以退求進(jìn)妙解高等代數(shù)一類共性問題

張仕清

1.一類共性問題

(1)A=(a﹊j)﹏×n，a﹊j∈p，則AX=β關(guān)于任意的β∈p﹏×1有解，當(dāng)且僅當(dāng)|A|≠0.

證明 ①充分性：|A|≠0時(shí)，由獵rarner法則，對(duì)于任意的β∈p﹏×1，AX=β有唯一解.

②必要性：特別的取β璱=ε璱，其中ε璱為單位陣的列作成的向量，i=1,2,3…,n， 由題意知AX璱=ε璱有解， 即(AX1AX2…AX璶)=(ε1ε2…ε璶)有解，亦即A（X1X2…X璶)=(ε1ε2…ε璶)=E璶.令B=(X1X2…X璶)，即有AB=E璶有解.顯然的，A非奇異，故而|A|≠0.現(xiàn)證AX=β關(guān)于任意的β∈p﹏×1有解，當(dāng)且僅當(dāng)AX=ε璱(i=1,2,…,n)有解.必要性不證自明，現(xiàn)證充分性：AX=ε璱(i=1,2,…,n)有解，即存在X璱=p﹏×1┦溝錨狝X璱=ε璱成立，從而對(duì)于任意的β∈p﹏×1，β=А苙[]i=1x璱ε璱=おА苙[]i=1(x璱AX璱)=AА苙[]i=1(x璱X璱)=AX,其中X=А苙[]i=1(x璱X璱).綜上，命題即證.

(2)如果n(n>1)階行列式中各行各列元素之和均為0，則該行列式的每個(gè)元素的代數(shù)余子式均相等.

證明 先證明任意兩個(gè)相鄰元素的代數(shù)余子式相等.令此行列式為|α1α2…α璶|，其中α璱∈p﹏×1，i=1,2,…，n，α璱=a﹊1

a﹊2

螵a﹊n

，則有α璱=А苙[]j-1,j≠iЕ聯(lián)璲，從而M﹊+1j=-M﹊j,A﹊j=(-1)﹊+j狹﹊j，A﹊+1j=(-1)﹊+1+j狹﹊+1j=(-1)﹊+1+j(-M﹊j)=（-1）﹊+1+j+1.M﹊j=（-1）﹊+j狹﹊j=A﹊j，即有A﹊+1j=A﹊j，A﹊j+1=(-1)﹊+j+1狹﹊j+1=（-1）﹊+j+1(-M﹊j)=(-1)﹊+j+1+1狹﹊j=(-1)﹊+j狹﹊j=A﹊j，即有A﹊j+1=A﹊j，綜上有A﹊j=A﹊+1j=A﹊j+1；一般地記A﹊j是a﹊j的代數(shù)余子式，A1m是a1m的代數(shù)余子式，不失一般性，記i≥1（否則令A(yù)﹊j與A1m對(duì)調(diào)），則有A1m=A1+1m=A1+2m=…=A﹊m，仍不失一般性，記j≥m（否則令A(yù)﹊j與A﹊m對(duì)調(diào)），則有A﹊m=A﹊m+1=A﹊m+2=…=A﹊j，綜上即有A1m=A﹊j，由i,j,1,m的任意性，命題即證.

(3)令A(yù)∈p﹏×n，對(duì)任意的B∈p﹏×n，AB=BA成立，當(dāng)且僅當(dāng)A為數(shù)量陣.

證明 當(dāng)A為數(shù)量陣時(shí)，結(jié)論自然成立，下證必要性：

取B=E﹊j(i,j=1,2,…，n)，A=a11猍]…[]a1n

，AB=BA，則有゛﹊j=0(i≠j)，a﹊i=a﹋j(i,j=1,2,…,n),即有A=a11狤.一般地，由于矩陣組E﹊j(i,j=1,2,…，n)作成矩陣空間的一組基底，從而對(duì)任意的B∈P﹏×n，B=А苙[]i,j=1b﹊j狤﹊j,(b﹊j∈p)，則有AB=AА苙[]i,j=1b﹊j狤﹊j=А苙[]i,j=1(Ab﹊j狤﹊j)=А苙[]i,j=1(b﹊j狝E﹊j)=А苙[]i,j=1(b﹊j狤﹊j狝)=(А苙[]i,j=1b﹊j狤﹊j)A=BA.綜上對(duì)任意的B∈P﹏×n，AB=BA成立時(shí)，A為數(shù)量陣.

(4)令A(yù)=P﹏×n，若關(guān)于任意的X=x1う螵x璶∈P琻，AX=θ，則A=θ.

證明 取X璱=ε璱，ε璱為單位陣的列作成的向量，則有Aε璱=θ(i=1,2,…,n)，即有A(ε1ε2…ε璶)=AE=θ，從而〢=θ；一般地由于向量組ε璱(i=1,2,…，n)作成向量空間P琻的一組基底，從而關(guān)于任意的X=x1う螵x璶∈P琻，X=А苙[]i=1x璱ε璱,﹛璱∈狿，則有AX=AА苙[]i=1x璱ε璱=А苙[]i=1x璱Aε璱=А苙[]i=1x璱θ=θ.綜上，命題得證.

(5)任何秩為r(r>0)的矩陣都可以表示為r個(gè)秩為1的矩陣之和.

證明 記A∈P﹎×n，r瑼=r(r>0)，當(dāng)A為A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型A時(shí)，則A=A1+A2+…+A璻，其中A璱只有對(duì)角線上第i個(gè)元素為1，其余位置均為0，即有r〢璱=1，(i=1,2,…,r).對(duì)于一般的矩陣A，存在數(shù)域P上的可逆矩陣P﹎×n和Q﹏×n，使得PAQ=E(r)，其中r=r瑼，即有PAQ=E11+E22+…+E﹔r,〦﹊i∈狿﹎×n(i=1,2,…,r)只有對(duì)角線上第i個(gè)元素為1，其余位置均為0，r〦﹊i=1,(i=1,2,…，r)，則有A=P-1狤11猀-1+㏄-1狤22猀-1+…+P-1狤﹔r猀-1=A1+A2+…+A璻,A璱=P-1狤﹊i猀-1，其中r〢璱=1,(i=1,2,…,r)，命題即證.

(6)A∈P﹎×n,B∈P﹏×m,m≥n,則有Δ〢B（x)=x﹎-nΔ〣A(x).

證明 特別地，當(dāng)m=n且A可逆時(shí)，BA=A-1(AB)A，即AB=BA相似，從而Δ〢B(x)=Δ〣A(x)；當(dāng)A=E璻[]θ

θ[]θ時(shí)，對(duì)B進(jìn)行合理分塊，B=B1[]B2

B3[]B4

，則有AB=B1[]B2

θ[]θ

，〣A=狟1[]θ

B3[]θ

，故而Δ〢B(x)=|xE璵-AB|=x﹎-r獆xE璻-B1|;Δ〣A(x)=|xE璶-BA|=x﹏-r獆xE璻-B1|，從而有Δ〢B(x)=x﹎-nΔ〣A(x).一般地，r瑼=r，從而存在可逆矩陣P∈P﹎×m，Q﹏×n，使得

A=PE璻[]θ

θ[]θQ=PE(r)猀，于是Δ〢B(x)=Δ㏄E(r)猀B(x)=Δ〦(r)猀BP(x)=x﹎-nΔ㏎BPE(r)(x)=x﹎-nΔ〣PE(r)猀(x)=x﹎-nΔ〣A(x).プ凵廈題即證.

以上所列舉的幾個(gè)命題僅是高等代數(shù)中的幾個(gè)問題，在浩瀚的高等代數(shù)知識(shí)中有無數(shù)的課題等待著人們?nèi)パ芯?，去發(fā)現(xiàn).當(dāng)研究這些問題的時(shí)候，需要特別注意問題背景下的基本元，如矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型、向量組的極大無關(guān)組、線性空間的標(biāo)準(zhǔn)基底，等等.把握這些基本元不僅是學(xué)習(xí)時(shí)需要注意的，而且也是解決困難題的一大方法.