數(shù)學(xué)建模在數(shù)值分析教學(xué)中的實(shí)踐

李軍成 陳國華 宋來忠

摘要：為有效地實(shí)施數(shù)值分析課程的實(shí)踐教學(xué)，首先分析了數(shù)學(xué)建模思想與數(shù)值分析課程教學(xué)有機(jī)融合的必要性，然后針對數(shù)值分析的不同教學(xué)內(nèi)容，介紹了幾個精選的數(shù)學(xué)建模實(shí)踐教學(xué)案例。通過在數(shù)值分析教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模的實(shí)踐，不但可以使學(xué)生較好的掌握數(shù)值分析的有關(guān)理論與方法，而且還可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)值分析；教學(xué)實(shí)踐；數(shù)學(xué)建模；案例教學(xué)

中圖分類號：G643文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1009-3044(2012)01-0228-03

The Practice of Mathematical Modeling in Numerical Analysis Teaching

LI Jun-cheng1, CHEN Guo-hua1, SONG Lai-zhong2

(1. Department of Mathematics, Hunan Institute of Humanities, Science and Technology,Loudi 417000, China; 2. College of Science, Chi? na Three Gorges University, Yichang 443002, China)

Abstract: For the effective implementation of the practice teaching of numerical analysis course, this paper analyzes the necessity of the or? ganic integration of mathematical modeling and numerical analysis course teaching. And then, several selected mathematical modeling cases are introduced according to the different teaching contents in numerical analysis. Through the integration of mathematical modeling in nu? merical analysis teaching, it can not only make students better grasp of the theory and method of numerical analysis, but also can cultivate students ability of mathematical modeling.

Key words: numerical analysis; practice teaching; mathematical modeling; case teaching

數(shù)值分析作為高等院校應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)、信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的主要基礎(chǔ)課程和很多理工科專業(yè)的公共課，主要研究求解數(shù)學(xué)模型的算法及有關(guān)理論，是求解數(shù)學(xué)模型的不可缺少的途徑和手段。在信息科學(xué)和計(jì)算機(jī)技術(shù)飛速發(fā)展的今天，數(shù)值分析課程中所介紹的數(shù)值方法更顯得極其重要。與其它數(shù)學(xué)課程的最明顯的區(qū)別在于，數(shù)值分析是一門更注重應(yīng)用的科學(xué)，特別注意在方法的精確性和計(jì)算的效率之間的平衡。傳統(tǒng)的教學(xué)模式只注重講授數(shù)值方法的原理，算法的理論推導(dǎo)占據(jù)了整個教學(xué)過程的大部分時(shí)間，再加上缺乏實(shí)踐環(huán)節(jié)的教學(xué)，就使得學(xué)生不能很好的運(yùn)用所學(xué)的理論去解決實(shí)際問題[1]。

既然數(shù)值分析主要研究數(shù)學(xué)模型的求解算法及有關(guān)理論，因此將數(shù)學(xué)建模思想融入到數(shù)值分析的教學(xué)中是可行的[2]。為有效地實(shí)施數(shù)值分析課程的實(shí)踐教學(xué)，本文主要介紹了幾個針對數(shù)值分析不同教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)建模實(shí)踐教學(xué)案例，這些精選的案例都涉及到相關(guān)的數(shù)值分析理論和方法。通過對實(shí)際問題進(jìn)行數(shù)學(xué)模型的建立和求解，將數(shù)學(xué)建模思想和數(shù)值分析教學(xué)進(jìn)行有機(jī)的融合，不但可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和學(xué)習(xí)興趣，提高了學(xué)習(xí)效率，而且可以培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)值方法求解實(shí)際問題的能力。

1數(shù)學(xué)建模思想與數(shù)值分析課程教學(xué)有機(jī)融合的必要性

數(shù)值分析是一門理論抽象但實(shí)踐性較強(qiáng)的課程，傳統(tǒng)的教學(xué)模式一般只注重理論證明和公式推導(dǎo)，再加上學(xué)時(shí)的限制，很少會利用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行相應(yīng)的實(shí)踐性教學(xué)，導(dǎo)致學(xué)生只掌握了數(shù)值分析中的基本方法和原理，而運(yùn)用數(shù)值方法解決實(shí)際問題的能力沒有得到較好的鍛煉。也正因?yàn)槿绱?，學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性不高，大部分學(xué)生不知道或者根本沒有想過可以利用所學(xué)的數(shù)值方法去解決很多實(shí)際的問題。因此，針對數(shù)值分析課程的特點(diǎn)，采取可行的教學(xué)改革是有必要的。許多從事數(shù)值分析課程教學(xué)的工作者在這一方面作了很多的嘗試和探索。例如，文獻(xiàn)[3]講述了任務(wù)驅(qū)動教學(xué)法在數(shù)值分析實(shí)驗(yàn)課教學(xué)中的實(shí)施步驟及過程，并給出具體實(shí)例。文獻(xiàn)[4]以MATLAB作為工作語言和開發(fā)環(huán)境，開發(fā)了一個能有效地輔助數(shù)值分析課程教學(xué)的軟件。

從數(shù)值分析課程的特點(diǎn)和教學(xué)目標(biāo)來看，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)值方法解決問題的能力是該課程的重點(diǎn)所在[5]。而數(shù)學(xué)建模主要考察的是學(xué)生將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型，然后利用綜合知識求解數(shù)學(xué)模型的能力。通過對歷年來全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn)，許多數(shù)學(xué)模型的求解都會用到數(shù)值分析課程中的各種數(shù)值方法。因此，將數(shù)學(xué)建模思想與數(shù)值分析課程教學(xué)進(jìn)行有機(jī)的融合是非常必要的。在數(shù)值分析課程的各個教學(xué)模塊中，通過實(shí)際的數(shù)學(xué)建模案例進(jìn)行數(shù)值方法與理論的講解，讓學(xué)生覺得所學(xué)的知識在實(shí)際工程問題中具有很大的應(yīng)用價(jià)值，這樣既可以吸引學(xué)生的眼球，提高學(xué)習(xí)效率，同時(shí)也可以培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)值方法解決實(shí)際問題的能力。

由表2可知兩點(diǎn)三次Hermite插值多項(xiàng)式計(jì)算斷面面積的誤差最小，其次是三次樣條插值多項(xiàng)式，誤差最大的是三次Lagrange插值多項(xiàng)式，即所得結(jié)論與理論是相符的。

通過此案例，不但可以讓學(xué)生掌握不同插值法的基本原理，而且還可以讓學(xué)生體會到不同插值法的特征：三次Lagrange插值多項(xiàng)式(三次Newton插值多項(xiàng)式)分段光滑，兩點(diǎn)三次Hermite插值多項(xiàng)式整體一階光滑，而三次樣條插值多項(xiàng)式整體二階光滑。

2.2數(shù)據(jù)擬合的案例教學(xué)實(shí)踐

所謂數(shù)據(jù)擬合是指已知某函數(shù)的若干離散函數(shù)值，通過調(diào)整該函數(shù)中若干待定系數(shù)，使得該函數(shù)與已知點(diǎn)的差距最小，最常用的數(shù)據(jù)擬合方法為最小二乘法。在數(shù)據(jù)擬合的教學(xué)中，可采用下列數(shù)學(xué)建模問題的求解進(jìn)行案例教學(xué)。

例2：數(shù)據(jù)擬合教學(xué)案例——上海市就業(yè)人口預(yù)測

已知2000年～2009年上海市每年的就業(yè)人口數(shù)，如表3所示，現(xiàn)要預(yù)測2010年上海市的就業(yè)人口數(shù)，并與2010年真實(shí)的就業(yè)人口數(shù)(1574.6萬人)進(jìn)行對比分析。

表3上海市就業(yè)人口統(tǒng)計(jì)(單位:萬人)

圖2上海市就業(yè)人口數(shù)擬合圖形

通過此案例的教學(xué)，不但可以讓學(xué)生理解最小二乘曲線擬合的基本原理與步驟，而且還可以為學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模競賽時(shí)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理打下基礎(chǔ)。

2.3數(shù)值微分的案例教學(xué)實(shí)踐

所謂數(shù)值微分是指根據(jù)函數(shù)在一些離散點(diǎn)的函數(shù)值，構(gòu)造一個較為簡單的可微函數(shù)近似代替該函數(shù)，并將簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)作為該函數(shù)在相應(yīng)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的近似值。常用的數(shù)值微分公式有差商公式、兩點(diǎn)公式、三點(diǎn)公式等。在數(shù)值微分的教學(xué)中，可采用下列數(shù)學(xué)建模問題的求解進(jìn)行案例教學(xué)。

例3數(shù)值微分教學(xué)案例——人口增長率[7]

已知1950年～2000年每10年中國人口的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表1所示，試計(jì)算這些年份的人口增長率。

表4中國人口統(tǒng)計(jì)數(shù)（單位：億人）

3結(jié)束語

為有效地實(shí)施數(shù)值分析課程的實(shí)踐教學(xué)，本文主要介紹了幾個針對數(shù)值分析不同教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)建模實(shí)踐教學(xué)案例。通過對實(shí)際問題進(jìn)行數(shù)學(xué)模型的建立和求解，將數(shù)學(xué)建模思想融入到數(shù)值分析的教學(xué)中，不但可以讓學(xué)生較好的掌握數(shù)值分析的有關(guān)理論與方法，而且還可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，為參加數(shù)學(xué)建模競賽時(shí)打下一定的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1]趙景軍,吳勃英.關(guān)于《數(shù)值分析》教學(xué)的幾點(diǎn)探討[J].大學(xué)數(shù)學(xué), 2005, 21(3): 28-30.

[2]郭金,韋程東.在數(shù)值分析教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的研究與實(shí)踐[J].廣西師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2008, 25(3): 124-127.

[3]杜廷松.摭談數(shù)值分析實(shí)驗(yàn)課程中的任務(wù)驅(qū)動教學(xué)[J].中國電力教育, 2008, 1: 118-120.

[4]王強(qiáng),金珩. MATLAB環(huán)境下的數(shù)值分析教學(xué)軟件開發(fā)[J].內(nèi)蒙古民族大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2004, 19(2): 176-179.

[5]劉艷偉,司軍輝.數(shù)值分析課程教學(xué)改革若干問題探討[J].黑龍江教育學(xué)院學(xué)報(bào), 2010, 29(6): 75-76.

[6]鐘爾杰,黃廷祝.數(shù)值分析[M].北京:高等教育出版社, 2004.

[7]宋來忠，王志明.數(shù)學(xué)建模與實(shí)驗(yàn)[M].北京:科學(xué)出版社, 2005.