極限與連續(xù)的數(shù)學(xué)問題 及技校極限與連續(xù)數(shù)學(xué)概念分層教學(xué)

馮軍

引 言

目前，大多數(shù)技校學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與積極性不高，甚至出現(xiàn)厭學(xué)現(xiàn)象.如果技校的數(shù)學(xué)教學(xué)不改變方法，仍然采用“千人一面、千篇一律”的教學(xué)方式，就會使得學(xué)生更加害怕數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，導(dǎo)致技校教師難以完成數(shù)學(xué)教學(xué)任務(wù).因此，數(shù)學(xué)教學(xué)中亟需新的合理的教學(xué)方法.采用分層教學(xué)法能夠根據(jù)學(xué)生的特點與基礎(chǔ)水平，做到因材施教.本文分析了極限與連續(xù)中的“3x+1問題”，對分層教學(xué)在極限與連續(xù)教學(xué)中的運用方法進行探究.

1.極限與連續(xù)概述

極限概念是高等數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)，函數(shù)在某一點處的極限概念、函數(shù)在某一點處的可導(dǎo)概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)的連續(xù)性概念以及右連續(xù)、左連續(xù)等均是數(shù)學(xué)中極限與連續(xù)所涉及的基本概念.極限的推導(dǎo)與求法有很多，通常使用的五種求極限的方法是：（1）采用極限四則運算法求極限；（2）采用等價無窮小量求極限；（3）采用無窮小量的性質(zhì)求極限；（4）采用羅比達法則求極限；（5）采用兩個重要極限求極限.

2.“3x+1問題”和量的極限性

數(shù)學(xué)中的“3x+1問題”又稱之為西拉古斯猜想，是在上世紀中期被提出來的，角谷靜夫?qū)⑵湟肴毡竞蟊环Q之為角谷猜想，在學(xué)術(shù)上還有其他的名稱，例如哈斯算法問題、烏拉姆問題、克拉玆問題等.任取一個正整數(shù)后，如果是奇數(shù)，就乘以三再加一；如果是偶數(shù)，就把它除以二，這種變換就是“3x+1問題”.經(jīng)過這種法則變換可以取得一個新的正整數(shù)，反復(fù)進行法則變換可以取得一個新的正整數(shù)列，或遲或早該正整數(shù)列將會歸為4→2→1的循環(huán)中，最終得到1.同余邏輯路徑法證明了此猜想能夠成立.“3x+1問題”的運算法則蘊含著事物量關(guān)系的可分性與衍生性，揭示出無限可展的世界是按照邏輯路徑展開的.“3x+1問題”蘊含著中國古代哲學(xué)中的“九九歸一”“萬變不離其宗”等思想.事物不是無限可分的，而是有限可分的，回歸與衍生是對立統(tǒng)一的路徑，模糊性發(fā)生在一定的邊界極限，事物從粒性轉(zhuǎn)變?yōu)椴▌有裕兄嬖趨s不確定的性質(zhì)，例如，無窮連分數(shù)可以認識卻無法操作.在實用領(lǐng)域往往將不確定性看成確定性，即將極限當有限，例如微積分就是常將無窮小作為0來進行處理.

3.技校數(shù)學(xué)極限與連續(xù)概念分層教學(xué)

在實際的技校教學(xué)中，講授極限與連續(xù)概念時可采用分層次教學(xué)法，做到因材施教，以不同層次學(xué)生的認知水平差異為依據(jù)來確定不同的教學(xué)目標，進行分層施教與測試評價.并且在教學(xué)中注重建立一套促使各層次學(xué)生不斷遞進的機制，從而充分地開發(fā)學(xué)生潛能.極限與連續(xù)概念分層教學(xué)應(yīng)當把握好以下幾個環(huán)節(jié).第一，客觀地劃分學(xué)生的學(xué)習(xí)認知水平層次，可以采用開座談會或個別談話等方式對學(xué)生的學(xué)習(xí)水平進行全面摸底，并結(jié)合學(xué)習(xí)成績將學(xué)生分為獳，B，C三個層次.獳層和B層的學(xué)生基礎(chǔ)知識相對比較扎實，通常能夠從學(xué)過的知識中找到與新概念相關(guān)的聯(lián)系，并能夠比較出兩者之間的不同，進而建立新的概念體系.獵層的學(xué)生對新概念的有關(guān)知識的理解不夠全面、透徹，常常受錯誤經(jīng)驗的干擾而產(chǎn)生錯誤的概念理解.第二，分層教學(xué)的實施，為了更好地把握極限與連續(xù)的概念，可以將概念教學(xué)分為概念領(lǐng)會、概念運用、概念構(gòu)建步驟進行.

(1)極限與連續(xù)概念的領(lǐng)會

在概念領(lǐng)會階段，可以設(shè)置以下幾個問題：函數(shù)在某一點處的極限概念，函數(shù)在某一點處的可導(dǎo)概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)的連續(xù)性概念以及右連續(xù)、左連續(xù)，可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系等.這一階段的內(nèi)容一般比較直觀，設(shè)計的問題和提供的資料均不會太復(fù)雜，除了處于獵層的個別同學(xué)在理解上出現(xiàn)些問題外，其余同學(xué)全部能夠掌握這部分內(nèi)容，通過對問題的思考進而掌握極限與連續(xù)概念的本質(zhì).

（2）極限與連續(xù)概念的運用

在概念運用階段，教學(xué)應(yīng)當以不同層次學(xué)生的概念領(lǐng)會程度為基礎(chǔ)，培養(yǎng)學(xué)生的類化能力.在實際的教學(xué)中可以設(shè)置如下不同層次的問題：

①已知f(x)=x2玸in1[]x,x<0,

1-玞os玿,x>0,

求﹍im玿→0f(x).

這道題目是分段函數(shù)在分段點求極限的問題，因為函數(shù)在分段點兩側(cè)有不同的表達式，所以需要考慮左、右極限.

②研究函數(shù)f(x)=1-1[]玡瑇[]1+1[]玡瑇,x≠0,

1,x=0

在x=0處的連續(xù)性.

這道題目是指數(shù)函數(shù)求極限的問題，指數(shù)函數(shù)在x=0時等于1，所以考慮x≠0時的極限問題.在實際教學(xué)中應(yīng)當以極限與連續(xù)的概念領(lǐng)會為基礎(chǔ)，增強學(xué)生的類化能力.因為不同認知水平的同學(xué)的類化能力有著較大的差異，所以應(yīng)當設(shè)計不同的題目與問題對不同層次的學(xué)生進行不同的教學(xué)指導(dǎo)與要求.

（3）極限與連續(xù)的概念體系構(gòu)建

在概念體系的構(gòu)建階段，可以設(shè)置以下問題：怎樣理解極限的概念，及其在微分學(xué)研究中的作用；怎樣理解函數(shù)極限與單側(cè)極限的概念；怎樣利用函數(shù)的連續(xù)性判別與分類函數(shù)的間斷點；怎樣理解函數(shù)的三類間斷點等.極限與連續(xù)的概念體系構(gòu)建是此部分教學(xué)中的最高層次，要求同學(xué)具有將自身已有的認知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)概念與新概念建立聯(lián)結(jié)的能力.

4.結(jié)束語

綜上所述，極限與連續(xù)問題中的西拉古斯猜想是成立的，其蘊含的哲理為：世界是無限可展的、有界無限的，不是無限可分的而是有限可分的.在技校的極限與連續(xù)的實際教學(xué)中，教師應(yīng)當深刻理解極限與連續(xù)問題的內(nèi)涵，并運用分層教學(xué)法引導(dǎo)學(xué)生更好地掌握與運用極限與連續(xù)的相關(guān)概念，鼓勵學(xué)生努力向高層次發(fā)展.