考研數(shù)學(xué)中的級數(shù)問題分析

陳曉兵

摘要： 級數(shù)斂散性判定、級數(shù)的求和與函數(shù)的級數(shù)展開，是研究生入學(xué)考試中的常見問題，本文以近年考研題為例進(jìn)行級數(shù)問題的分析.

關(guān)鍵詞： 考研數(shù)學(xué)級數(shù)斂散性冪級數(shù)傅里葉級數(shù)

級數(shù)是考研數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，常以解答題的形式出現(xiàn)，主要有如下三個(gè)方面的題型：一是級數(shù)斂散性的判定問題，二是級數(shù)的求和問題，三是函數(shù)的冪級數(shù)展開與傅里葉級數(shù)展開的問題.以下是以近年考研題為例，對級數(shù)問題所作的幾點(diǎn)分析.

一、級數(shù)斂散性的判定

考研中級數(shù)的斂散性問題，以求冪級數(shù)的收斂域?yàn)槌Ｒ姡Ｓ霉ぞ呤潜戎蹬袆e法.對于冪級數(shù) a x ，當(dāng)<1時(shí)，冪級數(shù)收斂；當(dāng)>1時(shí)，冪級數(shù)發(fā)散；而當(dāng)=1時(shí)，冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散，此時(shí)需通過數(shù)項(xiàng)級數(shù)判別法進(jìn)行判斷.

例1：求級數(shù)x 收斂域.【2012數(shù)學(xué)（一）第17題第一問】

解：由==|x |<1，得-1

當(dāng)x=±1時(shí)，x =，而≠0，級數(shù)發(fā)散.

所以冪級數(shù)x 收斂域是（-1，1）.

例2：求級數(shù)x 收斂域.【2010數(shù)學(xué)（一）第18題第一問】

解：由==|x |<1，得-1

當(dāng)x=±1時(shí)，x =是交錯(cuò)級數(shù)，收斂.所以級數(shù)x 收斂域是[-1，1].

二、級數(shù)的求和問題

1.數(shù)項(xiàng)級數(shù)求和

設(shè)級數(shù) u 前n項(xiàng)和為s =u +u +…+u ，則級數(shù)所有項(xiàng)的和S= s .數(shù)項(xiàng)級數(shù)常用的求和方法有兩種，一種是直接計(jì)算極限 s ，另一種方法是間接法，即借助已知的冪級數(shù)的和函數(shù)來求，常用的和函數(shù)有： x = （-1

例3：設(shè)a 為曲線y=x 與y=x （n=1，2，…）所圍成區(qū)域的面積，記S = a ，S = a ，求S 與S 的值.【2009數(shù)學(xué)（一）第16題】

解：如圖可知：

a =？蘩x dx-？蘩x dx= x - x = -

∴S = a = （ - ）= （ - ）=

S = a = （ - ）=（ - ）+（ - ）+…+（ - ）+…=

∵ （-1）=- （-1）=- （-1）=ln（1+x）（-1

∴ （-1）=-ln（1+x）

∴x =x+x =x-ln（1+x）

∴S ==1-ln（1+1）=1-ln2.

這里，S 采用直接計(jì)算法，而S 用間接計(jì)算法，借助了已知冪級數(shù) （-1）=ln（1+x）來求，考研中的解答題一般會(huì)涉及多個(gè)知識點(diǎn).

2.冪級數(shù)求和

冪級數(shù)求和是級數(shù)中的一個(gè)難點(diǎn)問題，但解題思路卻比較明確，一般用間接法求解.也就是先把所給冪級數(shù)轉(zhuǎn)化為已知的冪級數(shù)表示，然后利用已知的冪級數(shù)求和.如何用已知冪級數(shù)去表示所求冪級數(shù)，是解題的難點(diǎn).解題時(shí)應(yīng)注意對所給冪級數(shù)的項(xiàng)進(jìn)行分析，將它的項(xiàng)與已知冪級數(shù)的項(xiàng)進(jìn)行比對，常可通過提取公因式、系數(shù)分拆、求導(dǎo)、求積等手段尋找到它們之間的關(guān)系，進(jìn)而將所給冪級數(shù)用已知冪級數(shù)表示，然后求和.

例4：求級數(shù)x 的和函數(shù).【2012數(shù)學(xué)（一）第17題第二問】

分析：由例1可知級數(shù)的收斂域?yàn)椋?1，1），注意到對于冪函數(shù)x ，分別有如下“積分”和“導(dǎo)數(shù)”關(guān)系：？蘩x dx= x +C，（x ）′=（2n+1）x ，拆分所給冪函數(shù)項(xiàng)的系數(shù)，可將其轉(zhuǎn)化為冪級數(shù) x 來求.

解：當(dāng)x=0時(shí)，x =3，

當(dāng)-1

∴x =（ x ）′+ ？蘩 x dx=（ ）′+ ？蘩 dx= + ln

∴x =3 x=0 + ln -1

例5：求級數(shù)x 和函數(shù).【2010數(shù)學(xué)（一）第18題第二問】

解：x =xx =x？蘩（x ）′dx=x？蘩 （-1） x dx

=x？蘩 dx=xarctanx

三、函數(shù)的冪級數(shù)展開與傅里葉級數(shù)展開

函數(shù)的冪級數(shù)展開與傅里葉級數(shù)展開是級數(shù)，也是考研級數(shù)中常見問題.一般的，函數(shù)的冪級數(shù)展開主要用間接法，即將所給函數(shù)化為“已知函數(shù)”后再展開，而函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開則用直接法，即通過公式先計(jì)算傅里葉系數(shù)，然后將函數(shù)展開為傅里葉級數(shù).

1.函數(shù)的冪級數(shù)展開

用間接法將函數(shù)展開成冪級數(shù)時(shí)，常用的“已知函數(shù)”有： = x （-1

例6：將f（x）= 展開成x的冪級數(shù).【2006數(shù)學(xué)（一）第17題】

分析：函數(shù)f（x）= 是分式結(jié)構(gòu)，已知函數(shù)中具有分式結(jié)構(gòu)的是 與 .

解：設(shè) = + = ，得A-B=1A+2B=0？圯A= B=-

所以f（x）= · - · = · - · = （ ） -（-1） x =[ -（-1） ]x ，-1

2.函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開

以2π為周期的函數(shù)f（x）的傅里葉級數(shù)為f（x）= + （a cosnx+b sinnx），其中傅里葉系數(shù)a = ？蘩f（x）cosnxdx（n=0，1，2，…），b = ？蘩f（x）sinnxdx（n=1，2，…）.特別的：當(dāng)f（x）是奇函數(shù)時(shí)a =0，b = ？蘩f（x）sinnxdx（n=1，2，…）；當(dāng)f（x）是偶函數(shù)時(shí)，b =0，a = ？蘩f（x）cosnxdx（n=0，1，2，…）.

例7：將f（x）=1-x （0≤x≤π）展開成余弦型級數(shù)，并求級數(shù)的和.【2008數(shù)學(xué)（一）第19題】

解：因?yàn)閒（x）=1-x 是偶函數(shù)，所以b =0.

∵a = ？蘩（1-x ）cosnxdx= ？蘩cosnxdx- ？蘩x cosnxdx= sinnx|- ？蘩x dsinnx

=- x sinnx|+ ？蘩xsinnxdx=- ？蘩xdcosnx=- xcosnx|+ ？蘩cosnxdx

=- cosnπ+ sinnπ|=- ·（-1） =（-1）

而a = ？蘩（1-x ）dx= （x- x ）|=

∴f（x）=1-x = + a cosnx= + （-1）cosnx

∴f（0）= + （-1）

∴ （-1）= [1- ]=