自主探究中深化 合作交流中升華

蔣永鴻

〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)學(xué)教學(xué)；合作學(xué)習(xí)；探究

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻標(biāo)識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2012）23—0040—02

一、案例背景

函數(shù)是用以描述客觀世界中量的依存關(guān)系的數(shù)學(xué)概念，是數(shù)學(xué)中最重要的概念之一，它貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)始終；函數(shù)歷來是高考數(shù)學(xué)中的重點考查內(nèi)容，而函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用又是函數(shù)中最重要的內(nèi)容.因此，讓學(xué)生對函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)做到準(zhǔn)確、深刻的理解，并能正確、靈活地加以運用至關(guān)重要.

二、設(shè)計思想

這是高三的一節(jié)復(fù)習(xí)課，教學(xué)時，既要考慮對學(xué)生能力的培養(yǎng)，同時又要重視基本方法的歸納、總結(jié).

1. 本節(jié)課以自主探究、合作交流為主要形式展開教學(xué)活動.首先通過復(fù)習(xí)函數(shù)的性質(zhì)導(dǎo)入，訓(xùn)練學(xué)生對文字語言、符號語言和圖形語言之間的相互轉(zhuǎn)換能力.

2. 例1的設(shè)計意圖是：讓學(xué)生加深對函數(shù)概念、性質(zhì)的理解.通過閱讀，理解數(shù)學(xué)語言、符號，學(xué)會文字語言、圖形語言、符號語言之間的相互轉(zhuǎn)化.通過一題多解、一題多思，滲透化歸、轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想以及代數(shù)變換的方法，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.

3. 例2的設(shè)計意圖是：讓學(xué)生先獨立思考，探求多種解法，然后組織學(xué)生合作學(xué)習(xí)，進而提高學(xué)生綜合運用函數(shù)的性質(zhì)解題的能力.

三、課堂實錄

師：前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對稱性及周期性，今天我們來綜合運用這些性質(zhì)，請回答以下問題：

1. 函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，用數(shù)學(xué)符號如何表示？函數(shù)的圖象有何特點？（略）

2. 畫出一個關(guān)于x=1對稱的函數(shù)圖象，用文字語言如何表達？用符號語言如何表述？（略）

3. 給出f（x+2）=f（x），用文字如何表達？函數(shù)的圖象具有什么特征？能悟出什么？（略）

4. f（x+2）=-f（x），又能悟出什么？

生：∵ f（x+4）=f（x+2+2）=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x），∴y=

f（x）以4為周期.

例1 設(shè)f（x）是R上的奇函數(shù)，f（x+2）=-f（x），當(dāng)0≤x≤1時，f（x）=x，求f（7.5）的值.

教師先讓學(xué)生思考，然后組織學(xué)生分組交流討論.教師巡視活動情況，并及時對學(xué)生進行指導(dǎo).

師：現(xiàn)在請各組選一名代表將你們組歸納的信息告訴大家.

生1：利用周期性，由f（x+2）=-f（x）可得f（x+4）=

f（x），∴f（7.5）=f（8-0.5）=f（-0.5）=-0.5.

師：回答得很好！對所給的符號語言理解得很正確.

生2：直接利用f（x+2）=-f（x），f（7.5）=f（5.5+2）=

-f（5.5）=-[-f（3.5）]=f（3.5）=-f（1.5）=f（-0.5）=-0.5.

師：兩個同學(xué)都說得很好！這種方法利用已知條件，把f（x+2）=-f（x）看成關(guān)系式，通過對x賦值進行代數(shù)變換，得出結(jié)論.還有其他方法嗎？f（x）是奇函數(shù)且

f（x+2）=-f（x），除了能說出周期T=4之外，還能得到什么？

生3：f（x+2）=-f（x），而f（x+2）=f（-x），因此得到

f（x）關(guān)于直線x=1對稱.

師：很好！你能否根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)畫出它的圖象，再利用圖象來解題？

學(xué)生思考后，教師引導(dǎo)學(xué)生一起畫出y=f（x）的圖象，并讓學(xué)生借助圖象尋求解題方法.

生4：從下圖中可看出f（7.5）=f（-0.5）=-0.5.

師：在解題的過程中，我們應(yīng)善于利用數(shù)形結(jié)合的思想方法，借助數(shù)→形→數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)化來解題，會收到意想不到的效果.

例2定義在R上的偶函數(shù)y=f（x）滿足關(guān)系f（x+2）=-f（x），且f（x）在區(qū)間[-2，0]上是增函數(shù)，則有如下結(jié)論：

1.y=f（x）是周期函數(shù)；

2.y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱；

3.y=f（x）在區(qū)間[2，4]上是增函數(shù)；

4.f（2-x）=f（2+x）.

讓學(xué)生先思考，可以互相討論，再組織學(xué)生分別回答，并說明理由.

生1：∵f（x+4）=f（x+2+2）=f（x），∴f（x）是周期函數(shù)，周期T=4；

師：要證明直線x=2是y=f（x）圖象的對稱軸，只需證明什么關(guān)系式成立即可？

生2：只需證f（2-x）=f（2+x）或證f（-x）=f（4+x）或證f（x）=f（4-x）.

師：那我們選擇證第三個等式f（x）=f（4-x）成立.

生3：∵f（x）的周期T=4，且f（x）是偶函數(shù)，∴f（4-x）=f（-x）=f（x），即f（x）=f（4-x），∴y=f（x）圖象的對稱軸為x=2.

生4：由于y=f（x）是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，那么在[0，2]上y=f（x）是減函數(shù).又由于y=f（x）圖象關(guān)于直線x=2對稱，所以y=f（x）在區(qū)間[2，4]上是增函數(shù).

生5：第四小問與第二小問證法相同.

師：回答得太棒了！對于例1我們將問題變式：

變式1：當(dāng)x∈[-1，1]時，求f（x）的解析式.

生1：設(shè)x∈[-1，0]，則-x∈[0，1]，∴f（-x）=-x，又∵f（-x）=-f（x），∴f（x）=x.

∴當(dāng)x∈[-1，0]時，f（x）=x.

師：非常好！能否總結(jié)一下解題步驟？

生2：首先，要“問啥設(shè)啥”，但要設(shè)在未知區(qū)間.其次，把變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上去，最后再利用函數(shù)的奇偶性、周期性求出f（x）的解析式.

變式2：當(dāng)-1≤x≤1時，求f（x）的解析式.（在代數(shù)推理的基礎(chǔ)上，同時結(jié)合圖形觀察.）

生3：由已知和變式1可知當(dāng)-1≤x≤1時，f（x）=x.

變式3：當(dāng)x∈[3，5]時，求f（x）的解析式.

生4：解得f（x）=x-4.

變式4：當(dāng)x∈[1，3]時，求f（x）的解析式.

生5：解得f（x）=2-x.

教師引導(dǎo)學(xué)生小結(jié).（略）

例題演練

1.設(shè)f（x）是區(qū)間（-∞，+∞）上的奇函數(shù)，且滿足

f（x+3）=-f（x），當(dāng)0≤x≤時，f（x）=x，求f（2005）.

2.函數(shù)f（x）滿足條件f（x）=-f（6-x）和f（x）=f（2-x），若f（a）=-f（2000），a∈[5，9]，且f（x）在[5，9]上單調(diào)，求a的值.

四、分析與反思

函數(shù)的性質(zhì)是研究初等函數(shù)的基石，也是高考考查的重點內(nèi)容.復(fù)習(xí)時，要在對函數(shù)定義的深入理解上下工夫.這節(jié)課重在落實基本方法，重視基本功訓(xùn)練，在復(fù)習(xí)中做到了“低起點”、“小步走”.在教學(xué)過程中，例題的分析部分，多采用學(xué)生自主探究、合作交流的形式.根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況設(shè)計問題，不斷糾正學(xué)生出現(xiàn)的錯誤，并將問題逐漸引申；例題的評述部分，采用由學(xué)生小結(jié)、教師補充歸納的形式.對學(xué)生精彩的回答、漂亮的解法，教師及時給予了鼓勵.

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，讓學(xué)生始終處于主動探索、主動思考、主動建構(gòu)意義的認知主體位置，但是又離不開教師的引導(dǎo). 新課標(biāo)強調(diào)，讓學(xué)生在自主探索與合作交流中學(xué)會學(xué)習(xí).本節(jié)課充分體現(xiàn)了這一理念，學(xué)生有足夠的自主探索時間，有與同學(xué)合作交流的空間，有與教師交流互動的機會.學(xué)生不是從教師那里獲取知識，而是在數(shù)學(xué)活動的過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律、體驗成功.

教師是課堂的主導(dǎo)，教師是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的組織者、引導(dǎo)者和合作者.教師的主導(dǎo)作用應(yīng)體現(xiàn)在為學(xué)生提供鮮活的學(xué)習(xí)素材，對學(xué)習(xí)團體嚴(yán)密組織，對交流活動精心策劃，對反饋信息及時有效地處理.

總之，在教學(xué)中，要符合學(xué)生的認知規(guī)律，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)該以探究、實踐、合作、交流的學(xué)習(xí)方式為重.教師要善于引導(dǎo)學(xué)生積極參與教學(xué)活動，讓學(xué)生在動手實踐、自主探究與合作交流的過程中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).教師的教學(xué)活動要能激發(fā)學(xué)生探求新知識的興趣和欲望，逐步培養(yǎng)他們的問題意識.同時還要關(guān)注學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的變化和發(fā)展，關(guān)注學(xué)習(xí)方法與習(xí)慣的養(yǎng)成.

（注：全國教育科學(xué)“十五”規(guī)劃重點課題《關(guān)于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中“合作性學(xué)習(xí)”的研究》成果，課題批準(zhǔn)號：DHB010659）?? 編輯：謝穎麗