選修“圓錐曲線與方程”教材分析

白羽

“圓錐曲線與方程”是選修課程系列1選修1-1和系列2選修2-1中的內(nèi)容，其中選修1-1是文科內(nèi)容；選修2-1是理科內(nèi)容。下面分兩部分作簡(jiǎn)要介紹。

一、對(duì)教材處理的建議

（一）明確解析幾何的基本思想方法。

解析法（坐標(biāo)法）；突出用方程研究曲線，用代數(shù)方法研究曲線的幾何性質(zhì)；強(qiáng)調(diào)解析幾何解決問題數(shù)形結(jié)合的重要性；自始至終貫穿曲線與方程、方程與曲線的關(guān)系。

解析幾何的基本思想方法是解析法（坐標(biāo)法；突出用方程研究曲線，用代數(shù)方法研究曲線的幾何問題。在《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書?數(shù)學(xué)2》A版中首先建立直線、圓這兩種平面上最簡(jiǎn)單的非封閉圖形與封閉圖形的方程，然后通過它們的方程，研究它們的幾何性質(zhì)。從大的范圍看，“曲線與方程”“方程與曲線”的關(guān)系反映了空間形式與數(shù)量關(guān)系之間的關(guān)系，它用數(shù)及其運(yùn)算為工具，在平面直角坐標(biāo)系下，用代數(shù)方法研究幾何問題，是數(shù)形結(jié)合的重要方面。

（二）抓住軌跡問題的本質(zhì)——變化過程中的不變量，建立曲線的方程。

軌跡是由動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)形成的曲線（或幾何圖形），其特點(diǎn)是，動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)變化過程中，始終有保持不變的量，由此我們建立軌跡的方程。通過軌跡的方程，判斷軌跡的形狀，研究軌跡的幾何性質(zhì)。

三種圓錐曲線的幾何特征明顯。在橢圓的學(xué)習(xí)過程中，我們從圓出發(fā)，給出“探究”欄目，通過把細(xì)繩的兩端分開，讓學(xué)生觀察軌跡的形狀，建立與已有知識(shí)的聯(lián)系與區(qū)別。由畫圖的過程，探究形成軌跡的動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件，展現(xiàn)曲線的典型幾何特征。在此基礎(chǔ)上，給出具有這種典型幾何特征的軌跡的正式名稱——橢圓。通過觀察橢圓的形狀，引導(dǎo)學(xué)生建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用點(diǎn)的坐標(biāo)表示距離，建立橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。其他兩種圓錐曲線：雙曲線與拋物線，雖然它們的幾何特征與橢圓不同，但其引入過程及標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過程，都是與橢圓相類比展開的。

（三）注重實(shí)際背景和應(yīng)用。

實(shí)際上，圓錐曲線與人類生活、生產(chǎn)及科研有著緊密的聯(lián)系。本章引言說明三種圓錐曲線都是用不垂直與圓錐的軸的平面截圓錐面得到的。改變截面與圓錐軸的夾角，可以得到橢圓、雙曲線、拋物線。這種引入，目的是使學(xué)生了解“圓錐曲線”名稱的由來。另外在教材的正文中，還多次提到行星運(yùn)行軌道、發(fā)電廠冷卻塔的外形、拋物運(yùn)動(dòng)軌跡、探照燈的鏡面，等等。

在教材的拓展欄目中，還安排了“探究與發(fā)現(xiàn)——為什么截口曲線是橢圓”；“閱讀與思考——圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用”。安排了大量的實(shí)例，注重實(shí)際背景和應(yīng)用的目的是讓學(xué)生感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的重要作用。

（四）重視信息技術(shù)工具的作用。

信息技術(shù)工具在解析幾何的學(xué)習(xí)中有較大的支持作用，發(fā)揮的空間也比較大。在教材中，安排了很多“信息技術(shù)應(yīng)用”的內(nèi)容。

（1）利用信息技術(shù)工具向?qū)W生演示平面截圓錐的過程，通過改變截面與圓錐曲線的夾角，得出不同的圓錐曲線。信息技術(shù)工具的使用可以加深學(xué)生對(duì)圓錐曲線的直觀認(rèn)識(shí)。

（2）運(yùn)用信息技術(shù)工具的“運(yùn)動(dòng)變化過程中保持幾何關(guān)系不變”的特點(diǎn)，非常容易探索動(dòng)點(diǎn)軌跡的形狀。一方面，信息技術(shù)工具為我們創(chuàng)造了一個(gè)實(shí)驗(yàn)、發(fā)現(xiàn)、猜想的環(huán)境，在動(dòng)態(tài)演示中，觀察軌跡形成的原因、軌跡的形狀，發(fā)現(xiàn)結(jié)論、形成猜想。另一方面，當(dāng)我們求出軌跡的方程后，可以用信息技術(shù)工具幫助我們進(jìn)行直觀驗(yàn)證軌跡的形狀，加深對(duì)方程所表示的曲線形狀的理解。比如在教學(xué)中，對(duì)雙曲線漸近線的研究是難點(diǎn)。從直觀上看，雙曲線的兩支是向外無限延伸的，始終在漸近線形成的一組對(duì)頂角中，不會(huì)越過它的漸近線。教材通過“信息技術(shù)應(yīng)用”欄目，讓學(xué)生通過觀察，發(fā)現(xiàn)雙曲線的這一性質(zhì)。正文中并沒有給出嚴(yán)格證明，拓展性欄目“探究與發(fā)現(xiàn)——為什么y=±x是雙曲線+=1的漸近線”給出了嚴(yán)格的證明，但不作為教學(xué)要求。漸近線的概念比較抽象，學(xué)生對(duì)它的理解需要一個(gè)過程。

二、值得注意的問題

（一）注意整個(gè)“解析幾何”知識(shí)的前后銜接，準(zhǔn)確把握教學(xué)要求。

必修《數(shù)學(xué)2》中的直線與方程、圓與方程，以及（文）選修1-1，（理）選修2-1中的圓錐曲線與方程，系列4中的“選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程”一起構(gòu)成了經(jīng)典的平面解析幾何內(nèi)容的主干。要注意知識(shí)內(nèi)容的銜接，把相關(guān)內(nèi)容放在平面解析幾何內(nèi)容的通盤考慮，切實(shí)把握每部分的教學(xué)要求。特別注意的是新課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的教學(xué)要求中，橢圓的內(nèi)容要求“理解”，雙曲線的內(nèi)容只作“了解”，拋物線的內(nèi)容理科要求“理解”而文科要求“了解”。

準(zhǔn)確地把握教學(xué)要求包括兩個(gè)方面，第一是把握好新課標(biāo)的精神，第二是把握好學(xué)生的實(shí)際。根據(jù)新課標(biāo)的精神，圓錐曲線部分是屬于控制教學(xué)要求的內(nèi)容，但目前由于考試的影響，這一部分教學(xué)的要求比較高，題目的難度很大。如何控制教學(xué)要求是個(gè)難點(diǎn)。高中的教學(xué)時(shí)間有限，全體學(xué)生都必須掌握的重點(diǎn)課程應(yīng)以最基礎(chǔ)的知識(shí)和最基本的技能為主，要使學(xué)生切實(shí)把基礎(chǔ)打好，不要過分重視技巧性很強(qiáng)的難題。從學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律來說，訓(xùn)練不能一次完成，要循序漸進(jìn)，打好基礎(chǔ)才能有較大的發(fā)展余地，急于求成是不可取的；學(xué)生的基礎(chǔ)、興趣、志向是不同的，要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際提出恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)要求，這樣學(xué)生才有學(xué)習(xí)的積極性，才能使學(xué)生達(dá)到預(yù)定的教學(xué)要求。

（二）圓錐曲線的第二定義、圓錐曲線的統(tǒng)一定義，以及非標(biāo)準(zhǔn)形式的圓錐曲線方程不作教學(xué)要求。

教學(xué)中，老師經(jīng)常說到圓錐曲線的“第二定義”、圓錐曲線的離心率與統(tǒng)一方程，盡管是非常經(jīng)典的內(nèi)容，但不作為基本的教學(xué)要求。考慮到它們的意義，橢圓、雙曲線的“第二定義”在教材的相關(guān)部分的例題有所體現(xiàn)，但沒有明確給出它們的“第二定義”。在拓展性欄目“信息技術(shù)應(yīng)用——用《幾何畫板》探究點(diǎn)的軌跡：橢圓”和“信息技術(shù)應(yīng)用——用《幾何畫板》探究點(diǎn)的軌跡：雙曲線”雖然給出了上述兩種圓錐曲線的“第二定義”，但是不作要求。

在教材中安排了一個(gè)拓展性欄目“探究與發(fā)現(xiàn)——圓錐曲線的離心率與統(tǒng)一方程”，供學(xué)有余力的學(xué)生學(xué)習(xí)參考。但是這些大綱明確說明不作為基本要求，不要給學(xué)生補(bǔ)充這方面的內(nèi)容。不然就給學(xué)生增加了難度，也增加了老師的負(fù)擔(dān)。

另外，我們討論的圓錐曲線的方程都是標(biāo)準(zhǔn)方程，并利用它們的標(biāo)準(zhǔn)方程研究它們的性質(zhì)。非標(biāo)準(zhǔn)形式的圓錐曲線方程不是目前研究的內(nèi)容，建議不要給學(xué)生補(bǔ)充這方面的內(nèi)容。