數(shù)學思想方法在高考選擇題中的應(yīng)用

黎華 李碧榮

【摘要】數(shù)學思想方法是數(shù)學的靈魂，是開啟數(shù)學知識寶庫的金鑰匙，它為分析、處理和解決數(shù)學問題提供了指導方針和解題策略.本文闡述了中學數(shù)學中所涉及的五種主要數(shù)學思想方法，并結(jié)合2011年各省市高考數(shù)學試題，就五種數(shù)學思想方法在選擇題中的應(yīng)用做個淺析.

【關(guān)鍵詞】高考選擇題；數(shù)學；思想方法

數(shù)學在培養(yǎng)和提高人的思維能力方面有著其他學科所不可替代的獨特作用，這是因為數(shù)學不僅僅是一種重要的“工具”或者“方法”，更重要的是一種思維模式.

數(shù)學思想方法揭示了數(shù)學學習的本質(zhì)，比數(shù)學知識具有更大的統(tǒng)攝性和包容性，它們猶如網(wǎng)絡(luò)，將全部數(shù)學知識有機地編織在一起，形成環(huán)環(huán)相扣的結(jié)構(gòu)和息息相關(guān)的系統(tǒng).

一直以來，高考十分重視對于數(shù)學思想方法應(yīng)用的考查，所以考生應(yīng)該善于通過應(yīng)用數(shù)學思想方法分析問題、解決問題，來提升自己的數(shù)學能力，培養(yǎng)自己的數(shù)學素質(zhì).

高考數(shù)學選擇題在當今高考試卷中占分比例高，約占總分的40%.其特點是概括性強，知識覆蓋面寬，小巧靈活，有一定的綜合性和深度，滲透考查各種數(shù)學思想和方法.考生能否迅速、準確、全面、簡捷地解好選擇題成為得分的關(guān)鍵，而考生能否快速準確地解題，就在于掌握并運用數(shù)學思想方法的能力.

下面結(jié)合2011年各省市高考數(shù)學試題，就五種數(shù)學思想方法在選擇題中的應(yīng)用做個淺析.

一、函數(shù)與方程的思想

函數(shù)思想是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題.方程思想是指從問題的數(shù)量關(guān)系入手，用數(shù)學語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型（方程、不等式或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解.有時，還能實現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，達到解決問題的目的.函數(shù)與方程思想是中學數(shù)學的基本思想，也是歷年高考的考查重點.

例1 （2011浙江卷理8）已知橢圓C1：x2[]a2+y2[]b2=1（a>b>0）與雙曲線C2：x2-y2[]4=1有公共的焦點，C2的一條漸近線與以C1的長軸為直徑的圓相交于A，B兩點，若C1恰好將線段AB三等分，則

A.a2=13[]2B.a2=13

C.b2=1[]2D.b2=2

分析 本題利用方程思想，通過建立漸近線方程與橢圓方程的關(guān)系，從而求解出答案.

利用漸近線方程將橢圓方程化為b2x2+（b2+5）y2=（b2+5）b2.∵橢圓與雙曲線有公共焦點，則有x2=（b2+5）b2[]5b2+20.又∵C1將線段AB三等分，∴1+22×2（b2+5）b2[]5b2+20=2a[]3，解得b2=1[]2.故選C.

注 我們應(yīng)用函數(shù)思想的幾種常見類型有：

（1）把字母看作變量或把代數(shù)式看作函數(shù).

（2）用函數(shù)和方程的性質(zhì)解題.

（3）構(gòu)造函數(shù)解題.

二、數(shù)形結(jié)合的思想

數(shù)形結(jié)合的思想方法，其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結(jié)合起來，由數(shù)想形，以形助數(shù)，具有可以使問題直觀呈現(xiàn)的優(yōu)點，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化.

但是，在高考選擇題中，主要是數(shù)到形的轉(zhuǎn)化，以借助圖形的直觀性研究數(shù)的問題，最終實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的目標.

數(shù)到形的轉(zhuǎn)化工具有：坐標法、方程曲線和函數(shù)圖像.

例2 （2011陜西卷理6）函數(shù)f（x）=x-cosx在[0，+∞）內(nèi)（）.

A.沒有零點 B.有且僅有一個零點

C.有且僅有兩個零點D.有無窮多個零點

分析 本題可以采用數(shù)形結(jié)合的思想，關(guān)鍵在于如何將數(shù)轉(zhuǎn)化成形.

令f（x）=x-cosx=0，則x=cosx.設(shè)函數(shù)y=x和y=cosx，如圖，它們在[0，+∞）的圖像的交點有且只有一個，所以函數(shù)f（x）=x-cosx在[0，+∞）內(nèi)有且僅有一個零點.故選B.

注 在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義，以及曲線的代數(shù)特征，對數(shù)學題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍.

三、分類與整合的思想

在解答某些數(shù)學問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法.

分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學思想方法，同時也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法.由于這類數(shù)學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，對學生能力的考查有著重要的作用，因而在高考試題中占有重要的位置.

例3 （2011山東卷理4）不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是（）.

A.[-5，7] B.[4，6]

C.（-∞，-5]∪[7，+∞）D.（-∞，-4]∪[6，+∞）

分析 本題考查解絕對值不等式的知識，在求解的過程中需對x的取值范圍進行分類，再綜合考慮.題目中需把5與-3作為臨界點，分類討論，最后得x≥6或x≤-4，故選D.

解答分類討論問題時，我們的基本方法和步驟是：（1）要確定討論對象，以及所討論對象的全體的范圍；（2）確定分類標準，正確進行合理分類，即標準統(tǒng)一、不漏不重；（3）對其逐步進行討論，分級進行，獲取階段性結(jié)果；（4）進行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論.

四、化歸與轉(zhuǎn)化的思想

化歸與轉(zhuǎn)化的思想是指在解決問題時，采用某種手段使之轉(zhuǎn)化，進而使問題得到解決的一種解題策略，是數(shù)學學科與其他學科相比，一個特有的數(shù)學思想方法.化歸與轉(zhuǎn)化思想的核心是把生題轉(zhuǎn)化為熟題.如：未知向已知的轉(zhuǎn)化，命題之間的轉(zhuǎn)化，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，空間向平面的轉(zhuǎn)化，高維向低維的轉(zhuǎn)化，多元向一元的轉(zhuǎn)化，高次向低次的轉(zhuǎn)化等，都是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn).

例4 （2011遼寧卷理3）已知F是拋物線y2=x的焦點，A，B是該拋物線上的兩點，|AF|+|BF|=3，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為（）.

A.3[]4B.1C.5[]4D.7[]4

分析 本題考查學生的等價轉(zhuǎn)換能力，將問題轉(zhuǎn)化成梯形中位線問題，從而過渡求解中點C的橫坐標.由拋物線定義知|AM|+|BN|=|AF|+|BF|，則中點C的橫坐標為3[]2-1[]4=5[]4.故選C.

在高考中，對化歸思想的考查，總是結(jié)合對演繹證明、運算推理、模式構(gòu)建等理性思維能力的考查進行，我們在解每一道題時，實際上都在轉(zhuǎn)化和類比.將問題由難轉(zhuǎn)易，由陌生的問題轉(zhuǎn)為熟悉的問題，從而從問題得到解決.因此可以說高考中的每一道試題，都在考查化歸意識和轉(zhuǎn)化能力.

五、特殊與一般的思想

由特殊到一般，再由一般到特殊反復認識的過程是人們認識世界的基本過程之一.在研究數(shù)學問題時，特殊與一般相結(jié)合也是一種既普遍又有效的思想方法.特別是在解答選擇題時，若能恰當利用特殊與一般的辯證關(guān)系，則能快速解決問題，為高考爭取時間.

特殊與一般相結(jié)合的思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在：一是特殊賦值法，即通過給變量賦值達到迅速判斷的目標；二是抓住問題的某個特殊條件展開分析和思考；三是由部分特殊情形歸納總結(jié)出一般的數(shù)學規(guī)律.

例5 （2011遼寧卷理9）設(shè)函數(shù)f（x）=21-x，x≤1，

1-log2x，x>1，則滿足f（x）≤2的x的取值范圍是（）.

A.[-1，2]B.[0，2]C.[1，+∞）D.[0，∞）

分析 本題運用特殊值法能更快解決問題.觀察四個選項中包含的特殊點，分別取x的特殊值0、2、3，都能滿足題意，則選D.

一般地，這種特殊與一般的辯證思想往往貫穿于整個解題過程之中.特殊化可使我們對問題的認識更加具體、明確，而一般化則使我們對問題的認識更加深刻、全面.“從特殊到一般，再由一般到特殊”正是這一數(shù)學思想的具體體現(xiàn).

眾所周知，知識是形成能力的基礎(chǔ)，但知識并不等于能力，掌握數(shù)學思想方法是形成能力、完善思維的必要條件.因此，要全方位提高學生的數(shù)學素質(zhì)乃至科學素質(zhì)，在中學數(shù)學教學中，不僅僅需要知識的教學，更要注意強化數(shù)學思想方法的教學.