分類討論思想在數學解題中的應用

皇甫琴

摘要： 在解數學問題時，應用分類討論思想，通過正確分類，可以使復雜的問題得到清晰、完整、嚴密的解答.分類討論的思想在解決某些數學問題時，其解決過程包括多種情形，需要根據所研究的對象存在的差別，按一定標準把原問題分為幾個不同的種類，并對每一類逐一加以分析和討論，再把每一類結果和結論進行匯總，最終使得整個問題在總體上得到解決.

關鍵詞： 分類討論思想中學數學教學應用

一、分類討論思想

針對研究問題過程中出現的不同情況進行分類研究的思想，稱之為分類討論思想，其實質是一種邏輯劃分的思想，是一種“化整為零，各個擊破，再積零為整”的數學策略.

分類討論思想，是一種重要的數學思想，也是一種邏輯方法，同時又是一種重要的解題策略.分類討論思想具有較高的邏輯性及很強的綜合性，有利于提高學生對數學學習的興趣，培養(yǎng)學生思維的條理性、縝密性、科學性，所以在數學解題中占有重要的位置.

二、分類討論的要求、原則及其意義

分類討論的要求：正確應用分類討論思想，是完整解題的基礎.應用分類討論思想解決問題，必須保證分類科學、統(tǒng)一，不重復，不遺漏，在此基礎上減少分類，簡化分類討論過程.

為了分類的正確性，分類討論必須遵循一定的原則，在中學階段，經常運用以下四大原則.

（一）同一性原則

分類應按同一標準進行，即每次分類不能同時使用幾個不同的另類根據.

如：把三角形分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形是滿足要求的.但是銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形、等邊三角形、等腰三角形，這種分類就不正確，此種分類同時用了按邊、按角兩種分類標準.

（二）互斥性原則

分類后的每個子項應當互不相容，即做到各子項相互排斥，也就是分類后不能有一些事物既屬于這個子項，又屬于另一子項.

如：某班有9個同學參加球類和田徑兩項比賽，其中有6人參加球類比賽，5人參加田徑比賽，如把這9個人分成參加球類比賽和參加田徑比賽兩類，這就犯了子項相容的邏輯錯誤.因為必須有2人既參加球類比賽，又參加田徑比賽.

（三）相稱性原則

分類應當相稱，即劃分后子項外延的總和，應當與母項的外延相等.

如：某人把有理數分為正有理數和負有理數兩類，這個分類是不相稱的，因為子項的外延總和小于母項的外延.事實上有理數中還包括零.

（四）層次性原則

分類有一次分類和多次分類之分，一次分類是對被討論對象只分類一次；多次分類是把分類后的所有的子項作為母項，再次進行分類，直到滿足需要為止.

如：對數進行劃分，最大層次是實數，實數又分為有理數與無理數，有理數可以分為正有理數、負有理數和零，無理數可以分為正無理數和負無理數，當然，還可以繼續(xù)深化.

（五）意義

分類討論的意義：在解決數學問題時，對于因為存在一些不確定因素無法解答或者結論不能給予統(tǒng)一表述的數學問題，我們往往將問題按某個標準劃分為若干類或若干個局部問題來解決，通過正確的分類，能夠克服思維的片面性，使復雜的問題得到清晰、完整、嚴密的解答.

三、分類討論思想在中學數學中的應用（以初中數學為例）

（一）分類討論思想在不等式中的應用

例如：解方程|x+2|+|3-x|=5

解析：對于絕對值問題，往往要將絕對值符號內的對象區(qū)分為正數、負數、零三種，在此方程中出現兩個數的絕對值；即|x+2|和|3-x|，對于|x+2|應分為x=-2，x<-2，x>-2；對|3-x|應分為x=3，x<3，x>3，把上述范圍畫在數軸上，可見對這一問題應劃分為三種情形：①x>-2，②-2≤x≤3，③x>3，得解如下：

①當x<-2時，化簡-（x+2）+3-x=5得x=-2，這與x<-2矛盾，故x<-2時方程無解.

②當-2≤x≤3時，原方程x+2+3-x=5恒成立，故滿足-2≤x≤3的一切實數x都是方程的解.

③當x>3時，化為x+2-（3-x）=5，得x=3，這與x>3矛盾，故x>3時無解.

綜上所述，原方程的解為在-2≤x≤3范圍內的任意實數.

（二）分類討論思想在函數中的應用

例如：已知函救y=（m-1）x+（m-2）x-1（m是實數）.如果函數的圖像和x軸只有一個交點，求m的值.

分析：這里從函數分類的角度討論，分m-1=0和m-1≠0兩種情況來研究解決問題.

解：當m=l時，函數就是一個一次函數y=-x-1，它與x軸只有一個交點（-1，0）.

當m-1≠0時，函數就是一個二次函數y=（m-1）x+（m-2）x-1.

由△=（m-2）+4（m-1）=0，得m=0.

拋物線y=-x-2x-1的頂點（-1，0）在x軸上.

（三）分類討論思想在幾何中的應用

如：直線和圓根據直線與圓的交點個數可分為：直線與圓相離、直線與圓相切、直線與圓相交.

又例如：已知直角三角形兩條邊長為3和4，則第三邊長為？搖 ？搖.

分析：分類討論：當4為直角邊時，則另外一直角邊為3，則第三邊長為5；當4為斜邊時，則另一直角邊為3，那么第三邊長為.

（四）分類討論思想在實際問題中的應用

近幾年來，考試命題從知識轉向能力測試，出現了大量有鮮活背景的實際應用題，這種應用題，往往需要有分類討論的思想才能順利解決.其解題思路是：用數學的語言加以表達和交流，敏捷地接受試題所提供的信息，并和所學的有關知識相結合，確定適當的分類標準，把一個復雜的應用題分解成幾個較簡單的問題，從而使問題獲解.

四、結論

通過探討分類討論思想在初中數學中的不等式，函數，幾何圖形，以及實際生活中的應用，我們可以知道應該使用正確的分類討論思想，對不同情況進行分類研究，使問題化整為零，各個擊破，再積零為整，從而使復雜的問題得到清晰、完整、嚴密的解答.

分類討論的思想方法在解決某些數學問題時，其解決過程包括多種情形，不可一概而論，難以用統(tǒng)一的形式或同一種方法進行處理.需要根據研究對象所存在的差別，按一定標準把原問題分為幾個不同的種類，并對每一類逐一地加以分析和討論，再把每一類結果和結論進行匯總，最終使得問題在總體上得到解決.

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