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    三招破解《解直角三角形》應用題

    2012-04-29 00:44:03洪三球
    考試周刊 2012年13期
    關鍵詞:數學模型應用題

    洪三球

    摘 要:能否高效解決解直角三角形應用題,是關系中考能否取得優(yōu)秀成績的重要一環(huán).本文從構造三種數學模型這一角度入手,給考生們提供了幾種便捷地解決這類問題的方法.

    關鍵詞:應用題 解直角三角形 數學模型

    應用題在解直角三角形這一章中有著十分重要的地位,它使抽象的三角函數理論與實際生活緊密地聯(lián)系在一起,較好地體現(xiàn)了數學來源于生活又應用于生活的特性,很好地貫徹了新課程標準關于理論聯(lián)系實際的思想,是歷年中考的必考題型.能否準確高效解決這類問題直接決定學生能否取得好成績.

    我在中考復習迎考中構造了三類數學模型,靈活運用這三類模型能夠使學生便捷、正確地解決這一類問題。

    一、構造一個直角三角形模型

    這一類問題一般比較簡單,關鍵在于構造出一個直角三角形,把相應的邊和角都歸納進這個三角形,然后用適當的邊角關系解決相應的問題.

    例1(南通市中考題):一輪船以每小時20海里的速度沿正東方向航行,上午8時,該船在A處測得某燈塔位于它的北偏東30°的B處(如圖1-1),上午9時行至C處,測得燈塔恰好在它的正北方向,此時它與燈塔的距離是 海里(結果保留根號)。

    分析:因為燈塔在C的正北,可構造如圖所示的直角三角形ABC,又AC=20,∠BAC=60°,所以由正切函數可計算出BC.

    解:在Rt△ABC中,

    ∵∠ACB=90°,∠BAC=90°-30°=60°,

    又∵AC=20×1=20,

    ∴tan60°=,BC=AC tan60°=20×=20.

    例2(蘇州市中考題):蘇州的虎丘塔塔身傾斜,卻歷經千年而不倒,被譽為“中國第一斜塔”(如圖1-2).BC是過塔底中心B的鉛垂線,AC是塔頂A偏離BC的距離,椐測量,AC約為2.34m,傾角約為2°48′,求虎丘塔塔身AB的長度.(精確到0.1m)

    分析:因為BC是鉛垂線,所以與地面垂直,AB是斜線,要解決該問題,必須構造直角三角形,故過塔頂A作BC垂線垂足為點C,放在Rt△ACB中解決該問題.

    解:在Rt△ACB中,

    ∵∠ACB=90°,∠ABC=2°48′,又AC=2.34

    ∴ tan2°48′=,

    即AB=AC?cot2°48′=2.34 cot2°48′=47.8m.

    二、構造兩個直角三角形模型

    如圖2-1,已知AB⊥CD,∠ACB=α,∠ADB=β(或者其他的兩個角),CD=d(或其他任一邊的長度),求AB及其他邊的長度.

    這類模型又分兩種情況分別解決不同的問題.

    第一種情況:點C,D在邊AB的同側(如圖2-1),利用這兩個直角三角形的邊角,邊邊關系構造方程組解決諸如測量中的俯角,仰角,輪船在大海中航行中的方位角等問題.

    例3(天津市中考題):如圖2-2,一艘貨輪向正北方向航行,在點A處測得燈塔M在北偏西30°,貨輪以每小時20海里的速度航行,一小時后到達B處,測得燈塔M在北偏西45°,問該貨輪到達燈塔正東方向D處時,貨輪與燈塔M距離是多少?(精確到0.1海里,≈1.732)

    分析:因為D在M正東方向,AB是正北方向,所以MD⊥AD,即構造了兩個直角三角形:Rt△ADM和Rt△BDM.在這兩個直角三角形中利用邊角關系構造方程組,即可解決問題.

    解:不妨設MD=x,DB=y(tǒng).

    又∠MAD=30°,

    ∠MBD=45°,AB=20×1=20,

    在Rt△BDM中,∵tan∠MBD=,

    ∴tan45°=①

    在Rt△ADM中,∵tan∠MAD=,

    ∴tan30°=②

    解這個方程組得x=10(+1)≈27.3,y=10(+1))≈27.3.

    所以該貨輪到達燈塔正東方向D處時,貨輪與燈塔M距離約為27.3海里.

    第二種情況:點C,D在邊AB的異側(如圖3-1),利用這兩個直角三角形的邊角、邊邊關系構造方程組也能解決一系列問題.

    例4(中考預測題):如圖3-2,平地上有一建筑物AB和鐵塔CD相距60m,已知在建筑物頂部測得鐵塔底部的俯角為30°,又測得塔頂的仰角為45°,求鐵塔的高(精確到0.01米).

    分析:本題需構造直角三角形,可從點A引CD的垂線,垂足是點E,得到兩個Rt三角形,在這兩個三角形中利用邊角關系構造方程組,即可解決問題.

    解:作AE⊥CD,交CD于點E,不妨設CE=x,DE=y.又∠DAE=30°,∠CAE=45°.

    在Rt△ADE中,∵tan∠DAE=

    ∴tan30°= ①

    在Rt△AEC中,∵tan∠CAE=

    ∴tan45°=②

    解這個方程組得x=60

    y=20

    ∴DE=60+20≈94.64

    答:鐵塔的高度為94.64m.

    例5(常州市中考題):如圖3-3,甲、乙兩只捕撈船同時從A港出海捕魚,甲船以每小時15千米的速度沿西偏北30°方向前進,乙船以每小時15千米的速度沿東北方向前進。甲船航行2小時到達C處,此時甲船發(fā)現(xiàn)漁具丟在乙船上,于是甲船快速(勻速)沿北偏東75°的方向追趕,結果兩船在B處相遇。

    (1)甲船從C處追趕上乙船用了多少時間?

    (2)甲船追趕乙船的速度是每小時多少千米?

    分析:因為乙船速度始終沒有改變,本題應從乙船入手,若能求出AB的長度,則可求出乙船所用的時間,從而可求出甲船追趕上乙船用了多少時間.構造直角三角形,可過點A引CB的垂線,垂足是點E,得到兩個直角三角形,利用邊角關系可求出AB的長度.

    解:過點A引CB的垂線,垂足是點E,又∠ACE=45°,∠EAB=60°.

    在Rt△ACE中,∵sin∠ACE=,即sin45°=

    ∴AE=AC.sin45°=?30?=30

    又∵CE=AE

    ∴CE=AE=30

    在Rt△AEB中,∵cos∠BAE=

    ∴AB===60

    又∵tan∠EAB=

    ∴EB=AE?tan∠EAB=30?tan60°=30

    ∴CB=CE+EB=30+30

    從而,乙船所用時間:==4小時

    甲船從C處追趕上乙船用時間是:4-2=2小時

    甲船追趕乙船的速度是:CB=(30+30)=(15+15)千米/小時

    三、作梯形的高,構造直角三角形模型

    如圖4-1,在梯形ABCD中過點A,D分別作梯形的高AE,DF可構造出兩個三角形,利用坡度與正切函數的關系解決相應問題.

    例6(中考預測題):如圖4-2,梯形ABCD是一堤壩的橫截面示意圖,坡角∠C=60°,AB的坡度=,壩的上底寬AD=10m,斜坡CD長為8m,求其截面面積.

    分析:要求梯形截面面積需要求出下底BC與梯形的高,所以過A,D作梯形的高AE,DF,構造兩個直角三角形:Rt△AEB和Rt△DFC.放在這兩個三角形中解決問題。

    解:過點A,D作AE⊥BC,DF⊥BC垂足分別為點E,F(xiàn),可得EF=AD=10.

    在Rt△DFC中,∵sin∠DCF=

    ∴DF=DC?sin∠DCF=8?sin60°=4

    又∵∠CDF=30°

    ∴FC=DC=4

    在Rt△ABE中,∵i==,又AE=DF=4

    ∴BE=2AE=2?4=8

    ∴S梯形ABCD=?DF

    =?4=(48+48)

    所以,該堤壩的截面面積為(48+48)m.

    顯然,在解答直角三角形應用題時,構造適當的數學模型能提高同學們分析問題、解決問題的能力,大大簡化運算,廣大教師在復習迎考中應注意到這一點.

    參考文獻:

    [1]郭奕津.新教材完全解讀.吉林人民出版社,2005.11.

    [2]薛金星.中學教材全解.陜西人民教育出版社,2005.12.

    [3]占春生.教材動態(tài)全解.東北師大出版社,2009.11.

    [4]新課標初中拓展強化導學練.江蘇人民出版社,2009.12.

    [5]中學數學教學參考.陜西師大出版社,2010.9.

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