數(shù)學分析分層教學法探討

曹曉陽

摘要：傳統(tǒng)教學模式忽略了學生之間的個性差異和能力差異，“分層教學”模式使認知能力和個性特點不同的學生均學有所得，文章在闡述分層次教學理論的基礎上，以高職院校數(shù)學分析課程為例，為層次不同的學生構(gòu)建更加適應其個性特點和知識需求的教學模式。 在分析IRT自適應考試模型的基礎上，引入題庫分層法，以被試者能力值與難度值之差的絕對值作為選題策略，優(yōu)化了IRT自適應考試模型。

關(guān)鍵詞：數(shù)學分析；分層教學；教學方法；教學策略

中圖分類號：G642.0文獻標志碼：A文章編號：1005-2909（2012）05-0128-04

數(shù)學分析課程是高職院校的基礎課程，對學生數(shù)學素養(yǎng)和思維能力的培養(yǎng)有非常重要的意義。但傳統(tǒng)的教學模式忽略了學生之間的個性差異和能力特點差異，如果按照同樣的要求、同樣的進度教學，就難以兼顧全部學生，影響教學效果[1]。引入分層教學模式，一方面可以避免部分學生由于教學內(nèi)容簡單而喪失學習興趣，另一方面使學有余力的學生增強學習積極性，滿足不同層次學生的需求，達到預期教學效果。

一、數(shù)學分析分層次教學的理論依據(jù)

（一）分層教學概念

結(jié)合高職院校數(shù)學分析課程實際，文章將分層教學定義為一種個性化教學模式。具體來講，在高職院校班級授課的前提下，結(jié)合個體的心理特征、學習能力、認識狀況等幾個方面的區(qū)別對學生分類，從而有針對性地引導各個層次的學生完成基礎知識學習和能力培養(yǎng)。

（二）分層教學意義

在學生基礎參差不齊、兩極分化的情況下，實施分層教學對學生學習能力的提升大有裨益[2]。

第一，不同個體之間存在學習能力和個性特征差異，分層次教學有意識地利用這些差異。在尊重差異基礎上，指導學生領(lǐng)悟數(shù)學思想與方法。

第二，教師將學習能力和個性程度相近的個體集中，能更好地把握水平相近的個體認知規(guī)律。一方面有助于學生全面提高素質(zhì)，另一方面也能夠促進教師教學方法的豐富。

第三，個體數(shù)學能力差異，并不意味其智力水平和學習潛力有本質(zhì)差別，所以，分層次教學能提高各層次學生分析問題能力和創(chuàng)新能力。

二、數(shù)學分析分層次教學方法與策略

（一）按教育目標劃分教學層次

如何劃分教學層次是分層次教學實施的關(guān)鍵。結(jié)合筆者所在高職院校的實際情況，根據(jù)學生的不同能力和具體培養(yǎng)目標，劃分為3個教學層次[3]。1.基礎層

基礎層的實施目標是培養(yǎng)專業(yè)技術(shù)人才。這一層次更加注重數(shù)學基礎知識教學，訓練學生數(shù)學基本思維，使之能掌握常用的數(shù)學方法，在此基礎上樹立學習信心，為后續(xù)課程奠定基礎。

2.基本層

基本層的實施目標是培養(yǎng)應用型人才。這一層次的重點是激發(fā)學生的學習積極性和學習興趣，引導學生掌握有效的學習方法，學會以數(shù)學語言表達和解決實際問題，最終努力成長為應用型技術(shù)人才。

3.優(yōu)勢層

優(yōu)勢層的實施目標是培養(yǎng)研究型人才。這一層次重點培養(yǎng)學生的數(shù)學素質(zhì)，拓展學生的創(chuàng)新能力。教師應著重培養(yǎng)學生探索與創(chuàng)造能力，使學生能解決相對復雜的問題。

（二）根據(jù)教學層次劃分學生層次

通過問卷調(diào)查和成績測試、個性評測等方式，結(jié)合學生愛好與具體專業(yè)，進入相應層次培養(yǎng)，從而以適合的教育模式激發(fā)學生的學習潛能。

（三）確保教學質(zhì)量的層次設計

在教材內(nèi)容的設置方面，應在突出數(shù)學基礎地位的前提下，首先保證基本內(nèi)容講授，再根據(jù)學生層次與具體專業(yè)分層教學。

（四）采用的教學方法與教學策略

在教學實踐中，摒棄傳統(tǒng)教學策略，引入分層教學輔導模式。以數(shù)學分析中導數(shù)概念的講解為例詳細闡述。

1.導數(shù)概念教學目標

（1）基本目標：學生在課堂上，應做到了解導數(shù)概念和導數(shù)幾何意義；能以課本例題的思路與方式，結(jié)合導數(shù)定義求取一些簡單函數(shù)導數(shù)。

（2）深化目標：在基本目標之上，要求學生深入理解導數(shù)定義，理解函數(shù)導數(shù)的幾何意義，求取函數(shù)切線方程，能熟練掌握求導基本步驟。

（3）發(fā)展目標：掌握導數(shù)定義的兩種形式，學會以導數(shù)的幾何意義發(fā)現(xiàn)和解決問題；根據(jù)導數(shù)定義得到某些函數(shù)在條件下的極限；掌握比較復雜函數(shù)的求導方法。

2.導數(shù)概念教學重點

層次A：掌握導數(shù)基本概念和幾何意義。

層次B：理解導數(shù)定義，掌握求導基本步驟。

層次C：從導數(shù)的幾何意義角度發(fā)現(xiàn)和解決問題，掌握復雜函數(shù)的求導方法。

3.導數(shù)概念教學難點

層次A：指導學生結(jié)合導數(shù)定義求取簡單函數(shù)導數(shù)。

層次B：指導學生掌握函數(shù)導數(shù)的解題技巧。

層次C： 指導學生獨立分析復雜函數(shù)的導數(shù)求取方法、技巧和思路。

4.導數(shù)概念教學過程

（1）問題設置。教師在講解時，首先以四類問題激發(fā)學生思考函數(shù)相對于自變量的變化快慢程度。這四類問題包括：a.怎樣求取變速運動物體在某一時間點的瞬時速度；b.怎樣求取曲線的切線；c.怎樣求取最優(yōu)值；d.怎樣求取任意物體的重心。接下來教師著重講解前2個問題，后2個問題則鼓勵層次C的學生通過查找資料完成。

（2）分層探究。對于a.怎樣求取變速運動物體在某一時間點的瞬時速度，筆者首先以勻速直線運動的瞬時速度為例，然后將區(qū)間設置為t0，t0+Δt，鼓勵學生思考當Δt趨近于0時的極限值。即v（t0）=lim△t→0v=lim△t→0△s△t。

此例是為層次A和層次B的學生準備，因此釆取由易及難的講解方法。

接下來，對于b.怎樣求取曲線的切線，筆者以多媒體動畫的方式，向?qū)W生演示Δx趨近于0時，割線逐漸趨向于切線，并鼓勵層次A的學生思考導數(shù)的幾何意義。隨后，引導層次B的學生作出切線的斜率表達式。

tanα=lim△x→0tanβ=lim△x→0△y△x=

lim△x→0f（x0+△x）-f（x0）△x。

（3）引出新知。教師此時鼓勵學生思考以下2個問題的內(nèi)在實質(zhì)：a.怎樣求取變速運動物體在某一時間點的瞬時速度，b.怎樣求取曲線的切線，鼓勵層次C的學生回答，以鍛煉其觀察與概括能力。隨后總結(jié)層次C學生的回答，即2個問題都體現(xiàn)當自變量的改變量趨于零時函數(shù)改變量與自變量之比的極限，而這個“極限”便是導數(shù)。

此時，在掌握和理解導數(shù)定義的基礎上，教師繼續(xù)鼓勵層次C的學生總結(jié)求導步驟，即（1）求Δy的值；（2）求Δy與Δx的比值；（3）求lim△x→0△y△x。教師應引導層次A和層次B的學生理解其中含義。

再以高等數(shù)學中的建模課程為例，由于高職院校學生的數(shù)學基礎往往較弱，應在教學中以日常事件喚起學生學習熱情，筆者此次引入年輕人所關(guān)注的減肥問題對學生進行分層教學。首先結(jié)合數(shù)學思想對“減肥”進行分析，使學生理解減肥的本質(zhì)是降低體重。假設一個人在一天之中的所有攝入熱量為A焦耳，此人在日?；顒又兄恍鐱焦耳即可滿足一天之中基本新陳代謝，而其通過身體鍛煉耗費的熱量是C焦耳。此時引導學生簡化問題，設體重的上升與下降所耗費的全部熱量都是人體脂肪所起的作用，而人體脂肪的熱量產(chǎn)生效率是D焦耳每千克，然后鼓勵層次A、層次B和層次C的學生，以數(shù)學建模的方式分析表達一個人體重隨時間的變化規(guī)律。

對層次C的學生，教師只要求其構(gòu)建微分方程和定解條件。學生通過分組討論得出：設在時刻t的時候人體的重量是w（t），則結(jié)合高等數(shù)學的知識可知，在一段長度為dt的時間里，人體產(chǎn)生的熱量與所消耗的熱量的差值即為一個人的熱量變化值，即：

Ddw=A-B-cw（t）dt。

此時再假設人的體重在減肥開始（t0）時為W0，則有

W（t）t = 0= W0 。

此時，教師應鼓勵層次C的學生完成任務，同時勉勵層次A與層次B的學生繼續(xù)進行更深一步的分析。

對于層次A與層次B的學生，教師繼續(xù)鼓勵其解微分方程，使用分離變量法，可得以下通解：

W（t）=w0e-bt。

此時，教師應鼓勵層次B的學生完成任務，同時勉勵層次A的學生繼續(xù)進行更深一步的分析。

對于層次A的學生，教師鼓勵其對模型進一步分析。

當時間t趨于無窮大時limt→+∞w（t）=ab，因此可知，隨著鍛煉時間延長，人的體重最終會是一個穩(wěn)定值，因此，那些通過鍛煉與節(jié)食減肥的人是有希望減輕體重的。

在a=0時有w0e-bt，表示在吃得太少的情況下，limt→+∞w（t）=0，因此僅靠節(jié)食，就有生命危險。

在b=0時，C=0，繼續(xù)推演，W=at+W0，由此可知，不節(jié)食又缺乏鍛煉，只會越來越胖。

至此，3個層次的學生均在有趣的建模中理解了數(shù)學建模的概念與方法。

（五）分層測試系統(tǒng)的構(gòu)建

在評價方法的選擇上，首先應該引入縱向發(fā)展評價模式。摒棄傳統(tǒng)評價中過于注重學生之間橫向比較的方式，轉(zhuǎn)而在正視學生個體特征的前提下，承認學生的個體差異，注重學生在原有水平上是否取得了突破性進步，從而激勵學生維持學習積極性，力求取得更大進步。此外還應在成績考察基礎上，培養(yǎng)學生學習興趣和創(chuàng)新能力[4]。

在測試方面，結(jié)合具體的層次劃分，可將考試題目分為難度不同的層次。例如，可以分為基本題目、解決問題的題目以及創(chuàng)新能力的題目等，建立層次不同的測試體系，采取靈活的測試形式，真正測評學生的進步。文章引入自適應測試模式對不同水平學生測試，自適應測試是基于項目反應理論的一種科學客觀的測試形式，是來自教育心理測量學理論的產(chǎn)物。自適應測驗能夠提供最適合被試個體特質(zhì)水平的難度不同的測試項目，使被試者的真實能力水平在測試結(jié)果中最大化體現(xiàn)。自適應測驗的項目選擇、被試能力估計、終止條件的確定是其主要研究內(nèi)容及理論支撐。自適應評估方法關(guān)鍵在于以下3個方面：其一，測試起始點的確定，即采取怎樣的策略抽取第一道試題；其二，后繼選題策略，在被試者提交一道題目的答案后，采取怎樣的策略給出下一道題；其三，測驗終止條件，怎樣判定考試結(jié)束。

1.測驗起始點的確定

參與測試的不同考生，其能力可能處于不同層次，解決方法是為被試抽取一道難度適中的考題，然后結(jié)合被試輸入答案的對錯決定下一道試題的難易程度。結(jié)合測驗的控制長度，假設共需測試的試題數(shù)目為m，則依據(jù)m可以確定每一步試題難度的調(diào)節(jié)范圍與幅度?？忌哪芰λ酵ㄟ^θ0=lnXz-X評估。式中，考生的正確題目數(shù)以X表示，題目總數(shù)以z表示。首道題目的難度，將直接影響考生對后面考題難度的感知。文章以此提出選擇測驗起始點的其他方法，通過對考生的測驗，在考前評估考生能力范圍，以此增強系統(tǒng)的客觀性。將考生分為兩類，一類是參加過測試的考生，結(jié)合歷史數(shù)據(jù)作為選擇測驗起始點的依據(jù)；另一類是沒參加過的考生，由被試在答題之前自行選擇能力范圍，從而確定起始試題的難易程度。如果考生放棄選擇，則由于考生群體能力滿足正態(tài)分布，此時默認該被試的能力值為0，將其測驗的起始點確定為中等難度。之后，根據(jù)考生答題過程對其能力范圍作精度估計，逐步將題目難度逼近其能力的真值，提升了效率。

2.后繼選題策略的確定

常用的選題策略為信息函數(shù)最大化模型。具體策略為：項目i的區(qū)分度以ai表示，項目i的難度以bi表示，項目i的猜測系數(shù)以ci表示。結(jié)合考生對每道試題的反應，以極大似然法判定其能力值，選擇后續(xù)試題。假定當項目i的猜測系數(shù)ci為零時考生的能力為θ0，在項目i的區(qū)分度ai已知的情況下，項目i的難度在bi=θ0時取最大值。因此可以通過信息函數(shù)最大化模型使后繼選題難度趨近于θ0。對能力值為mi的考生來講，試題i最大的信息量為

mi=bi+1Dailn1+1+8ci2。

后繼選題策略選擇題庫中考生能力值θ與試題難度值b差值的絕對值最小的試題，將其引入題庫層化過程，構(gòu)建題庫分層法。具體思路是：先以內(nèi)容域?qū)︻}庫分區(qū)，再以難度域?qū)︻}庫分塊，最后以區(qū)分度作為指標，對題庫分層。以學生數(shù)學分析課程能力綜合測試為例，步驟如下：

第一，將該門類整體題庫以內(nèi)容域進行分區(qū)，分為導數(shù)、極限等幾個區(qū)域模塊。

第二，以難度參數(shù)b對上述區(qū)域升序排列，以10道題目為準，細分成塊。

第三，以區(qū)分度參數(shù)a對上述細分成塊區(qū)域升序排列。

第四，分別把升序排列后每一塊中的第n個題目置于第n層。

第五，將每一層題目集中形成一個子題庫，共計10個。

第六，從子題庫中選取區(qū)分度較大，與考生能力接近的題目。

3.終止條件的確定

目前常用的測驗終止條件有兩種：一是最大測驗題數(shù)，當考生完成預先設定試題量，便終止測試，其不足之處在于試題量的選擇難以兼顧不同特質(zhì)考生。二是不定長法，通過計算最后兩次考生特質(zhì)之差來決定測驗是否終止。如下式所示：

SE（）=1Ii（θ）=1∑ni=1Ii（θ）≤ε。

該方法的不足之處在于，如果對考生特質(zhì)之差的估計誤差嚴格，便可能增加測驗長度，導致低效。

在終止條件的設定上，綜合了最大測驗題數(shù)與不定長法。首先結(jié)合學生能力和專業(yè)特點，將固定長度設置為平均30道題目左右。測驗長度以nk表示，每層題庫測試信息量以Ik表示，如下式：

Ik=I1+I2+…+In。

各層信息量比例遞增分配，只要Ik與nk有一個抵達預定值，即可判定滿足終止條件，能力測試結(jié)束。

三、結(jié)語

在闡述分層次教學的理論依據(jù)基礎上，結(jié)合筆者的教學實踐，以高職院校數(shù)學分析課程為例，論述了根據(jù)學生個體差異而構(gòu)建的新型教學模式。在實踐中引入題庫分層法，以被試者能力值與難度值之差的絕對值作為選題策略，引入極大似然估計法直接對被試者的能力進行精確估計，以測試信息總量與測試長度結(jié)合來制定測試的終止規(guī)則，從而優(yōu)化IRT自適應考試模型，為層次不同的學生構(gòu)建更加適應其個性特點和知識需求的教學模式，具有較好的理論意義和應用價值。

參考文獻：

[1]施良方.教學理論：課堂教學的原理策略與研究[M].上海：華東師大出版社，2010.

[2] 加涅，等.教學設計原理[M].皮連生，龐維國，等譯.上海：華東師范大學出版社.2011.

[3]李新，蓋海紅，王素軍.模塊教學動態(tài)分層全程考核——中職財經(jīng)類經(jīng)濟法課程分層教學的實踐嘗試[J].中國職業(yè)技術(shù)教育，2004（1）：17-18.

[4]鄧國光，余秀華，李蓮英.職業(yè)學校分層次教學探析[J].中國職業(yè)技術(shù)教育，2004（4）：25-26.

Application of layered teaching in mathematical analysis

CAO Xiaoyang

（Dazhou Vocational and Technical College， Dazhou 635001， Sichuan Province， P. R. China）

Abstract： The traditional teaching model ignored the difference of students personality. The layered teaching mode can make students learn something even their cognitive ability and personality were in different levels. Theories of layered teaching were introduced in the paper. Taking mathematical analysis course in vocational and technical colleges as an example， I presented a new teaching mode according to students personality and analyzed the IRT test model adopting a hierarchical method to optimize the critical segments of computerized adaptive testing mode.

Keywords：mathematical analysis； layered teaching； teaching methods； teaching strategy

（編輯周沫）