拉格朗日之前的代數(shù)方程的發(fā)展

趙增遜

【摘要】一元代數(shù)方程的發(fā)展經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的歷史，有很多的數(shù)學(xué)家都對(duì)代數(shù)方程的求解作出了巨大的貢獻(xiàn)，其中拉格朗日是比較突出的一位，拉格朗日是在廣泛而認(rèn)真地研究了前人工作的基礎(chǔ)上得出了重要的代數(shù)方程求解理論.所以要想深入地了解拉格朗日工作的內(nèi)涵必須清楚在其以前代數(shù)方程發(fā)展的歷史.文章正是基于此，詳細(xì)地分析了拉格朗日之前代數(shù)方程的發(fā)展史并介紹了三次、四次方程的求解方法.

【關(guān)鍵詞】代數(shù)方程；拉格朗日；發(fā)展歷史

【中圖分類(lèi)號(hào)】玁09

【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】獳オ

一、序 言

一元代數(shù)方程的發(fā)展已有四千多年的歷史，從簡(jiǎn)單的一次方程到今天的群論，代數(shù)方程求解的形式和內(nèi)涵都發(fā)生了巨大的變化.很多偉大的數(shù)學(xué)家都對(duì)一元代數(shù)方程的求解作出了重要的貢獻(xiàn)，其中拉格朗日是較為突出的一位.拉格朗日對(duì)代數(shù)方程求解的主要貢獻(xiàn)是提出輔助方程理論和用置換的思想進(jìn)行方程求解，拉格朗日提出這些理論是在廣泛而深入地研究了前人的工作后才得出的，所以要想清楚拉格朗日的工作、了解代數(shù)方程求解史，我們必須要知道在這之前的發(fā)展史.

二、拉格朗日之前的代數(shù)方程的發(fā)展

1.一元一次、一元二次代數(shù)方程的發(fā)展

據(jù)記載一元代數(shù)方程的歷史應(yīng)該從公元前2000年左右的埃及數(shù)學(xué)談起，在萊茵德紙草書(shū)中就已經(jīng)出現(xiàn)了一次方程，只是當(dāng)時(shí)的未知數(shù)x用“堆”來(lái)表示，提出的問(wèn)題相當(dāng)于求解x+ax=b或者x+ax+bx=c類(lèi)型的一次方程，埃及人順利解出了此類(lèi)方程，他們采用“假位法”；在紙草書(shū)中已經(jīng)出現(xiàn)了簡(jiǎn)單的二次方程ax2=b，一元代數(shù)方程的歷史從此拉開(kāi)了序幕.古巴比倫的泥版書(shū)則表明，古巴比倫人已經(jīng)會(huì)解一般的二次方程并給出了方程的求根公式，但由于古巴比倫人不承認(rèn)負(fù)數(shù)，二次方程有負(fù)根是忽略掉的，所以他們只處理方程根為正數(shù)的情況.在歐幾里得《原本》中給出了二次方程有實(shí)根的判別條件.公元200年~1200年時(shí)期的印度人已經(jīng)認(rèn)識(shí)到二次方程有兩個(gè)根，而且可能會(huì)出現(xiàn)負(fù)根和無(wú)理根，他們已經(jīng)會(huì)使用配方法解二次方程，但由于不承認(rèn)負(fù)數(shù)有平方根（虛數(shù)），故他們并不能解所有的二次方程.尤其值得一提的是3世紀(jì)時(shí)中國(guó)著名數(shù)學(xué)家趙爽得出了x2-bx+c=0型方程的求根公式，據(jù)稱(chēng)這是歷史上最早的二次方程求根公式的記錄.公元724年左右，唐代數(shù)學(xué)家張遂曾利用求根公式求解一元二次方程，并且還發(fā)現(xiàn)了二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，該成果比法國(guó)大數(shù)學(xué)家韋達(dá)對(duì)代數(shù)方程的研究要早1000年左右.阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米對(duì)二次方程的求解也作出了突出的貢獻(xiàn)，他第一次給出了二次方程的一般代數(shù)解法，并第一次給出幾何證明.

到公元1000年左右人們基本上會(huì)解任何形式的一元一次、一元二次代數(shù)方程，從方法上來(lái)講也比較多，像配方法、公式法、因式分解法等都已被人們所熟知，但由于數(shù)系的發(fā)展是緩慢于代數(shù)方程求解方法的發(fā)展，雖然當(dāng)時(shí)人們會(huì)用各種方法去解方程，但當(dāng)方程的根是負(fù)根或復(fù)數(shù)根時(shí)，很多數(shù)學(xué)家是不承認(rèn)的.

2.一元三次、一元四次代數(shù)方程的發(fā)展

三次方程的求解更是舉步維艱，直至現(xiàn)在仍然有很多大一的學(xué)生都不太會(huì)解三次方程.據(jù)記載最早出現(xiàn)三次方程是在美索不達(dá)米亞的泥版書(shū)中，他們主要解類(lèi)似x3=a和x3+x2=a的三次方程，但大都是采用查表的方法解答，因?yàn)榘捅葌惾司幱袑?zhuān)門(mén)的立方表和立方根表及m3+n2的數(shù)值表.而真正開(kāi)始嘗試求解一般三次代數(shù)方程是由阿拉伯人奧馬·海亞姆作出的，他于約1079年出版了《代數(shù)學(xué)》，他用圓錐曲線(xiàn)解三次方程，這是阿拉伯人在代數(shù)方程求解上作出的推進(jìn)性貢獻(xiàn).至于用純代數(shù)的方法進(jìn)行一元三次代數(shù)方程求解則出現(xiàn)的相對(duì)較晚，以至于1494年帕喬利還曾宣稱(chēng)一般的一元三次代數(shù)方程不可解，然而這一宣言在六年后即被打破.1500年波羅尼亞的數(shù)學(xué)教授費(fèi)羅宣布解出了x3+mx=n類(lèi)型的三次方程，在他之后的塔塔利亞和卡爾達(dá)諾幾乎可以解任何類(lèi)型的三次方程，并且沒(méi)過(guò)多久卡爾達(dá)諾的學(xué)生費(fèi)拉里即宣告解答了一元四次代數(shù)方程.

到拉格朗日時(shí)期一元一次、一元二次、一元三次、一元四次方程的求解已基本上得到解決，由于一次、二次方程的解法比較固定、簡(jiǎn)單而且大家都比較熟悉，在這里就不再敘述了.自從16世紀(jì)意大利的數(shù)學(xué)家們解出了一元三次、一元四次方程，許多的數(shù)學(xué)家開(kāi)始嘗試各種技巧進(jìn)行一元三次、一元四次代數(shù)方程求解，并試圖解答五次及五次以上的方程.在這里我們有必要介紹幾位數(shù)學(xué)家求解一元三次、四次方程的方法.

3.一元三次、一元四次代數(shù)方程的解法

三次方程求根公式的推廣得益于卡爾達(dá)諾，是他最早公開(kāi)發(fā)表三次方程的求解方法、求根公式并且?guī)缀悟?yàn)證了這種解法.我們不可能將卡爾達(dá)諾的原著再現(xiàn)，下面的過(guò)程只是展現(xiàn)了他解三次方程的內(nèi)涵.

對(duì)于x3+ax2+bx+c=0，令y=x+a[]3，得：

y3+py+q=0.(1)

其中p=b-a2[]3，q=2a3[]27-ab[]3+c,考慮等式

(u+v)3=u3+v3+3(u+v)uv.

即（u+v)3-3(u+v)uv-(u3+v3)=0.（2）

比較（1）和（2），令y=u+v，則方程（2）變?yōu)椋?u+v)3+p(u+v)+q=0，其中

p=-3uv,

q=-u3+v3.

即u3v3=-p3[]27,

u3+v3=-q.（3）

易解得（3）的根為：u3,v3=-q[]2±q[]22+p3[]27.

可得到y(tǒng)=3[]-q[]2+p3[]27+q2[]4+3[]-q[]2-p3[]27+q2[]4.

進(jìn)而可得到原方程根x的值.

在卡爾達(dá)諾的《大法》之中也包括了費(fèi)拉里求解四次方程的方法：

對(duì)于x4+ax3+bx2+cx+d=0，令y=x+a[]4，則原方程可變?yōu)椋?/p>

y4+py2+qy+r=0.（4）

其中p=b-6a[]42,

q=c-a[]cb+a[]23，

r=d-a[]4c+a[]42b-3a[]44.

（4）移項(xiàng)，得：y4+py2=-qy-r.（5）

（5）等式左邊配方，得：y2+p[]22=-qy-r+p[]22.

在左端括號(hào)內(nèi)加u得：y2+p[]2+u2=-qy-r+p[]22+2uy2+pu+u2.（6）

則右端應(yīng)為完全平方數(shù)，故有：

Δ=4×2up2[]4+pu+u2-r-q2=0.

即：8u3+8pu2+(2p2-8r)u-q3=0.（7）

（7）顯然為可解的三次方程，解答該方程就可得到u的值.

則（6）就變?yōu)閥2+p[]2+u2=2uy-q[]22u2.

ヒ虼擻衴2+p[]2+u=2uy-q[]22u.

此為二次方程很容易得到y(tǒng)的值，進(jìn)而得到原方程的根x的值.

自此許多的數(shù)學(xué)家開(kāi)始運(yùn)用不同的方法進(jìn)行一元三次、一元四次方程求解，其中代表人物有韋達(dá)、車(chē)恩豪斯、歐拉、貝祖等.但真正開(kāi)始將一元三次、一元四次方程作為一類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行處理，試圖尋找一種統(tǒng)一的解法的是車(chē)恩豪斯.車(chē)恩豪斯認(rèn)真分析前人解一元三次、一元四次方程的各種方法，由此提出了自己獨(dú)特的解代數(shù)方程的方法，他通過(guò)消去方程的中間項(xiàng)，使方程變?yōu)橹挥凶罡叽雾?xiàng)和常數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)方程，而此二項(xiàng)方程是很容易得出其根的，進(jìn)而原方程的根就可以求得.貝祖和歐拉解三次、四次方程的方法只是車(chē)恩豪斯方法的特例而已，車(chē)恩豪斯解三次、四次方程的方法并沒(méi)有卡爾達(dá)諾等人的簡(jiǎn)單，但這種方法更直接、更一般，有利于研究更高次的方程的求解.

三、結(jié) 語(yǔ)

從細(xì)節(jié)上來(lái)講解答一元三次、一元四次方程的方法還不止這些，但正如拉格朗日所說(shuō)：通過(guò)分析我們明白一切方法的基礎(chǔ)都是一樣的，因此所達(dá)到的結(jié)果是必然相同的.因此一元代數(shù)方程的求解進(jìn)入了困境，一元三次、一元四次方程的求解已經(jīng)徹底解決，并且方法也豐富多樣，遺憾的是無(wú)論是采用特殊的技巧還是試圖用一種一般的、通用的方法都沒(méi)有能解答出五次及五次以上的方程，或者說(shuō)將已知的方法推廣到五次及五次以上方程上去，法國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家拉格朗日出場(chǎng)了，正是因?yàn)橛星懊孢@些數(shù)學(xué)家的辛勤工作才使得拉格朗日提出了新的理論進(jìn)行代數(shù)方程求解，所以研究前人的工作有利于我們深入了解整個(gè)代數(shù)方程求解歷史.