反例在數(shù)學教學中的運用

楊昌海

摘要： 本文主要探討反例在中學數(shù)學教學中的作用及反例的構造法等.在數(shù)學中利用反例可以有效地激發(fā)學生的求知欲，通過反例能使學生加深對基礎知識的理解，反例不僅有助于學生全面正確地理解、掌握數(shù)學的基本概念和基本定理，而且是糾正錯誤、發(fā)現(xiàn)問題的重要途徑.通過反例的構造可以培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維和創(chuàng)造性思維.

關鍵詞： 反例中學數(shù)學教學運用

一、反例在數(shù)學教學中的作用

1.反例是強化概念的有力工具，也可以深化學生對知識的理解.

在中學數(shù)學教學中，教師不僅要運用正確的例子深刻闡明知識點，而且要運用恰當?shù)姆蠢龔牧硪粋€側面抓住概念或規(guī)則的本質，彌補正面教學的不足，從而加深學生對知識的理解，給他們留下深刻的印象.例如：中學數(shù)學中函數(shù)的單調性，數(shù)列極限的運算法則，復數(shù)等概念和運算法則，等等.對于初學者來說，對它們的理解常常模糊不清，在講授這些知識的時候，如果從正面論述，則同學們對它們的理解并不深刻.如果配合一些反例說明，效果就不一樣了.

例1：若a=A，b=B，則（a+b）=A+B，反之是否成立？

分析：反之不成立.若直接說明不好入手，而舉出反例來說明，就能使學生記憶深刻.例如：a=+n，b=-n，顯然（a+b）存在，但a和b均不存在.

2.反例是幫助掌握定理、公式和法則的得力措施.

例2：二項式定理的學習中，初學者只習慣于記住通項公式T=Cxa對于形如（3a-4b）的式子，認為它的第四項系數(shù)是C，而實際上是C3·（-4）.

例3：在平面幾何中，“對角線互相垂直的平行四邊形是菱形”這條定理，“平行”二字往往容易被忽略.可舉一反例，如圖四邊形ABCD中，兩對角線AC⊥BD，但它顯然不是菱形，這樣就可以讓學生理解到定理中的“平行”二字的重要性.

3.反例是否定一個命題的重要方法.

前面我們已知，一個命題的反例起著否定這個命題的作用，數(shù)學史上曾出現(xiàn)過許多著名的反例.

例4：法國數(shù)學家費爾馬于1640年前后在驗算了形如F=2+1的數(shù)，當n=0，1，2，3，4的值分別為3，5，17，257，65537后便宣稱：對于n為任何0或正整數(shù)時，F(xiàn)=2+1是素數(shù).大約過了一百年，即1732年數(shù)學家歐拉找到一個反例：F=2+1=641×6700417，從而否定了費爾馬的上述猜想.

4.反例是駁斥謬論、揭露詭辯、修正錯誤的重要手段，有助于正確掌握題解方法.

面對一個問題的解答，運用反例可以檢驗答案是否正確，如果發(fā)現(xiàn)不對，就會引導我們去追尋問題錯誤的所在.

例5：若方程x+（m-2）x+5-m=0的兩根都大于2，求實數(shù)m的取值范圍.

解：∵x＞2，x＞2，Δ≥0，∴x+x=-（m-2）＞4，

∴m＜-2；xx=5-m＞4，即m＜1，（m-2）-4（5-m）＞0，∴m≥4或m≤-4，故m≤-4.

粗略地看，這個解答是對的.若取m=-5代入則原方程為x-7x+10=0它的一個根為2，則與題意不相符.由此反例可知解法有錯誤，仔細分析可知x＞2x＞2與x+x＞4xx＞4兩式并不等價，滿足前者雖能滿足后者，但是滿足后者的并不能滿足前者.正確的解法略，答案為-5＜m≤-4.

5.反例可以提高解題的速度.

凡是從正面肯定不易而從反面否定較易的選擇題，可以通過反例來解決.

例6：條件A：=≠；條件B：直線AX+BY+C=0，AX+BY+C=0平行，那么，A是B的（ ）條件.

A.充分非必要 B.必要非充分

C.充要 D.既不充分又不必要

一般人都認為C是正確的，但是通過反例，例如：L：2x+1=0，L：2x+5=0；L與L顯然平行，但=≠，故答案為A.

二、如何構造反例

當要判斷一個命題是否正確而又不能從正面證明它的時候，很自然會想到它可能不正確，試著去構造一個反例.所謂構造反例，就是要找出滿足題設又使結論不成立的情形，在很多情況下，反例并不像前面例子那樣，可以信手拈來，有的甚至十分困難.為此，這里談談構造反例的常用方法.

先把滿足題設的所有情況適當?shù)剡M行分類，然后逐類考察，仔細判定結論在所考察的情況下是否成立，由此找出結論不成立的情形，即可求得反例.一般對滿足題設的所有情況進行分類時，宜采用二分法，即把滿足題設的所有情況分為兩類，使其中一類具有某種屬性，而另一類不具有這種屬性.如果第一類情況能使結論成立，則考察第二類情況.必要時，可把第二類情況再分類進行考察，直到找出反例為止.

例7：下列命題是否正確？若正確請給予證明，否則舉出反例.

若P、Q是直線L同側的兩個不同點，則必存在兩個不同的圓，通過點P、Q且和直線L相切.

解：依題設，P、Q兩點與直線L的位置關系可分為兩類：（1）P、Q的連線與L相交；（2）P、Q的連線與L平行，分別考察在這兩類情況下結論是否成立，易發(fā)現(xiàn)這些（2）中，即PQ∥L時，通過P、Q且與L相切的圓只有一個，于是便可求得反例.