對(duì)高中數(shù)學(xué)新增線性規(guī)劃部分內(nèi)容的理解以及教學(xué)建議

王璐璐

【摘要】根據(jù)教育部頒發(fā)的普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿），新的數(shù)學(xué)教材中新增加了很多內(nèi)容，以期更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，其中包含了很多高等數(shù)學(xué)中的基本內(nèi)容，比如簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃。本文將論述對(duì)于高中數(shù)學(xué)教材中出現(xiàn)線性規(guī)劃這部分內(nèi)容的理解，并試圖給出一些教學(xué)建議。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；線性規(guī)劃；教學(xué)建議

一、關(guān)于線性規(guī)劃

1畢咝怨婊在新教材中的位置

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（北師大版）《數(shù)學(xué)》必修5第三章《不等式》中的第4小節(jié)介紹了簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的基本內(nèi)容。這部分內(nèi)容對(duì)于文科和理科的學(xué)生要求一樣，要求學(xué)生掌握解決線性規(guī)劃問題的基本步驟，學(xué)會(huì)從實(shí)際問題中抽象出簡(jiǎn)單二元線性規(guī)劃并加以解決。整個(gè)不等式章節(jié)的教學(xué)約16課時(shí)，簡(jiǎn)單線性規(guī)劃這節(jié)內(nèi)容需要3~4個(gè)課時(shí)。在學(xué)習(xí)簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題之前，先學(xué)習(xí)了不等關(guān)系、一元二次不等式以及基本不等式等內(nèi)容，讓學(xué)生感覺學(xué)習(xí)線性規(guī)劃問題不會(huì)那么突兀和難以接受。

2北冉閑戮山灘牡那別

對(duì)于不等式，以往的課程比較關(guān)注不等式的解法，只是告訴學(xué)生如何去解不等式，機(jī)械地練習(xí)，而學(xué)生并不能理解不等式的意義以及用途，新的課程中強(qiáng)調(diào)不等式是刻畫和描述現(xiàn)實(shí)世界中事物在量上的區(qū)別的一種工具，是描述、刻畫優(yōu)化問題的一種數(shù)學(xué)模型。增加線性規(guī)劃這部分內(nèi)容，讓學(xué)生了解了不等式的應(yīng)用及其幾何意義，為學(xué)生理解不等式的本質(zhì)、體會(huì)優(yōu)化思想奠定了基礎(chǔ)。

二、為什么要增加線性規(guī)劃這部分內(nèi)容

1畢咝怨婊與函數(shù)

解決線性規(guī)劃問題，可以歸結(jié)為以下步驟：（1）確定目標(biāo)函數(shù)。（2）確定目標(biāo)函數(shù)的可行域。（3）確定目標(biāo)函數(shù)在可行域內(nèi)的最值。

線性規(guī)劃問題是最優(yōu)化問題的一部分，從函數(shù)的角度來(lái)看，首先，確定目標(biāo)函數(shù)，用目標(biāo)函數(shù)來(lái)刻畫題目中的“好”與“壞”，“大”與“小”，實(shí)際上目標(biāo)函數(shù)就是二元函數(shù)（在中學(xué)教材中），學(xué)生很容易理解目標(biāo)函數(shù)這個(gè)概念。其次，確定目標(biāo)函數(shù)的可行域，就是由約束條件確定目標(biāo)函數(shù)的定義域，學(xué)生可以通過畫出圖形很直觀地看出可行域的范圍。最后，確定目標(biāo)函數(shù)在可行域內(nèi)的最值，就是通過目標(biāo)函數(shù)在可行域中移動(dòng)，確定在約束條件下的定義域所對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)的值域的最值?？梢钥闯?，線性規(guī)劃這部分內(nèi)容與函數(shù)的聯(lián)系極為密切，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中非常重要的內(nèi)容，因此，在高中教材中引入高等數(shù)學(xué)中的線性規(guī)劃問題便不足為怪了。

2畢咝怨婊與數(shù)形結(jié)合

由于線性規(guī)劃問題可以化歸為目標(biāo)函數(shù)求最值問題，而目標(biāo)函數(shù)在某個(gè)區(qū)域上的最值問題又可以通過直線的平移加以解決，因此正確地畫出不等式（組）表示的平面區(qū)域，平移直線就是解決此類問題的關(guān)鍵。這就用到了數(shù)形結(jié)合的基本思想，畫出所求目標(biāo)函數(shù)的可行域，直觀地解決線性規(guī)劃的問題。作為高等數(shù)學(xué)中的內(nèi)容的線性規(guī)劃與中等數(shù)學(xué)中最基本的數(shù)形結(jié)合思想有著如此密切的聯(lián)系，將其引入高中課程也就變得理所當(dāng)然。

3畢咝怨婊的應(yīng)用價(jià)值

《標(biāo)準(zhǔn)》中列舉了10項(xiàng)指導(dǎo)數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)的基本理念，其中一項(xiàng)就是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)是衡量學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，很多時(shí)候?qū)W生甚至教師將數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)與應(yīng)用分開來(lái)看，這對(duì)于我們學(xué)好數(shù)學(xué)是非常不利的。而線性規(guī)劃是一個(gè)應(yīng)用性非常強(qiáng)的工具，可以很好地鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。平時(shí)生活中的很多問題都可以抽象成簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題，例如《標(biāo)準(zhǔn)》中的案例3是一個(gè)投入產(chǎn)出模型，北師大版教材上的例9是關(guān)于為病人配營(yíng)養(yǎng)餐的問題，這些都是生活中很常見的，讓學(xué)生感覺到用自己學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)可以解決這么多實(shí)際的問題，會(huì)激勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性。在新教材中引入線性規(guī)劃這部分內(nèi)容符合《標(biāo)準(zhǔn)》中提出的發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的課程目標(biāo)，并能很好地聯(lián)系實(shí)際，將所學(xué)知識(shí)運(yùn)用到現(xiàn)實(shí)問題中，有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題、應(yīng)用所學(xué)知識(shí)的能力和意識(shí)。因此引入這部分內(nèi)容有著其現(xiàn)實(shí)意義。

三、有關(guān)線性規(guī)劃這部分內(nèi)容的幾點(diǎn)教學(xué)建議

1弊⒅嘏嘌學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、抽象出數(shù)學(xué)模型的能力，發(fā)展其應(yīng)用意識(shí)

教師在教學(xué)過程中，不要簡(jiǎn)單地只講解決線性規(guī)劃問題的基本步驟，只是為了應(yīng)對(duì)考試才反復(fù)訓(xùn)練解題能力，應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地鼓勵(lì)學(xué)生善于將所學(xué)知識(shí)延伸到現(xiàn)實(shí)生活中，發(fā)現(xiàn)更多的需要解決的問題，從而培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力和意識(shí)。比如，有這樣一個(gè)題：某人有樓房一幢，室內(nèi)面積共計(jì)180 m2，可以住游客5名，每名游客每天住宿費(fèi)40元，小房間每間面積15 m2，可以住游客3名，每名游客每天住宿費(fèi)50元，裝修大房間每間需要1000元，裝修小房間每間需要600元，如果只能籌款8000元用于裝修，且游客能住滿客房，他應(yīng)隔出大房間和小房間各多少間，才能獲得最大收益？老師可以在講解了有關(guān)基本步驟內(nèi)容以及課本上的例題后，給出學(xué)生這個(gè)問題。這是個(gè)很實(shí)際的問題，可以讓學(xué)生想象自己需要辦這么一家旅社，考慮它的裝修問題，這會(huì)讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)就在身邊，激發(fā)學(xué)生探討數(shù)學(xué)問題的積極性。此題的解決實(shí)際就是按照線性規(guī)劃的三個(gè)基本步驟進(jìn)行的，確定目標(biāo)函數(shù)、確定目標(biāo)函數(shù)的可行域、確定目標(biāo)函數(shù)的最值，但老師可以借此向?qū)W生舉一反三，給出若干其他例子，也可以讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)生活中的問題，借以體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性，從而訓(xùn)練學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、抽象現(xiàn)實(shí)問題的能力，增強(qiáng)其應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力。

2痹實(shí)基礎(chǔ)，學(xué)好有關(guān)不等式的基本內(nèi)容，為更好地理解線性規(guī)劃奠定基礎(chǔ)

線性規(guī)劃的解決是建立在不等式的基礎(chǔ)上的，首先要學(xué)好不等式的相關(guān)知識(shí)，理解不等式的意義及其幾何意義，才能更好地理解線性規(guī)劃的含義。新教材的編寫也是根據(jù)這樣的規(guī)律，首先介紹不等式的有關(guān)內(nèi)容，然后順其自然地引入線性規(guī)劃。老師在講解這部分內(nèi)容時(shí)，需隨時(shí)復(fù)習(xí)前面不等式的有關(guān)內(nèi)容，比如從實(shí)際情景抽象出一元二次不等式模型、了解基本不等式且會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問題、了解二元一次不等式的幾何意義等基本內(nèi)容，只有扎實(shí)基礎(chǔ)，才能更好地學(xué)習(xí)接下來(lái)的內(nèi)容，更好地理解線性規(guī)劃。

3鄙透數(shù)學(xué)的優(yōu)化思想以及應(yīng)用

優(yōu)化思想是人們思考問題、解決問題的基本和重要的思想。在日常生活、學(xué)習(xí)和工作中，為了提高效益，會(huì)遇到各種各樣的優(yōu)化問題。人們做事總要有目標(biāo)，從數(shù)學(xué)的角度考慮，希望對(duì)目標(biāo)加以量化，量化的目標(biāo)才有好壞之分。線性規(guī)劃就是一個(gè)很好的優(yōu)化工具，可以幫助人們解決很多的實(shí)際問題。教師在講解這部分內(nèi)容時(shí)應(yīng)注意向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)的優(yōu)化思想，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美，體會(huì)數(shù)學(xué)的美學(xué)精神。

【參考文獻(xiàn)】

［1］李三平。高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)［M］。西安：陜西師范大學(xué)出版社，2006。

［2］數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制組編寫。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）解讀［M］。南京：江蘇教育出版社，2004。

［3］王尚志。數(shù)學(xué)教學(xué)研究與案例［M］。北京：高等教育出版社，2007。