對高中數(shù)學(xué)填空題的研究

魏安龍

摘 要：本文主要是從四個方面對高中數(shù)學(xué)填空題進行研究：填空題的類型；填空題的編制原則；填空題的解法；填空題的檢驗方法.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)填空題 類型 編制原則 解法 檢驗方法

數(shù)學(xué)填空題是一種只要求寫出結(jié)果，不要求寫出解答過程的客觀性試題，是高考數(shù)學(xué)中的必考題型之一.以江蘇數(shù)學(xué)高考為例，填空題占160分中的70分.為了做好填空題，我們既要注意基礎(chǔ)知識技能方面的鞏固，又要注意解題技巧.解填空題時，既要有合理的分析和判斷，又要保證推理、運算的每一步驟都正確無誤，還要把答案表達準確、完整.合理推理、簡化思路、優(yōu)化解法是快速、準確地解答填空題的基本策略.

一、填空題的類型

1.基本知識型填空題

例1.雙曲線+=1的焦距與k無關(guān)，則k∈.（答案:（－2，0］）

2.計算型填空題

例2.（2011北京）在等比數(shù)列{a}中，a=，a=-4，則|a|+|a|+…+|a|=.（答案:2-）

3.分析型填空題

例3.（2006江蘇）兩相同的正四棱錐組成如圖所示的幾何體，可放棱長為1的正方體內(nèi)，使正四棱錐的底面ABCD與正方體的某一個平面平行，且各頂點均在正方體的面上，則這樣的幾何體體積的可能值有個.（答案:無窮多）

4.推理型填空題

例4.若不等式ax-ax-1＜0對一切實數(shù)x恒成立，則a的取值范圍是.（答案:（－4，0］）

5.構(gòu)造型填空題

例5.函數(shù)y=的最小值是.（答案:）

6.圖形圖像型填空題

例6.（2011廣東）已知集合A={（x，y）|x，y為實數(shù)，且x+y=1}，B={（x，y）|x，y為實數(shù)，且y=x}，則A∩B的元素個數(shù)為.（答案:2）

7.綜合型填空題

例7.（2011北京）曲線C是平面內(nèi)與兩個定點F（-1，0），F(xiàn)（1，0）的距離的積等于常數(shù)a（a＞1）的點的軌跡.給出下列三個結(jié)論：①曲線C過坐標原點；②曲線C關(guān)于坐標原點對稱；③若點P在曲線C上，則△FPF的面積大于a.其中，所有正確結(jié)論的序號是.（答案：②③）

二、填空題的編制原則

1.基礎(chǔ)性

因為填空題多數(shù)是安排在試卷大題的前面，從試題由易到難的規(guī)律及試題區(qū)分度的要求看，前面部分的試題不能非常難.多數(shù)填空題考查的知識點的綜合程度不高.

2.簡潔性

因為填空題的結(jié)果是填在橫線上，所以其答案不能過與繁瑣，數(shù)學(xué)不同于其他學(xué)科，簡潔是數(shù)學(xué)的特點之一.

3.確定性

填空題的答案必須是確定的，模糊的問題不能作為填空題.

三、填空題的解法

1.直接法

這是解填空題的基本方法，它是直接從題設(shè)條件出發(fā)、利用定義、定理、性質(zhì)、公式等知識，通過變形、推理、運算等過程，直接得到結(jié)果.

例1.已知f（x）=在（-2，+∞）上為增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是.

解：f（x）==a+，由復(fù)合函數(shù)的增減性可知，g（x）=在（-2，+∞）上為增函數(shù)，∴1-2a＜0，∴a＞.（另法f′（x）≥0恒成立）

2.特殊化法

如果一個結(jié)論在一般情形下成立，在特殊情形下必成立.當填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)提供的信息暗示答案是一定值或結(jié)果是一不變的結(jié)果時，可將題中的一般情形特殊化（將圖形、圖形的位置特殊化或給字母賦予特殊值）再求解，這種解填空題的方法叫特殊化法.

例2.在△ABC中，若a，b，c成等差數(shù)列，則=.

解：令a=3，b=4，c=5，則△ABC是直角三角形，cosA=，cosC=0，從而所求值為.

例3.（2011江蘇）.設(shè)1=a≤a≤…≤a，其中a，a，a，a成公比為q的等比數(shù)列，a，a，a成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是.

解：由已知得1≤a≤q≤a+1≤q≤a+2≤q，取a=1為最小條件成立，q≥3.∴q=

3.數(shù)形結(jié)合法

對于一些含有幾何背景的填空題，若能根據(jù)試題的特點，找出其幾何意義，畫出符合題意的輔助圖形，數(shù)中思形，以形助數(shù)，則往往可以簡捷地解決問題，得出正確的結(jié)果.這是一種數(shù)形結(jié)合的解題策略，在填空題中有著廣泛應(yīng)用.

例4.已知m，n∈R，且m+2n=2，則m?2+n?2的最小值為 .

分析：本題有兩個變量，可以先考慮消去一個成為一元函數(shù)，從而可以考慮數(shù)形結(jié)合.

解：考慮到m?2+n?2=m?2+2n?2，因為2n=2-m，所以只要考慮函數(shù)f（x）=x?2+（2-x）2，容易得到函數(shù)f（x）具有對稱性，關(guān)于直線x=1對稱.

因為f′（x）=（2-2）+［x?2-（2-x）?2］ln2，當x≥1時，f′（x）≥0.f（x）=f（1）=4.即m?2+n?2的最小值為4.

4.構(gòu)造法

通過構(gòu)造圖形、構(gòu)造代數(shù)式、構(gòu)造方程、構(gòu)造不等式等解填空題.

例5.設(shè)x，y，z是不全為零的實數(shù)，則的最大值為.

解:因為x+y+z=（x+y）+（y+z）≥（xy+2yz）

當且僅當x=y，y=z，y=x，z=2x取等號.所以最大值為.

5.等價轉(zhuǎn)化法

通過“化復(fù)雜為簡單、化陌生為熟悉”，將問題等價地轉(zhuǎn)化成便于解決的問題，從而得出正確的結(jié)果.

例6.不等式a+b+…+λb（a+b）對?坌a，b∈R都成立，則實數(shù)λ的取值范圍是.

分析：容易看出，不等式的兩邊都是二次齊次式，因此考慮同時除以b.

解：當b=0時，λ∈R；

當b≠0時，不等式的兩邊同時除以b整理得（）-λ（）+（8-λ）+…+0，

關(guān)于的一元二次不等式恒成立，Δ≥0得到實數(shù)λ的取值范圍是［-8，4］.

總之，填空題解法會很多，如果我們能夠多角度思考問題，靈活選擇方法，就一定能快速準確地解數(shù)學(xué)填空題.

四、填空題的檢驗方法

1.估算法

用估算法可以解比較難的填空題，也可以用來檢驗結(jié)果的正確性.

例1.一只螞蟻在三邊邊長分別為3，4，5的三角形的邊上爬行，某時刻該螞蟻距離三角形的三個頂點的距離均超過1的概率為.

錯誤答案1：，錯誤答案2：（如果憑直覺估計會感覺它們是錯誤的）.

2.特殊值法

把條件特殊化來檢查結(jié)果是否正確，也可以在結(jié)果中取特殊值代入條件.

例2.若橢圓+=1的準線平行于向量（m，0），則實數(shù)m的取值范圍是.

答案1：（，1）∪（1，+∞），答案2：.m＜（分別取特殊值m=2，m=0就能發(fā)現(xiàn)是錯誤的）.

3.代入驗證法

把求出來的數(shù)字代入題目的字母，看有沒有矛盾.

例3.定義在區(qū)間［2-2，2］上的函數(shù)f（x）=3-3是奇函數(shù)，則a=.

錯誤答案:1（把a=1代入驗證就知道定義在區(qū)間不對稱）.

當然檢驗的方法還有回頭看草稿紙法，改變方法重做法，條件特殊法，排除法,等等.

參考文獻：

［1］江蘇教育考試院.2011高考（江蘇卷）說明：語文、數(shù)學(xué)、英語.江蘇教育出版社，2010.12.

［2］恩波.2011年全國高考真題匯編（數(shù)學(xué)）.學(xué)苑出版社，2011.6.

［3］王曉玲.淺談高中數(shù)學(xué)選擇填空題解法.教壇聚集，2010.23.

［4］李舒婧.高考數(shù)學(xué)填空題的特點及解題策略.中學(xué)生數(shù)理化（教與學(xué).教研版），2010.08.