初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題研究

付東華

中考的應(yīng)用題已經(jīng)不再是單純的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能的應(yīng)用，而是與現(xiàn)代社會(huì)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展緊密地聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際生活中的應(yīng)用。它不僅能考核出學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的水平，更能對(duì)學(xué)生的分析能力、計(jì)算能力、邏輯能力、開放思維能力，以及靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際問題進(jìn)行更深層次的檢驗(yàn)。

一、方程與不等式的混合式組方面的應(yīng)用題

例1：有一座車站，檢票的時(shí)候，有m（m＞0）個(gè)人排隊(duì)等著上車。假定：乘客依相同的速度增加，而檢票員的查檢速度相同。打開一個(gè)檢票口，排隊(duì)的人群要30分鐘檢票完畢；打開兩個(gè)檢票口，只要10分鐘。請(qǐng)問，如果發(fā)生特殊情況，必須在5分鐘內(nèi)全部檢完，至少應(yīng)該同時(shí)打開幾個(gè)檢票口？

解：假如檢票之后新出現(xiàn)的人為每分鐘x人，而檢票的速度為每一個(gè)檢票口每分鐘y人，那么，要想5分鐘之內(nèi)檢完票，就要同時(shí)開n個(gè)檢票口。我們由題目的意思可知：m+30x=30ym+10x=2×10ym+5x≤5ny，∴y=,x=，∴ m+≤n×，∵m＞0 ，∴n≥3.5 ，∵n為最小正整數(shù)， ∴n=4。即：至少要同時(shí)開放4個(gè)檢票口。

這類方程與不等式的混合，充分體現(xiàn)了解方程的“消元”思想，考查了學(xué)生運(yùn)用這方面知識(shí)的靈活程度。

二、函數(shù)中的應(yīng)用題

這幾年這類習(xí)題成為了中考的熱點(diǎn)，各省市的試卷中出現(xiàn)了許多設(shè)計(jì)巧妙、反映時(shí)代氣息的一種信息閱讀理解方面的應(yīng)用題，其中轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想成了這一類試題的靈魂 ，把具體問題抽象成函數(shù)模型，來實(shí)現(xiàn)解題。

例2：某單位投資500萬元，想生產(chǎn)一個(gè)產(chǎn)品。然后，投資1 500萬元大批量生產(chǎn)。假設(shè)每一個(gè)產(chǎn)品成本限定為40元。這時(shí)，相關(guān)人員調(diào)查得知：當(dāng)價(jià)格為100元時(shí)，每年能賣20萬件；價(jià)格每多10元，每年銷量將減少1萬件。假定售價(jià)為x（元），每年銷量為y（萬）件，年贏利為z（萬元）。（1）試寫出y與x之間函數(shù)關(guān)系式。（2）試寫出z與x之間的函數(shù)關(guān)系式。（3）計(jì)算價(jià)格為160元的年贏利，同時(shí)說說要達(dá)到同樣的年贏利，價(jià)格還可以設(shè)為多少？相應(yīng)的年銷量分別為多少？（4）設(shè)想，在第一年，按年贏利最大設(shè)定的價(jià)格銷售；第二年，年贏利若不少于1 130萬元，憑函數(shù)圖像的大致說明，第二年的價(jià)格x（元），可限制在一個(gè)什么數(shù)值內(nèi)？

解：（1）由題意得，當(dāng)銷售價(jià)為x 元時(shí)，年銷售量減少（x-100）萬件，∴y=20-（x-100）=-x+30，即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-x+30。

（2）由題意知：z=(30-x)(x-40)-500-1 500=-x2+34x-3 200，即z與x之間函數(shù)關(guān)系式為z=-x2+34x-3 200。

（3）∵x=160時(shí)，z=-×1602+34×160-3200=-320,∵-320=-x2+34x-3 200， ∴x2-340x+28 800=0， ∴ x+16=340，∴x=180，即同樣的年獲利、銷售單價(jià)還可以定為180元。當(dāng)x=160時(shí)，y=-×160+30=14；當(dāng)x=180時(shí)，y=-×180+30=12，即：相應(yīng)的年銷售量分別為14萬件和12萬件。

（4）∵z=-x2+34x-3 200=-(x-170)2-310， ∴當(dāng)價(jià)格定為170元，贏利最大，同時(shí)，到第一年年底，若想收回所有投資，還差310萬元。第二年，價(jià)格定為x元/件，則年贏利為z=(30-x)(x-40)-310=-x2+34x-1500。當(dāng)z=1 130時(shí)，1130=-x2

+34x-1 510，∴x1=120 ，x2=220。函數(shù)z=-x2+34x-1 510，大致圖像如圖（圖略）?！?20≤x≤220時(shí)，z≥1 130，∴第二年的銷售單價(jià)應(yīng)確定不低于120元且不高于220元范圍內(nèi)。

三、學(xué)科滲透方面的應(yīng)用題

中考數(shù)學(xué)部分應(yīng)用題還體現(xiàn)了其他學(xué)科的滲透，感受到數(shù)學(xué)的工具性、綜合性、歸納性，展示了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。近年來，長春考了成語在概率中的應(yīng)用、漢字的軸對(duì)稱性，蘭州考了烴類化合物的規(guī)律探索，濟(jì)南考了琴弦的頻率與長度關(guān)系等。

例3：物理中的勻速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律在中考習(xí)題中的運(yùn)用。

（青島中考）已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm,BC=3cm，點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)行，速度為1cm/s；點(diǎn)Q由A出發(fā)，沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；連結(jié)PQ，若設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s)(0＜t＜2)，解答下列問題。（1） 當(dāng)t為何值時(shí)，PQ//BC？（2） 設(shè)△AQP的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式？（3） 是否存在某一時(shí)刻t，使線段PQ恰好把Rt△ACB的周長和面積同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)t值；若不存在，說明理由。

分析：（1）將P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度及時(shí)間轉(zhuǎn)化成線段的長度，而當(dāng)PQ//BC時(shí)△APQ～△ABC列出方程進(jìn)而求出t值。（2）選擇合適的底和相對(duì)應(yīng)的高，AQ已知，故選擇AQ邊上的高，過PH⊥AC，利用△APH～△ABC求PH，再求面積。（3）存在性問題一般都是假設(shè)原命題成立，再結(jié)合題設(shè)建立關(guān)于t的方程進(jìn)而求解。

解：（1）由題意得AP=5-t、AQ=2t，當(dāng)PQ∥BC時(shí)，△APQ～△ABC ，∴=，∴=， ∴= ∴t=，即t=秒時(shí)PQ∥BC。

（2）（解略）y與t間的函數(shù)關(guān)系式為y=-t2+3t（0＜t＜2秒） 。

（3） 不存在這一時(shí)刻t滿足條件，理由如下：若PQ把△ABC周長平分，那么AP+AQ=BP+BC+CQ，∴（5-t）+2t=t+3+（4-2t） ，∴t=1，若PQ把△ABC面積平分，則有S△APQ=S△ABC ，即-t2+3t=3。 當(dāng)t=1時(shí)，左=-+3=，右=3，∴左≠右，即當(dāng)t=1時(shí) ， -t2+3t=3不成立。綜上所述，不存在這一時(shí)刻t，使線段PQ把Rt△ACB的周長和面積同時(shí)平分。

總之，中考中的應(yīng)用題涉及范圍越來越廣，譬如統(tǒng)計(jì)方面、圖案設(shè)計(jì)方面、概率方面的應(yīng)用題,對(duì)學(xué)生各方面能力的要求呈逐步上升趨勢，也是試卷失分較多的地方，值得我們關(guān)注。

（大慶市第六十一中學(xué)）