中學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力探究

高建

【摘要】本文深入探討了推理的機(jī)制、數(shù)學(xué)推理的一般過(guò)程、數(shù)學(xué)推理的分類(lèi)，并根據(jù)數(shù)學(xué)推理的分類(lèi)總結(jié)歸納出適合于中學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力層次分類(lèi).最后，根據(jù)本文數(shù)學(xué)推理能力層次分類(lèi)對(duì)當(dāng)前中學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力進(jìn)行了調(diào)查研究，并與張奠宇教授等于1997年6月對(duì)數(shù)學(xué)推理能力的調(diào)查結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析.

【關(guān)鍵詞】推理；數(shù)學(xué)推理；數(shù)學(xué)推理能力；推理能力分類(lèi)オ

一個(gè)具有推理能力的人，無(wú)論遇到什么事情，都會(huì)自覺(jué)地尋求并弄清事情發(fā)生的本源，講道理，判明是非，從而采取公正、合理的措施來(lái)解決問(wèn)題.具有較強(qiáng)的推理能力對(duì)學(xué)生成長(zhǎng)以及智力發(fā)展都起著加速和促進(jìn)的作用，使其能夠應(yīng)對(duì)如今社會(huì)中大量紛繁復(fù)雜的信息，并對(duì)其進(jìn)行篩選，理出頭緒，作出恰當(dāng)?shù)呐袛嗪蜎Q策，這是21世紀(jì)新型人才所需要的基本素質(zhì).因此，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力，提高學(xué)生的問(wèn)題解決能力，培養(yǎng)學(xué)生將來(lái)工作以及實(shí)際生活的能力，是一項(xiàng)迫在眉睫的任務(wù).

一、推 理

推理（獻(xiàn)nference）并不僅僅局限在數(shù)學(xué)推理這個(gè)層面.推理廣泛應(yīng)用在我們的日常工作和生活中，在我們?nèi)粘９ぷ骱蜕钪校评頍o(wú)處不在.

推理定義：由一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷（前提），推導(dǎo)出一個(gè)未知的結(jié)論的思維過(guò)程.推理是形式邏輯，其作用是從已知的知識(shí)得到未知的知識(shí)，特別是可以得到不可能通過(guò)感覺(jué)經(jīng)驗(yàn)掌握的未知知識(shí).

推理是從一些已知的命題A1，A2，…，A璶出發(fā)，按一定規(guī)則推得一個(gè)新命題B的思維過(guò)程.一個(gè)推理由前提和結(jié)論兩部分所組成，推理時(shí)所依據(jù)的命題A1，A2，…，A璶稱(chēng)為推理的前提，從前提通過(guò)推理得到的新命題B稱(chēng)為推理的結(jié)論.

二、數(shù)學(xué)推理

最初人們認(rèn)為“數(shù)學(xué)推理本質(zhì)上是一種純粹的邏輯推理，因而不會(huì)受到武斷的影響”（Whately R.，1873）.但數(shù)學(xué)推理并不等同于純演繹的邏輯推理.19世紀(jì)數(shù)學(xué)家彭加勒（Henri Poincare）在其“數(shù)學(xué)推理的本性”中對(duì)沿襲了兩千多年之久的數(shù)學(xué)“三段論”推理說(shuō)率先提出質(zhì)疑后，人們對(duì)數(shù)學(xué)推理的理解逐漸趨于深刻.波利亞（Givlert Polya）于1954年發(fā)表了《數(shù)學(xué)與猜想》，其中主要研究數(shù)學(xué)成果的思想淵源，明確將數(shù)學(xué)推理概括為證明推理與合情推理.

筆者認(rèn)同“數(shù)學(xué)推理是從一個(gè)判斷或許多已知判斷推出另一個(gè)新判斷的思維過(guò)程，是對(duì)判斷間的邏輯關(guān)系的認(rèn)識(shí)”這樣一種觀(guān)點(diǎn).掌握比較完善的推理能力是智力發(fā)展的重要環(huán)節(jié)和主要標(biāo)志.

1筆學(xué)推理分類(lèi)

人類(lèi)的思維是復(fù)雜的，推理這種思維過(guò)程也有多種形式.

（1）推理按推理過(guò)程的思維方向劃分，主要有演繹推理（獶eductive Reasoning）、歸納推理和類(lèi)比推理.

①演繹推理又稱(chēng)三段論推理，最常見(jiàn)的是直言三段論形式.其意義是由普通的原理到特殊事實(shí)的推理，即以普通的原理為前提，以特殊事實(shí)為結(jié)論.

②歸納推理，就是從個(gè)別性知識(shí)推出一般性結(jié)論的推理.它是由一系列個(gè)別性的知識(shí)，推出一個(gè)一般性的結(jié)論.思維進(jìn)程的方向和演繹推理恰好相反.

③類(lèi)比推理是根據(jù)兩個(gè)或兩類(lèi)事物某些屬性相同或相似，進(jìn)而推論另一屬性也相同或相似，或者根據(jù)某類(lèi)事物的許多現(xiàn)象都有某種屬性，推論該類(lèi)事物的另一對(duì)象也有這種屬性的推理形式.它是通過(guò)對(duì)兩個(gè)或兩類(lèi)事物進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)相同或相似點(diǎn)后，以此作為依據(jù)推知事物的未知屬性.

（2）推理按照結(jié)論的真假，可以把數(shù)學(xué)推理劃分為必真推理（論證推理）與似真推理（合情推理）兩大類(lèi).

①必真推理：必真推理又稱(chēng)為論證推理.在前提正確無(wú)誤的情況下，使用推理方法可以導(dǎo)出真實(shí)的推理結(jié)論，即導(dǎo)出真命題.演繹法中只要前提判斷正確，結(jié)論自然是真實(shí)判斷，所以演繹法是一種必真推理方法.

②似真推理：似真推理又稱(chēng)為合情推理，它來(lái)自于玃lausible Reasoning，是一種合乎情理的推理.推理中，如果推理前提正確無(wú)誤，即為真命題，而推理結(jié)論不一定為真.廣義的合情推理包括觀(guān)察、實(shí)驗(yàn)、聯(lián)想、猜測(cè)、直觀(guān)、歸納、類(lèi)比、推廣、限定、抽象等一系列發(fā)現(xiàn)手段.

（3）根據(jù)推理前提的數(shù)量可分為直接推理和間接推理.

①直接推理.直接推理是由一個(gè)前提推出一個(gè)結(jié)論的推理.在傳統(tǒng)邏輯學(xué)中，直接推理分為：根據(jù)判斷間的對(duì)當(dāng)關(guān)系的直接推理和通過(guò)判斷變形的直接推理兩種.

②間接推理.間接推理是有兩個(gè)或兩個(gè)以上的前提推理出一個(gè)結(jié)論的推理.間接推理又根據(jù)其前提到結(jié)論思維進(jìn)程的方向分為演繹推理、歸納推理、類(lèi)比推理.

（4）邏輯推理的發(fā)展要經(jīng)歷四級(jí)水平：直接推理、間接推理、迂回推理、綜合推理.

①直接推理水平，即套用公式直接推出結(jié)論；

②間接推理水平，即需要進(jìn)行條件轉(zhuǎn)化、尋找依據(jù)、經(jīng)多個(gè)步驟得出結(jié)論；

③迂回推理水平，即需要深入分析條件及相互關(guān)系，提出假設(shè)，反復(fù)驗(yàn)證后才得出結(jié)論；

④綜合性推理水平，即要按照一定的數(shù)理邏輯規(guī)則、格式進(jìn)行推理，追求推理過(guò)程的簡(jiǎn)練、合理.

研究表明，中學(xué)生邏輯推理水平普遍較低，初一學(xué)生有一半以上不能套公式做題，高中學(xué)生還有人不能按公式進(jìn)行一步推理；多步推理成為普遍難題，綜合性推理更是困難重重.

2筆學(xué)推理的三個(gè)層次

對(duì)數(shù)學(xué)推理能力的劃分形式是多樣的，每一種方法的側(cè)重點(diǎn)各不相同.針對(duì)本研究的群體特性，筆者認(rèn)為：數(shù)學(xué)推理劃分為直接推理、間接單層推理、間接多層推理.如圖1所示.其中間接單層推理又可以劃分為間接單層單步推理、間接單層兩步推理、間接單層多步推理.這種劃分方法的包容性顯然是有限的，但目標(biāo)清晰且是有重點(diǎn)的進(jìn)行劃分，適合于針對(duì)數(shù)學(xué)推理能力水平相對(duì)不高的初中生進(jìn)行其數(shù)學(xué)推理能力的培養(yǎng).

圖1 數(shù)學(xué)推理能力層次オオ

合情推理有助于創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)，演繹推理有利于邏輯嚴(yán)密性思維的培養(yǎng).筆者認(rèn)為將對(duì)中學(xué)生的數(shù)學(xué)推理劃分為演繹推理和合情推理的劃分方法有利于對(duì)推理形式的研究，但并不利于對(duì)中學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力的培養(yǎng).本研究中的數(shù)學(xué)推理能力的劃分方法并不是僅僅強(qiáng)調(diào)演繹推理，忽視合情推理的重要性，而是將合情推理融入到我們本研究的框架之中.

3筆學(xué)推理能力

數(shù)學(xué)推理能力，實(shí)際上是學(xué)生邏輯論證能力、獨(dú)立思考能力、探索能力、創(chuàng)新能力等的綜合體現(xiàn)，是一種復(fù)合型能力.“課標(biāo)”指出，義務(wù)教育階段學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力主要表現(xiàn)在：能通過(guò)觀(guān)察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類(lèi)比等獲得數(shù)學(xué)猜想，并進(jìn)一步尋找證據(jù)、給出證明或舉出反例；能清晰、有條理地表達(dá)自己的思考過(guò)程，做到言之有理、落筆有據(jù)；在與他人交流的過(guò)程中，能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言合乎邏輯地進(jìn)行討論與質(zhì)疑.

通過(guò)分析，筆者認(rèn)為可以把“數(shù)學(xué)推理能力”的概念界定為：在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，運(yùn)用合情推理去獲得理解數(shù)學(xué)概念、公式、法則等知識(shí)或探究解決問(wèn)題的方法，獲得發(fā)現(xiàn)、得出猜想或結(jié)論，并用演繹推理對(duì)所得出的猜想結(jié)論加以檢驗(yàn)、證明的個(gè)性心理特征.

數(shù)學(xué)推理能力的形成是一個(gè)緩慢的過(guò)程，有其自身的特點(diǎn)和規(guī)律，它不是學(xué)生“懂”了，也不是學(xué)生“會(huì)”了，而是學(xué)生自己“悟”出了道理、規(guī)律和思考方法等.這種“悟”只有在學(xué)生經(jīng)歷觀(guān)察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明的真實(shí)數(shù)學(xué)問(wèn)題探索中得到培養(yǎng).

三、中學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力調(diào)查

國(guó)內(nèi)外對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力水平的調(diào)查并不多.張奠宇教授、田中教授、徐龍炳教授于1997年6月開(kāi)始對(duì)數(shù)學(xué)基本技能進(jìn)行測(cè)試與分析，并于2003年以《數(shù)學(xué)教育研究前沿》系列叢書(shū)的形式發(fā)行出版.該研究和叢書(shū)對(duì)本研究起到很大的啟示作用.但該研究對(duì)數(shù)學(xué)推理能力的測(cè)量從開(kāi)始到現(xiàn)在已有12年之久，就算從2003年《數(shù)學(xué)教育研究前沿》系列叢書(shū)的出版算起，也已有7年之久.當(dāng)今社會(huì)迅猛發(fā)展，我國(guó)不同年齡段的學(xué)生智力水平在最近幾年變化速度很快，所以有必要在開(kāi)展本論文的研究之前對(duì)當(dāng)前的初中學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力再做一次調(diào)查.

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本次調(diào)查的對(duì)象為廣州市天河區(qū)天秀中學(xué)（重點(diǎn)城市的區(qū)一級(jí)學(xué)校）的兩個(gè)初三班級(jí)（共65名學(xué)生）和山東省煙臺(tái)市十五中學(xué)（三線(xiàn)城市的普通學(xué)校）的三個(gè)初三班級(jí)（共110名學(xué)生）的學(xué)生.調(diào)查對(duì)象跨越兩個(gè)省份，既有重點(diǎn)城市的重點(diǎn)學(xué)校，也有三線(xiàn)城市的普通學(xué)校，調(diào)查樣本具有一定的代表性.天秀中學(xué)所用教材為人民教育出版社出版的義務(wù)教育系列教材，發(fā)放《初中數(shù)學(xué)推理能力的調(diào)查表》65份，回收62份，回收率95%，有效率100%.山東煙臺(tái)市十五中學(xué)所用的教材為山東教育出版社義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)，發(fā)放《初中數(shù)學(xué)推理能力的調(diào)查表》110份，回收107份，回收率97%，有效率100%.

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此次調(diào)查使用《初中數(shù)學(xué)推理能力的調(diào)查表》，編制和設(shè)計(jì)依據(jù)本研究對(duì)數(shù)學(xué)推理能力的界定，參考了我國(guó)《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》以及田中、徐龍炳、張奠宇編著，由華東師范大學(xué)出版社出版的《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、教學(xué)研究探索》一書(shū)中的相關(guān)內(nèi)容，結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)教材內(nèi)容制定.

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為了保證調(diào)查問(wèn)卷的信度和效度，我們?cè)陂_(kāi)展正式的問(wèn)卷調(diào)查前進(jìn)行了預(yù)測(cè).預(yù)測(cè)的目的是初步檢驗(yàn)題目的難度、題目的數(shù)量、調(diào)查問(wèn)卷的信度和效度，并對(duì)發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題進(jìn)行及時(shí)調(diào)整以便調(diào)查問(wèn)卷更加嚴(yán)謹(jǐn).為提高調(diào)查問(wèn)卷的質(zhì)量，與實(shí)驗(yàn)學(xué)校協(xié)調(diào)專(zhuān)門(mén)安排了一節(jié)課進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，以便保證學(xué)生能夠在良好的狀態(tài)下完成需要調(diào)查的內(nèi)容.

四、調(diào)查數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)與分析

本調(diào)查研究，共發(fā)放問(wèn)卷175份，共收回問(wèn)卷169分.我們按照每道題的正誤來(lái)給分，每道題目滿(mǎn)分1分，回答正確給滿(mǎn)分，回答錯(cuò)誤給零分.首先我們批閱學(xué)生的每一份問(wèn)卷，然后我們對(duì)問(wèn)卷按照題號(hào)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，最后根據(jù)每道題目的正答率畫(huà)出曲線(xiàn)圖，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖2所示.

圖2 數(shù)學(xué)推理能力水平オオ

1.根據(jù)統(tǒng)計(jì)顯示圖，我們可以看出，中學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力水平普遍不高.大多數(shù)的題目，學(xué)生的正答率平均在55%.

2.第12，13題涉及多步數(shù)學(xué)推理，學(xué)生的正答率普遍偏低.而對(duì)于第1，2題等直接推理的題目，學(xué)生的正答率則普遍偏高.由此可見(jiàn)，學(xué)生的直接推理能力發(fā)展相對(duì)間接推理發(fā)展程度較好.

3.數(shù)據(jù)分析顯示，對(duì)于圖形化的數(shù)學(xué)推理，學(xué)生的正答率一般偏高；對(duì)于純數(shù)字的數(shù)學(xué)推理，學(xué)生的正答率普遍偏低.由此可見(jiàn)，中學(xué)生正處于一個(gè)由形象化思維到抽象化思維過(guò)渡的階段.學(xué)生的抽象化思維程度普遍不高，而形象化思維相對(duì)于抽象化思維則相對(duì)較高.在我們的數(shù)學(xué)教育教學(xué)中，我們完全可以利用學(xué)生的形象化思維較高的特性，利用幾何相關(guān)知識(shí)來(lái)對(duì)抽象思維進(jìn)行訓(xùn)練.

4.本次調(diào)查的學(xué)生的題目正答率為52.8%，與《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、教學(xué)研究探索》一書(shū)中的正答率506%=（44.74+55.47+51.59）÷3×100%相比，現(xiàn)在的中學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力相對(duì)較高.

我們對(duì)本次調(diào)查的169份問(wèn)卷，按照性別進(jìn)行分別統(tǒng)計(jì)，計(jì)算不同性別的學(xué)生每道題目的正答率，然后我們根據(jù)該正答率的統(tǒng)計(jì)數(shù)值作圖，如圖3所示.

圖3 男女?dāng)?shù)學(xué)推理能力水平オオ

圖3為按照性別進(jìn)行統(tǒng)計(jì)學(xué)生每道題目的正答率.從本研究的調(diào)查統(tǒng)計(jì)圖表來(lái)看，初中男生的推理技能和初中女生的推理技能基本相一致，并且初中女生在直接推理方面優(yōu)于初中男生.在形象化思維方面男生優(yōu)于女生，在數(shù)字演繹推理方面女生略?xún)?yōu)于男生.2003年張奠宇在《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、數(shù)學(xué)研究探索》一書(shū)中認(rèn)為，城市省重點(diǎn)中學(xué)男生的推理技能略?xún)?yōu)于女生，而鄉(xiāng)鎮(zhèn)重點(diǎn)中學(xué)女生的推理技能高于男生，總體上中學(xué)生中男生演繹推理技能明顯優(yōu)于女生.與本調(diào)查研究的研究結(jié)果基本一致，但也有部分差異，可能與選取的被調(diào)查對(duì)象的不同有關(guān).

五、調(diào)查結(jié)果小結(jié)

調(diào)查結(jié)果顯示，中學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力較之1998年的調(diào)查結(jié)果有所提高，但總體水平仍然普遍偏低.中學(xué)生思維仍具有直觀(guān)化、形象化的明顯特點(diǎn)，對(duì)于圖形化數(shù)學(xué)推理題目的正答率普遍較高.中學(xué)生正處于一個(gè)由形象化思維到抽象化思維的過(guò)渡階段，簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)推理能力相對(duì)較高，復(fù)雜的多步間接推理能力則相對(duì)較低，而且兩者差距很大.

調(diào)查結(jié)果同時(shí)顯示，初中男生的數(shù)學(xué)推理能力與初中女生的數(shù)學(xué)推理能力基本一致，初中女生在直接推理方面優(yōu)于初中男生.

調(diào)查結(jié)果說(shuō)明，隨著課程改革的深入，我國(guó)中學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力有了一定的提高，但總體水平仍然較低，中學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力亟待進(jìn)一步提高.オ

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