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    對高中數(shù)學(xué)填空題的研究

    2012-04-29 00:44:03魏安龍
    考試周刊 2012年13期
    關(guān)鍵詞:檢驗方法解法類型

    魏安龍

    摘 要:本文主要是從四個方面對高中數(shù)學(xué)填空題進行研究:填空題的類型;填空題的編制原則;填空題的解法;填空題的檢驗方法.

    關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué)填空題 類型 編制原則 解法 檢驗方法

    數(shù)學(xué)填空題是一種只要求寫出結(jié)果,不要求寫出解答過程的客觀性試題,是高考數(shù)學(xué)中的必考題型之一.以江蘇數(shù)學(xué)高考為例,填空題占160分中的70分.為了做好填空題,我們既要注意基礎(chǔ)知識技能方面的鞏固,又要注意解題技巧.解填空題時,既要有合理的分析和判斷,又要保證推理、運算的每一步驟都正確無誤,還要把答案表達準確、完整.合理推理、簡化思路、優(yōu)化解法是快速、準確地解答填空題的基本策略.

    一、填空題的類型

    1.基本知識型填空題

    例1.雙曲線+=1的焦距與k無關(guān),則k∈.(答案:(-2,0])

    2.計算型填空題

    例2.(2011北京)在等比數(shù)列{a}中,a=,a=-4,則|a|+|a|+…+|a|=.(答案:2-)

    3.分析型填空題

    例3.(2006江蘇)兩相同的正四棱錐組成如圖所示的幾何體,可放棱長為1的正方體內(nèi),使正四棱錐的底面ABCD與正方體的某一個平面平行,且各頂點均在正方體的面上,則這樣的幾何體體積的可能值有個.(答案:無窮多)

    4.推理型填空題

    例4.若不等式ax-ax-1<0對一切實數(shù)x恒成立,則a的取值范圍是.(答案:(-4,0])

    5.構(gòu)造型填空題

    例5.函數(shù)y=的最小值是.(答案:)

    6.圖形圖像型填空題

    例6.(2011廣東)已知集合A={(x,y)|x,y為實數(shù),且x+y=1},B={(x,y)|x,y為實數(shù),且y=x},則A∩B的元素個數(shù)為.(答案:2)

    7.綜合型填空題

    例7.(2011北京)曲線C是平面內(nèi)與兩個定點F(-1,0),F(xiàn)(1,0)的距離的積等于常數(shù)a(a>1)的點的軌跡.給出下列三個結(jié)論:①曲線C過坐標原點;②曲線C關(guān)于坐標原點對稱;③若點P在曲線C上,則△FPF的面積大于a.其中,所有正確結(jié)論的序號是.(答案:②③)

    二、填空題的編制原則

    1.基礎(chǔ)性

    因為填空題多數(shù)是安排在試卷大題的前面,從試題由易到難的規(guī)律及試題區(qū)分度的要求看,前面部分的試題不能非常難.多數(shù)填空題考查的知識點的綜合程度不高.

    2.簡潔性

    因為填空題的結(jié)果是填在橫線上,所以其答案不能過與繁瑣,數(shù)學(xué)不同于其他學(xué)科,簡潔是數(shù)學(xué)的特點之一.

    3.確定性

    填空題的答案必須是確定的,模糊的問題不能作為填空題.

    三、填空題的解法

    1.直接法

    這是解填空題的基本方法,它是直接從題設(shè)條件出發(fā)、利用定義、定理、性質(zhì)、公式等知識,通過變形、推理、運算等過程,直接得到結(jié)果.

    例1.已知f(x)=在(-2,+∞)上為增函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是.

    解:f(x)==a+,由復(fù)合函數(shù)的增減性可知,g(x)=在(-2,+∞)上為增函數(shù),∴1-2a<0,∴a>.(另法f′(x)≥0恒成立)

    2.特殊化法

    如果一個結(jié)論在一般情形下成立,在特殊情形下必成立.當填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)提供的信息暗示答案是一定值或結(jié)果是一不變的結(jié)果時,可將題中的一般情形特殊化(將圖形、圖形的位置特殊化或給字母賦予特殊值)再求解,這種解填空題的方法叫特殊化法.

    例2.在△ABC中,若a,b,c成等差數(shù)列,則=.

    解:令a=3,b=4,c=5,則△ABC是直角三角形,cosA=,cosC=0,從而所求值為.

    例3.(2011江蘇).設(shè)1=a≤a≤…≤a,其中a,a,a,a成公比為q的等比數(shù)列,a,a,a成公差為1的等差數(shù)列,則q的最小值是.

    解:由已知得1≤a≤q≤a+1≤q≤a+2≤q,取a=1為最小條件成立,q≥3.∴q=

    3.數(shù)形結(jié)合法

    對于一些含有幾何背景的填空題,若能根據(jù)試題的特點,找出其幾何意義,畫出符合題意的輔助圖形,數(shù)中思形,以形助數(shù),則往往可以簡捷地解決問題,得出正確的結(jié)果.這是一種數(shù)形結(jié)合的解題策略,在填空題中有著廣泛應(yīng)用.

    例4.已知m,n∈R,且m+2n=2,則m?2+n?2的最小值為 .

    分析:本題有兩個變量,可以先考慮消去一個成為一元函數(shù),從而可以考慮數(shù)形結(jié)合.

    解:考慮到m?2+n?2=m?2+2n?2,因為2n=2-m,所以只要考慮函數(shù)f(x)=x?2+(2-x)2,容易得到函數(shù)f(x)具有對稱性,關(guān)于直線x=1對稱.

    因為f′(x)=(2-2)+[x?2-(2-x)?2]ln2,當x≥1時,f′(x)≥0.f(x)=f(1)=4.即m?2+n?2的最小值為4.

    4.構(gòu)造法

    通過構(gòu)造圖形、構(gòu)造代數(shù)式、構(gòu)造方程、構(gòu)造不等式等解填空題.

    例5.設(shè)x,y,z是不全為零的實數(shù),則的最大值為.

    解:因為x+y+z=(x+y)+(y+z)≥(xy+2yz)

    當且僅當x=y,y=z,y=x,z=2x取等號.所以最大值為.

    5.等價轉(zhuǎn)化法

    通過“化復(fù)雜為簡單、化陌生為熟悉”,將問題等價地轉(zhuǎn)化成便于解決的問題,從而得出正確的結(jié)果.

    例6.不等式a+b+…+λb(a+b)對?坌a,b∈R都成立,則實數(shù)λ的取值范圍是.

    分析:容易看出,不等式的兩邊都是二次齊次式,因此考慮同時除以b.

    解:當b=0時,λ∈R;

    當b≠0時,不等式的兩邊同時除以b整理得()-λ()+(8-λ)+…+0,

    關(guān)于的一元二次不等式恒成立,Δ≥0得到實數(shù)λ的取值范圍是[-8,4].

    總之,填空題解法會很多,如果我們能夠多角度思考問題,靈活選擇方法,就一定能快速準確地解數(shù)學(xué)填空題.

    四、填空題的檢驗方法

    1.估算法

    用估算法可以解比較難的填空題,也可以用來檢驗結(jié)果的正確性.

    例1.一只螞蟻在三邊邊長分別為3,4,5的三角形的邊上爬行,某時刻該螞蟻距離三角形的三個頂點的距離均超過1的概率為.

    錯誤答案1:,錯誤答案2:(如果憑直覺估計會感覺它們是錯誤的).

    2.特殊值法

    把條件特殊化來檢查結(jié)果是否正確,也可以在結(jié)果中取特殊值代入條件.

    例2.若橢圓+=1的準線平行于向量(m,0),則實數(shù)m的取值范圍是.

    答案1:(,1)∪(1,+∞),答案2:.m<(分別取特殊值m=2,m=0就能發(fā)現(xiàn)是錯誤的).

    3.代入驗證法

    把求出來的數(shù)字代入題目的字母,看有沒有矛盾.

    例3.定義在區(qū)間[2-2,2]上的函數(shù)f(x)=3-3是奇函數(shù),則a=.

    錯誤答案:1(把a=1代入驗證就知道定義在區(qū)間不對稱).

    當然檢驗的方法還有回頭看草稿紙法,改變方法重做法,條件特殊法,排除法,等等.

    參考文獻:

    [1]江蘇教育考試院.2011高考(江蘇卷)說明:語文、數(shù)學(xué)、英語.江蘇教育出版社,2010.12.

    [2]恩波.2011年全國高考真題匯編(數(shù)學(xué)).學(xué)苑出版社,2011.6.

    [3]王曉玲.淺談高中數(shù)學(xué)選擇填空題解法.教壇聚集,2010.23.

    [4]李舒婧.高考數(shù)學(xué)填空題的特點及解題策略.中學(xué)生數(shù)理化(教與學(xué).教研版),2010.08.

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