璵?獳﹏-m﹏-m成立.⑤

下面證明當(dāng)k=m＋1時(shí)，

a﹏,m+1=獵0﹎+1?獳琻璶-獵1﹎+1?獳﹏-1﹏-1＋獵2﹎+1?獳﹏-2﹏-2-…＋(-1)琺獵玬﹎+1?獳﹏-m﹏-m＋(-1)﹎+1獵﹎+1﹎+1?獳﹏-(m+1)﹏-(m+1)成立.

同理k=m時(shí)分為兩種情形：

一是“m＋1號(hào)運(yùn)動(dòng)員選擇了m＋1號(hào)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目”，這就是去掉了m＋1號(hào)運(yùn)動(dòng)員和m＋1號(hào)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目問(wèn)題，其不同選擇種數(shù)為a﹏-1,m，由⑤得

a﹏-1,m=獵0璵?獳﹏-1﹏-1-獵1璵?獳﹏-2﹏-2+獵2璵?獳﹏-3﹏-3-…+（-1）﹎-1獵﹎-1璵?獳﹏-m﹏-m+(-1)琺獵琺璵?獳﹏-m-1﹏-m-1;

二是“m＋1號(hào)運(yùn)動(dòng)員不選m＋1號(hào)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目”，這就是k=m+1時(shí)的情形，其不同選擇種數(shù)為a﹏,m+1，所以

a﹏,m+1=a﹏,m-a﹏-1,m=獵0玬?獳玭璶-獵1璵?獳﹏-1﹏-1＋獵2璵?獳﹏-2﹏-2-…

＋（-1）﹎-1獵﹎-1璵?獳﹏-m+1﹏-m+1＋(-1)﹎獵琺璵?獳﹏-m﹏-m-［獵0璵?獳﹏-1﹏-1-獵1璵?獳﹏-2﹏-2＋…＋(-1)﹎-1?獵﹎-1璵?獳﹏-m﹏-m＋(-1)﹎獵玬璵?獳﹏-m-1﹏-m-1］=獵0玬?獳玭璶-(獵1璵＋獵0璵)獳﹏-1﹏-1＋(獵2璵＋獵1玬)獳﹏-2﹏-2＋…＋［(-1)琺獵琺璵-(-1)﹎-1獵﹎-1璵］獳﹏-m﹏-m-(-1)琺獵琺璵?獳﹏-m-1﹏-m-1.

因?yàn)楂C玬璶+獵﹎-1璶=獵﹎﹏+1，

所以獵1璵＋獵0璵=獵1﹎+1，獵2璵＋獵1璵=獵2﹎+1，…，オ獵琺璵＋獵﹎-1﹎=獵琺﹎+1.

而獵0璵=獵0﹎+1，(-1)琺獵琺璵-(-1)﹎-1獵﹎-1璵=(-1)琺(獵琺璵＋獵﹎-1璵)，-(-1)琺獵琺璵=(-1)﹎+1獵﹎+1﹎+1，所以k=m＋1時(shí)，

a﹏,m+1=獵0﹎+1?獳琻璶-獵1﹎+1?獳﹏-1﹏-1＋獵2﹎+1?獳﹏-2﹏-2-…＋(-1)琺獵琺﹎+1?獳﹏-m﹏-m＋(-1)﹎+1獵﹎+1﹎+1?獳﹏-(m+1)﹏-(m+1）成立.

綜上所述，得

a﹏,k=獵0璳?獳琻璶-獵1璳?獳﹏-1﹏-1＋獵2璳?獳﹏-2﹏-2-…＋(-1)琸獵琸璳?獳﹏-k﹏-k.這與容斥原理的解法殊途同歸.

變式1(完全“錯(cuò)位”) 編號(hào)為1號(hào)至n(n≥2)號(hào)的n名運(yùn)動(dòng)員，分別從編號(hào)為1號(hào)至n號(hào)的n個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中各選擇1個(gè)不同運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目進(jìn)行訓(xùn)練.如果每名運(yùn)動(dòng)員均不選擇與自身編號(hào)相同的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，求滿(mǎn)足條件的不同選擇種數(shù).

解法1 用原問(wèn)題的求解公式求解.

原問(wèn)題中，當(dāng)k=n時(shí)，就是完全“錯(cuò)位”問(wèn)題.令獳00=1，得

a﹏,n=獵0璶?獳琻璶-獵1璶?獳﹏-1﹏-1＋…＋(-1)﹏-1獵﹏-1璶?獳11＋(-1)琻獵琻璶?獳00.這就是完全“錯(cuò)位”問(wèn)題的求解公式.

解法2 用遞推法求解.

遞推法1 設(shè)n=k時(shí)，滿(mǎn)足條件的選擇種數(shù)為a﹌,k.

分兩步考慮：第一步，首先由1號(hào)運(yùn)動(dòng)員選擇運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，選擇種數(shù)為n-1.第二步，若1號(hào)運(yùn)動(dòng)員選擇的是i號(hào)(i≤﹏且猧≠1)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，則由i號(hào)運(yùn)動(dòng)員第二個(gè)選擇運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，i號(hào)運(yùn)動(dòng)員的選擇分為兩類(lèi)：第一類(lèi)是i號(hào)運(yùn)動(dòng)員選擇1號(hào)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，此時(shí)1號(hào)運(yùn)動(dòng)員和i號(hào)運(yùn)動(dòng)員的選擇確定了，這就是“n-2名運(yùn)動(dòng)員和n-2個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目”的完全“錯(cuò)位”問(wèn)題，選擇種數(shù)為a﹏-2,n-2；第二類(lèi)是i號(hào)運(yùn)動(dòng)員不選擇1號(hào)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，此時(shí)1號(hào)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目替代了i號(hào)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的作用(因?yàn)閕號(hào)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目不會(huì)被再選擇)，這就是“n-1名運(yùn)動(dòng)員和n-1個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目”的完全“錯(cuò)位”問(wèn)題，選擇種數(shù)為a﹏-1,n-1，于是得：a﹏,n=(n-1)(a﹏-2,n-2＋a﹏-1,n-1)(n≥4).⑥

顯而易見(jiàn)，n=2時(shí)，a2,2=1；n=3時(shí)，a3,3=2，所以式⑥是完全“錯(cuò)位”問(wèn)題求解的遞推公式.此式表達(dá)簡(jiǎn)潔且分散了運(yùn)算量.

遞推法2 “n名運(yùn)動(dòng)員從n個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中各選擇1個(gè)不同項(xiàng)目”選擇種數(shù)為獳琻璶，可分為n類(lèi)：n名運(yùn)動(dòng)員均不選擇與自身編號(hào)相同的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，選擇種數(shù)為a﹏,n；n名運(yùn)動(dòng)員中有且只有1名運(yùn)動(dòng)員選擇與自身編號(hào)相同的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，選擇種數(shù)為獵1璶?a﹏-1,n-1；n名運(yùn)動(dòng)員中有且只有2名運(yùn)動(dòng)員選擇與自身編號(hào)相同的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，選擇種數(shù)為獵2璶?a﹏-2,n-2；…；n名運(yùn)動(dòng)員中有且只有n-2名運(yùn)動(dòng)員選擇與自身編號(hào)相同的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，選擇種數(shù)為獵﹏-2璶?a2,2；所有運(yùn)動(dòng)員均選擇選擇與自身編號(hào)相同的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，選擇種數(shù)為1(n名運(yùn)動(dòng)員中不可能有且只有n-1名運(yùn)動(dòng)員選擇與自身編號(hào)相同的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目).于是得

a﹏,n=獳琻璶-獵1璶?a﹏-1,n-1-獵2璶?a﹏-2,n-2-…-獵﹏-2璶?a2,2-1(n≥3，a2,2=1).此式也是完全“錯(cuò)位”問(wèn)題求解的遞推公式，只是沒(méi)有遞推法1中的遞推公式簡(jiǎn)潔.

利用遞推法2的分析思路，也可得到原問(wèn)題求解的一種遞推方法.原問(wèn)題可以這樣分類(lèi)：k＋1號(hào)至n號(hào)運(yùn)動(dòng)員中，每名運(yùn)動(dòng)員均不選擇與自身編號(hào)相同的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目(即沒(méi)有運(yùn)動(dòng)員選擇與自身編號(hào)相同的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目)，選擇種數(shù)為a﹏,n；k＋1號(hào)至n號(hào)運(yùn)動(dòng)員中有且只有1名運(yùn)動(dòng)員選擇與自身編號(hào)相同的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，選擇種數(shù)為獵1﹏-k?a﹏-1,n-1；k＋1號(hào)至n號(hào)運(yùn)動(dòng)員中有且只有2名運(yùn)動(dòng)員選擇與自身編號(hào)相同的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，選擇種數(shù)為獵2﹏-k?a﹏-2,n-2；…；k＋1號(hào)至n號(hào)運(yùn)動(dòng)員中所有運(yùn)動(dòng)員均選擇與自身編號(hào)相同的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目(即有n-k名運(yùn)動(dòng)員選擇與自身編號(hào)相同的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目)，選擇種數(shù)為獵﹏-k﹏-k?a﹌,k.所以

a﹏,k=a﹏,n＋獵1﹏-k?a﹏-1,n-1＋獵2﹏-k?a﹏-2,n-2＋…＋┆獵﹏-k﹏-k?猘﹌,k.

變式2(限額“錯(cuò)位”) 編號(hào)為1號(hào)至n(n≥2)號(hào)的n名運(yùn)動(dòng)員，分別從編號(hào)為1號(hào)至n號(hào)的n個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中各選擇1個(gè)不同的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目進(jìn)行訓(xùn)練，求有且只有k(1≤k≤n)名運(yùn)動(dòng)員不選擇與自身編號(hào)相同的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的不同選擇種數(shù).

簡(jiǎn)析 由題意知，n名運(yùn)動(dòng)員中，有n-k名運(yùn)動(dòng)員所選擇的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的編號(hào)與自身編號(hào)相同，所以不同選擇種數(shù)為獵﹏-k璶?a﹌,k.

變式3(部分元素“錯(cuò)位”) 編號(hào)為1號(hào)至n(n≥2)號(hào)的n名運(yùn)動(dòng)員，分別從編號(hào)為1號(hào)至n號(hào)的n個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中各選擇1個(gè)不同的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目進(jìn)行訓(xùn)練，求至少有k(1≤k＜n)名運(yùn)動(dòng)員不選擇與自身編號(hào)相同的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的不同選擇種數(shù).

簡(jiǎn)析 至少有k名運(yùn)動(dòng)員不選擇與自身編號(hào)相同的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目包含：n名運(yùn)動(dòng)員均不選擇與自身編號(hào)相同的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，即沒(méi)有運(yùn)動(dòng)員選擇與自身編號(hào)相同的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，其選擇種數(shù)為a﹏,n；有且僅有n-1名運(yùn)動(dòng)員不選擇與自身編號(hào)相同的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，即有且僅有1名運(yùn)動(dòng)員選擇與自身編號(hào)相同的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，選擇種數(shù)為獵1璶?a﹏-1,n-1；…；有且僅有k＋1

名運(yùn)動(dòng)員不選擇與自身編號(hào)相同的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，即有且僅有﹏-猭-1名運(yùn)動(dòng)員選擇與自身編號(hào)相同的項(xiàng)目選擇種數(shù)為獵﹏-k-1璶?a﹌+1,k+1；有且僅有k名運(yùn)動(dòng)員不選擇與自身編號(hào)相同的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，即有且僅有n-k名運(yùn)動(dòng)員不選擇與自身編號(hào)相同的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，選擇種數(shù)為獵﹏-k璶?a﹌,k.所以，至少有k名運(yùn)動(dòng)員不選擇與自身編號(hào)相同的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的不同選擇種數(shù)為

a﹏,n＋獵1璶?a﹏-1,n-1＋…＋獵﹏-k-1璶?a﹌+1,k+1＋獵﹏-k璶?a﹌,k.

變式4 從編號(hào)為1號(hào)至n(n≥2)號(hào)的n名運(yùn)動(dòng)員中抽出m(m＜n)名運(yùn)動(dòng)員，分別在編號(hào)為1號(hào)至m號(hào)的m項(xiàng)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中選擇1個(gè)不同運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目進(jìn)行訓(xùn)練.如果1號(hào)至k(k＜m)號(hào)運(yùn)動(dòng)員均不選擇與自身編號(hào)相同的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，求滿(mǎn)足條件的不同選擇種數(shù).

簡(jiǎn)析 當(dāng)m≤n-k時(shí)，1號(hào)至k號(hào)運(yùn)動(dòng)員中被抽出的人數(shù)可以是0至k，所以此時(shí)分為k＋1類(lèi)：1號(hào)至k號(hào)運(yùn)動(dòng)員中被抽出的人數(shù)為0，k＋1號(hào)至n號(hào)運(yùn)動(dòng)員中被抽出的人數(shù)為m，滿(mǎn)足條件的不同選擇種數(shù)為獳﹎﹏-k；1號(hào)至k號(hào)運(yùn)動(dòng)員中被抽出的人數(shù)為1，k＋1號(hào)至n號(hào)運(yùn)動(dòng)員中被抽出的人數(shù)為m-1，此時(shí)被抽出的m名運(yùn)動(dòng)員中有1名“錯(cuò)位”，所以滿(mǎn)足條件的不同選擇種數(shù)為獵1璳?獵﹎-1﹏-k?a﹎,1；…；1號(hào)至k號(hào)運(yùn)動(dòng)員中被抽出的人數(shù)為k，k＋1號(hào)至n號(hào)運(yùn)動(dòng)員中被抽出的人數(shù)為m-k，此時(shí)被抽出的m名運(yùn)動(dòng)員中有k名“錯(cuò)位”，所以滿(mǎn)足條件的不同選擇種數(shù)為獵琸璳?獵﹎-k﹏-k?a﹎,k.所以滿(mǎn)足條件的不同選擇種數(shù)為：獳玬﹏-k＋獵1璳?獵﹎-1﹏-k?a﹎,1＋…＋獵琸璳?獵﹎-k﹏-k?a﹎,k.

當(dāng)m＞n-k時(shí)，1號(hào)至k號(hào)運(yùn)動(dòng)員中被抽出的人數(shù)可以是m＋k-n至k，所以此時(shí)分為n-m＋1類(lèi)：1號(hào)至k號(hào)運(yùn)動(dòng)員中被抽出的人數(shù)為m＋k-n，k＋1號(hào)至n號(hào)運(yùn)動(dòng)員中被抽出的人數(shù)為n-k，此時(shí)被抽出的m名運(yùn)動(dòng)員中有m＋k-n名“錯(cuò)位”，所以滿(mǎn)足條件的不同選擇種數(shù)為獵﹎+k-n璳?獵﹏-k﹏-k?a﹎,m+k-n；1號(hào)至k號(hào)運(yùn)動(dòng)員中被抽出的人數(shù)為m＋k-n＋1，k＋1號(hào)至n號(hào)運(yùn)動(dòng)員中被抽出的人數(shù)為n-k-1，此時(shí)被抽出的m名運(yùn)動(dòng)員中有m＋k-n＋1名“錯(cuò)位”，所以滿(mǎn)足條件的不同選擇種數(shù)為獵﹎+k-n+1璳?獵﹏-k-1﹏-k?a﹎,m+k-n+1；…；1號(hào)至k號(hào)運(yùn)動(dòng)員中被抽出的人數(shù)為k，k＋1號(hào)至n號(hào)運(yùn)動(dòng)員中被抽出的人數(shù)為m-k，此時(shí)被抽出的m名運(yùn)動(dòng)員中有k名“錯(cuò)位”，所以滿(mǎn)足條件的不同選擇種數(shù)為獵﹌璳?獵﹎-k﹏-k?a﹎,k.所以滿(mǎn)足條件的不同選擇種數(shù)為：獵﹎+k-n璳?獵﹏-k﹏-k?a﹎,m+k-n＋獵﹎+k-n+1璳?獵﹏-k-1﹏-k?a﹎,m+k-n+1＋…＋獵琸璳?獵﹎-k﹏-k?a﹎,k.

【參考文獻(xiàn)】

葛軍主編.新編高中數(shù)學(xué)奧賽指導(dǎo)（2005年10月第3版）.第2頁(yè)、第3頁(yè)、第4頁(yè).