數(shù)學(xué)基本概念的重要性

王弘

數(shù)學(xué)教學(xué)中，掌握數(shù)學(xué)的基本概念是非常重要的，因為數(shù)學(xué)概念是解決問題的基礎(chǔ)，只有基本概念清晰、理解正確、思維才會敏捷、才能達(dá)到靈活運用的目的，只有準(zhǔn)確地掌握基本概念，才能對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行正確地分析、判斷、推理和論證。

一、抓住基本概念的本質(zhì)、找出內(nèi)在聯(lián)系

1. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，基本概念的引入是十分重要的，從一開始就應(yīng)該使學(xué)生對數(shù)學(xué)基本概念的內(nèi)涵——本質(zhì)屬性有一個明確的認(rèn)識。教師要選擇恰當(dāng)?shù)膶嵗?，特別是學(xué)生熟悉的事物加以分析，引導(dǎo)學(xué)生綜合它們的共同屬性，從數(shù)學(xué)的抽象概念中找出其本質(zhì)屬性。例如：設(shè)三角形的底等于3，高為4，則三角形的面積為多少？若底等于5，則面積為多少？若底等于a呢？解：設(shè)三角形面積為S，則S=a×4/2=2a，當(dāng)a=3時，S=6；當(dāng)a=5時，S=10?？梢钥闯?，底a為自變量，面積S為因變量。二者關(guān)系法則是：三角形面積等于底乘以高除以2。其實是一個運動變化過程中兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系和制約關(guān)系，從而歸納出函數(shù)的定義。

2. 抓住數(shù)學(xué)基本概念的主要性質(zhì)。對基本概念既要全面掌握，又要突出主要性質(zhì)。例如：三角函數(shù)的概念，主要解決“比”這個根本問題。抓住了主要矛盾，三角函數(shù)的概念就基本解決了。正弦函數(shù)的定義是：設(shè)P(x、y)是∠α終邊上的任意一點，它與原點的距離是r（r＞0），那么∠α的正弦函數(shù)就是sinα=y/r。通過定義可知，正弦函數(shù)實際上是一個比值，是一個實數(shù)，這個實數(shù)的大小和點P(x、y)在終邊上的位置無關(guān)，而是由∠α的終邊位置所決定的，對于確定的∠α，其終邊的位置也是唯一確定的，因此正弦函數(shù)實質(zhì)是角的大小的函數(shù)。

3. 找出數(shù)學(xué)基本概念之間的相互聯(lián)系。任何事物都是相互聯(lián)系和相互制約的，是通過聯(lián)系和制約達(dá)到共同發(fā)展的。在教學(xué)中找出基本概念的內(nèi)在聯(lián)系是很重要的。例如：掌握反三角函數(shù)的概念，就要正確理解映射和反函數(shù)，以及互為反函數(shù)的指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)，知道誰是自變量，誰是因變量，自變量和因變量不是一成不變的，掌握這些函數(shù)的定義域、值域，知道反三角函數(shù)的主值、反三角函數(shù)定義域和單值函數(shù)存在反函數(shù)等基本知識。只有正確、清晰牢固地掌握這些概念，才能準(zhǔn)確理解掌握反三角函數(shù)的概念。

4. 加深對數(shù)學(xué)基本概念中的字、詞、句的理解。不要只看字、詞、句的形式，而要理解它們的真實含義。例如：指數(shù)函數(shù)的定義是函數(shù)y=ax (a＞0 且a≠1) ，叫做指數(shù)函數(shù)。要理解這個概念，只記住定義的形式是不夠的，而要清楚為什么是函數(shù)關(guān)系，在什么條件下才是函數(shù)關(guān)系。首先要知道為什么a是一個大于零且不等于1的常量，因為x的取值范圍是全體實數(shù)（1）當(dāng)a=0時，如果x＞0時，ax恒等于0，如果x≥0時，ax無意義；（2）當(dāng)a＜0時，ax在實數(shù)范圍內(nèi)不存在；（3）a=1時，ax是一個常量，而對上述情況沒有研究必要，所以規(guī)定了a＞0 且a≠1。在教學(xué)中，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=2x, y=(1/2)x，y=10x的圖像，利用函數(shù)圖像，通過數(shù)形結(jié)合，加深對數(shù)學(xué)基本概念中的字、詞、句的理解。又例如：判斷函數(shù)的單調(diào)性，學(xué)生只從詞句上記住了增加、減少，而沒有真正理解增函數(shù)與減函數(shù)的真實含義，對函數(shù)y=x3的單調(diào)性、錯誤地理解為：當(dāng)x由小到大時，y是上升的；x由大到小時，y是下降的。這種錯誤的原因是對函數(shù)的單調(diào)性沒有真正的理解和掌握，所以講解時，必須強(qiáng)調(diào)增函數(shù)、減函數(shù)都是針對函數(shù)y講的，重點是無論函數(shù)上升或下降都是在x增加時，y是如何變化。x增加，y也增加，即為增函數(shù)。x增加，y減少即為減函數(shù)。

5. 概念用解析式、字母、符號來表示簡便，使用方便。了解每個字母的含義非常重要。例如：在講解函數(shù)y=f(x)時，學(xué)生在理解上經(jīng)常出差錯，需要重點強(qiáng)調(diào) y=f(x) 即是“y是x的函數(shù)”這句話的數(shù)學(xué)表示，而不是“y等于f和x的積”。

二、區(qū)別概念的共性和個性

1. 任何事物都是相互聯(lián)系，相互制約的，既有相同之處，又有各自的特點。數(shù)學(xué)基本概念也是如此，只有掌握數(shù)學(xué)基本概念之間的共性和個性，才能理解概念的含義及其本質(zhì)。例如：排列和組合之間的共性和個性，共性都是從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的問題，個性是排列“先取后排”兩個動作，而組合是“取出”后就組成一組，因此排列和組合的主要區(qū)別是排列與元素的順序有關(guān)，而組合與元素的順序無關(guān)。在解決實際問題時，要在仔細(xì)審題的基礎(chǔ)上，分清是“分類”還是“分步”的問題，對排列組合的綜合問題一般是“先組合，后排列”，而二者之間的關(guān)鍵就在于順序。

2. 掌握基本概念之間的特殊關(guān)系。通過對立關(guān)系，在分析一方的基礎(chǔ)上建立對立的概念。例如：正數(shù)與負(fù)數(shù)，有理數(shù)與無理數(shù)，正比例與反比例，乘方與開方，上升與下降，優(yōu)弧與劣弧等等。

3. 通過概念的特殊性分清易混易錯的概念。如：倒數(shù)與相反數(shù)，大于與不小于，平方和與和的平方，同類根式與同次根式等等。

總之，數(shù)學(xué)的基本概念是非常重要的，只有充分重視數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，用生動有趣的語言通過概念的本質(zhì)、聯(lián)系、比較，尋找它們的共性和個性，將會激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)、理解能力和創(chuàng)造性，提高數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量。