線性代數(shù)教學(xué)點(diǎn)滴

吳世玕

【摘要】本文總結(jié)了作者上線性代數(shù)課的一些經(jīng)驗(yàn)，老師應(yīng)該向?qū)W生講清楚為什么必須學(xué)線性代數(shù)，要抓住核心內(nèi)容和核心方法，要積累一些反例，要培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作精神，對優(yōu)秀學(xué)生要進(jìn)行特別培養(yǎng)，努力提高研究生升學(xué)率.

【關(guān)鍵詞】線性代數(shù);核心內(nèi)容;核心方法;反例;團(tuán)隊(duì)合作

【中圖分類號】G421

【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

引 言

線性代數(shù)是理工科本科生的必修課程，是研究生入學(xué)考試必考的數(shù)學(xué)科目之一.這門課成績的好壞，直接影響到學(xué)生將來考研的成績.從應(yīng)用來看，工程計(jì)算上遇有太多變量時(shí)，時(shí)常將問題線性化，然后用線性代數(shù)方法處理問題，足見這門課的重要性.如何教好這門課，是值得我們每一位上課老師深思的問題.這門課有些概念，對于初學(xué)者來說，的確太抽象了，作為老師，該怎么教，才能讓學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)興趣，才能自覺去鉆研這門課？我想用這篇文章拋磚引玉，希望引起同行們的廣泛討論，共同提高教學(xué)水平.

1.為什么要學(xué)習(xí)線性代數(shù)

這個(gè)問題有必要向?qū)W生作些簡要介紹.否則，由于這門課比較抽象，學(xué)生可能沒興趣學(xué)這門課.作為這門課程的老師，應(yīng)該對此有些了解.

線性代數(shù)的計(jì)算方法是處理現(xiàn)代工程計(jì)算的重要方法，比如線性性質(zhì)、向量、線性空間、矩陣等等，在工程計(jì)算中，經(jīng)常用到.有時(shí)工程上研究的問題相當(dāng)復(fù)雜，用到成百上千的變量，這樣復(fù)雜的問題，用矩陣來處理，是比較好的方法.線性代數(shù)已成為現(xiàn)代工程技術(shù)人員必修的課程之一.

線性擬合和非線性擬合是數(shù)據(jù)處理常用的方法，以往由于計(jì)算手段的限制,非線性擬合幾乎無法實(shí)現(xiàn).因此,傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理方法中非線性問題線性化計(jì)算是一種基本手段.目前,盡管計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)處理已經(jīng)很普遍,但由于習(xí)慣于傳統(tǒng)的方法,或是由于非線性擬合過程常遇到不收斂等問題,非線性問題線性化計(jì)算這一傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理方法仍在廣泛使用.作為線性代數(shù)的主要軟件工具有MATLAB，它是矩陣計(jì)算的主要工具.

從數(shù)學(xué)上來講，很多非線性化問題可以通過一些數(shù)學(xué)變換化成線性問題.比如一些非線性回歸問題就可以通過變量的倒代換對數(shù)變換等化成線性回歸問題.我們也可以利用泰勒公式，將一個(gè)復(fù)雜函數(shù)化成近似的多項(xiàng)式，再將多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為線性方程（這只要將各個(gè)冪函數(shù)當(dāng)作一個(gè)新變量就可以）.

2.抓住核心內(nèi)容和核心方法

工科線性代數(shù)，課時(shí)比較少，我們學(xué)校只有32學(xué)時(shí).在這么短時(shí)間內(nèi)，要教好或?qū)W好這門課程，老師要下些工夫，學(xué)生也要有足夠的學(xué)習(xí)興趣和精力的投入.若老師抓不住核心內(nèi)容和核心方法，就很難教好這門課.線性代數(shù)課，一般包括行列式、向量、矩陣、線性方程組、二次型、線性空間.由于課時(shí)少，我們實(shí)在是沒時(shí)間講解線性空間的內(nèi)容，只能講解向量空間一些基本概念，并在線性方程組中講解向量空間時(shí)加以應(yīng)用.

線性代數(shù)課程的核心內(nèi)容是線性方程組，核心方法是矩陣的初等變換方法.行列式、克萊姆法則、向量、矩陣都圍繞著線性方程組展開.克萊姆法則，解決了當(dāng)系數(shù)矩陣是方陣時(shí)，何時(shí)有唯一解，并用行列式給出了解的表達(dá)式，在線性方程組理論中有重要價(jià)值.向量模型為線性方程組解決了解空間模型的問題，認(rèn)為線性方程組的解是向量空間中的向量，可以定義解向量之間的線性運(yùn)算.矩陣運(yùn)算為線性方程組的求解提供了行初等變換方法，利用這個(gè)方法，可以判別非齊次線性方程組是否有解，用行初等變換求解.向量線性關(guān)系為線性方程組通解提供了理論基礎(chǔ)，非齊次線性方程組的任一解都可由其本身的一個(gè)特解及對應(yīng)齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的線性運(yùn)算來表示.矩陣特征值、特征向量、二次型內(nèi)容，是線性方程組理論及方法的一個(gè)應(yīng)用，這個(gè)應(yīng)用也為空間解析幾何中討論二次曲線、二次曲面標(biāo)準(zhǔn)形問題提供了很好的方法.矩陣的初等變換方法，可以用于求行列式，求向量組的秩，并判別向量組是否線性相關(guān)，求向量組的最大線性無關(guān)組，用最大線性無關(guān)組線性表示其余向量，求逆矩陣，用行初等變換求解線性方程組的通解，求矩陣的特征向量.

3.用實(shí)際問題引入線性代數(shù)的基本概念，用反例說明一些運(yùn)算的“奇怪”性質(zhì)

在講解矩陣相乘、向量（幾何學(xué)及力學(xué)中，向量是作為有大小并有方向的量，而在線性代數(shù)中，向量是作為有序數(shù)組）、向量線性運(yùn)算、向量線性相關(guān)、向量線性無關(guān)等基本概念時(shí)，要盡可能地用一些實(shí)際問題來引入，不要直接給出定義，以免讓學(xué)生覺得太抽象，還以為這只是數(shù)學(xué)老師在故弄玄虛.在這方面，李尚志教授就做得很好，值得我們學(xué)習(xí).

我們可以用坐標(biāo)變換公式來引入一般的線性變換，由線性變換的復(fù)合（簡單點(diǎn)，就講3個(gè)變量的線性變換的復(fù)合）引入矩陣相乘概念.也可以借用銷售與收益的模型（收益矩陣=銷量矩陣×價(jià)格矩陣）來引入矩陣相乘的概念.在高等數(shù)學(xué)中，兩個(gè)向量的內(nèi)積也可看作一個(gè)行矩陣與一個(gè)列矩陣相乘.

由于我們的工資表、成績表、線性方程組的解，都只關(guān)心各個(gè)項(xiàng)的取值，而且取值的順序不同，所代表的意義就不相同，因此，我們有必要研究有序數(shù)組，把這種有序數(shù)組稱為向量.線性代數(shù)中講的向量就是有序數(shù)組，這一點(diǎn)一定要強(qiáng)調(diào).因?yàn)椋覀儼l(fā)現(xiàn)不少同學(xué)做線性代數(shù)作業(yè)時(shí)，向量還是標(biāo)出箭頭，沒辦法忘記幾何、力學(xué)中所講的向量，把握不住線性代數(shù)中所講的向量與幾何、力學(xué)中所講的向量的共性.由具體過渡到抽象，必須忘記一個(gè)一個(gè)具體的事物，而只把握住這些事物的共性.這就是所謂“聰明難，糊涂難，由聰明變糊涂更難”?。ㄠ嵃鍢蛘Z）

為什么平面直角坐標(biāo)系，要而且只要兩條坐標(biāo)軸？為什么空間直角坐標(biāo)系，要而且只要三條坐標(biāo)軸？我相信，很多沒學(xué)過線性代數(shù)的同學(xué)都沒法回答這個(gè)問題.為什么有些線性方程組中，方程個(gè)數(shù)會(huì)比未知數(shù)個(gè)數(shù)更多？根據(jù)學(xué)生在中學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，線性方程組中方程個(gè)數(shù)應(yīng)該與未知數(shù)個(gè)數(shù)一樣多，才能確定未知數(shù)的取值.那么，這是否意味著方程個(gè)數(shù)太多了,也就是說有些方程是多余的？有些方程只是另外一些方程通過同解變換就可得到的？由這些問題展開討論，我們就可引入向量組的線性運(yùn)算、線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念了.像這樣由一些具體問題引入抽象的概念，原本抽象的概念就變得很自然了.

施密特正交化方法，在三維向量空間中，實(shí)際上可以理解為向量的正交分解.給定線性無關(guān)向量組α1，α2，α3,記ξ1=α1，用α2減去α2在ξ1方向的分向量得到ξ2，用α3減去α3在ξ1,ξ2方向的分向量得到ξ3，則ξ1,ξ2,ξ3是與α1,α2,α3等價(jià)的正交向量組.向量α在ξ方向的分向量是ξ方向單位向量的倍向量，其系數(shù)就是向量α與ξ方向單位向量的內(nèi)積（即α在ξ方向的投影），這一點(diǎn)可用空間解析幾何中向量的投影作為基礎(chǔ)知識.有了三維空間中向量組的正交化方法，就很容易推廣到一般的n維向量空間，得到n維向量空間中的施密特正交化方法.

為什么要講相似矩陣？很多學(xué)過線性代數(shù)的同學(xué)都不知道為什么要學(xué)相似矩陣.其實(shí)，這可以從矩陣計(jì)算的需要來講.我們知道，與對角矩陣相似的矩陣，其矩陣多項(xiàng)式（甚至矩陣冪級數(shù)）的計(jì)算，都非常簡單.那么，一個(gè)矩陣相似于一個(gè)對角矩陣的條件是什么呢？將矩陣相似的表達(dá)式用分塊矩陣相乘形式展開，就發(fā)現(xiàn)我們必須從矩陣特征值、特征向量學(xué)起.只要抓住了關(guān)鍵問題，由關(guān)鍵問題順藤摸瓜，就會(huì)引出一大堆的小問題，由各個(gè)小問題引入相應(yīng)的概念，學(xué)生就不再覺得抽象.只要學(xué)生不覺得抽象，這門課就好學(xué)了.

在實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)運(yùn)算中，a-a=b-b，ab=ba，(a-b)(a+b)=a2-b2,(a+b)2=a2+2ab+b2，若a≠0，ax=ab,則x=b（消去律成立）.在矩陣運(yùn)算中，相似的運(yùn)算律成立嗎？在一元線性方程中，若a≠0，則方程ax=b有唯一解x=a-1b=ba-1.在線性方程組中，若A≠0，則線性方程組Ax=b也有唯一解，并可類似地表示為x=A-1b=bA-1嗎？若可以，A-1是什么？A-1乘在b的左邊和右邊都有意義嗎？即使有意義（當(dāng)A,b是同階數(shù)的方陣時(shí)，A-1b,bA-1都有意義），它們會(huì)相等嗎？像這些問題，我們都可以構(gòu)造反例來說明，使學(xué)生學(xué)起來對概念的理解會(huì)更清晰.文獻(xiàn)［7］中，孫兵提供了一些反例，作為老師，我們平時(shí)就要多積累一些反例,當(dāng)學(xué)生覺得以上運(yùn)算的“怪現(xiàn)象”難以理解時(shí)，我們就可以拿出反例說明問題.

4.通過線性代數(shù)的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作精神

我們所處的社會(huì)是個(gè)競爭的社會(huì).競爭，就要有實(shí)力！個(gè)人的力量總是微不足道的，然而，團(tuán)結(jié)起來力量大！我們的學(xué)生，總是要面對社會(huì)的，為了學(xué)生將來能很快適應(yīng)社會(huì)，我們有必要在教學(xué)過程中，培養(yǎng)學(xué)生的競爭意識，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作精神.我們可以將學(xué)生分成若干個(gè)小組，給每個(gè)小組出一個(gè)比較難點(diǎn)的題目，讓學(xué)生課后討論.只要做對了，或?qū)栴}有比較好的想法，我們就給這一組的同學(xué)平時(shí)成績加上適當(dāng)?shù)姆謹(jǐn)?shù)作為鼓勵(lì).這個(gè)比較難的題目，學(xué)生實(shí)在做不出的話，老師可以適當(dāng)提示一下，目的在于鼓勵(lì)學(xué)生繼續(xù)做下去.在分組時(shí)，注意成績好的與成績稍差的，要相互搭配（誰成績好，誰成績稍差，老師在平時(shí)改作業(yè)時(shí)，要注意做些記錄），男女同學(xué)也要相互搭配，這樣他們討論起來才有興趣，才更賣勁！做得比較好的，要在班上表揚(yáng)，讓學(xué)生感覺自己的勞動(dòng)得到了老師和同學(xué)的認(rèn)可.優(yōu)秀學(xué)生是表揚(yáng)與激勵(lì)出來的！這種表揚(yáng)，也可增強(qiáng)同學(xué)們的集體榮譽(yù)感，對培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作精神很有幫助.

5.對優(yōu)秀學(xué)生要特別培養(yǎng)，努力提高研究生升學(xué)率

我們培養(yǎng)的學(xué)生，在畢業(yè)時(shí)，總有一部分學(xué)生要再深造的.為了提高研究生升學(xué)率，我們有必要在課件中穿插一些研究生升學(xué)考試題，擴(kuò)大同學(xué)們的知識面.在講解研究生考題時(shí)，要盡可能精講，講清楚題目中所包含的知識面、解題方法的多樣性.在選題時(shí)，盡可能選綜合程度比較高的題，這樣就可以通過精選出來的題將教材上的知識點(diǎn)穿插起來，讓同學(xué)有“一日游遍三川五岳”的感覺.學(xué)習(xí)優(yōu)秀的學(xué)生從中受益匪淺，學(xué)習(xí)一般的同學(xué)也增長了見識.

【參考文獻(xiàn)】

［1］王郁文，梁逸曾，等.非線性問題線性化計(jì)算的改進(jìn)［J］.計(jì)算機(jī)與應(yīng)用化學(xué)，2005，22（4）：295-300.

［2］汪榮鑫.數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］.西安：西安交通大學(xué)出版社，2011.

［3］劉二根.線性代數(shù)［M］.南昌：江西高校出版社，2010.

［4］楊文茂，李全英.空間解析幾何［M］.武漢：武漢大學(xué)出版社，1999.

［5］李尚志.線性代數(shù)［M］.北京：高等教育出版社，2006年5月.

［6］李尚志.讓抽象變得顯然［J］.中國大學(xué)教學(xué)，2006（7）：11-13.

［7］孫兵.線性代數(shù)教學(xué)中的反例構(gòu)造［J］.數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用，2011，31（2）:39-40.