基于ARMA組合模型的我國(guó)人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)分析

金 露，夏萬(wàn)軍

(安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽蚌埠233041)

引言

2010年中國(guó)第6 次全國(guó)人口普查結(jié)果顯示，全國(guó)總?cè)丝跀?shù)量為1 339 724 852，占世界人口總量的19.4%，仍然是目前世界上人口最多的國(guó)家［1］。與2000年第5 次人口普查相比，10年內(nèi)總?cè)丝谠黾? 390 萬(wàn)人，增長(zhǎng)了5.84%，年平均增加率為0.57%，比1990年到2000年的年均增加率1.07%下降了0.5%。該數(shù)據(jù)表明，自1980年在全國(guó)城鄉(xiāng)實(shí)行計(jì)劃生育政策以來(lái)，對(duì)人口控制效果成果顯著，人口增加率得到了一定程度控制，但從人口總量上看，形勢(shì)依然不容樂(lè)觀。

除了人口數(shù)量問(wèn)題，人口結(jié)構(gòu)也是目前比較突出的問(wèn)題之一。人口老齡化日趨嚴(yán)重，據(jù)估計(jì)，在未來(lái)幾年內(nèi)，我國(guó)65 歲及以上人口將呈現(xiàn)快速增加趨勢(shì)，但是由于生育率持續(xù)走低，導(dǎo)致老齡化問(wèn)題日益凸顯。此外，出生人口性別比例偏差問(wèn)題也很嚴(yán)峻。2010年，我國(guó)出生人口的男女比例為1∶1.1808，2000年該比值為1∶1.1686，大大超過(guò)了103 ～107 的正常值范圍，說(shuō)明我國(guó)人口性別比例問(wèn)題沒(méi)有得到改善，且有愈演愈烈的趨勢(shì)。

在人口數(shù)量和人口結(jié)構(gòu)雙重問(wèn)題的形勢(shì)下，中國(guó)人口問(wèn)題的長(zhǎng)期性、復(fù)雜性、艱巨性、矛盾性更加突出，人口問(wèn)題嚴(yán)重影響了中國(guó)現(xiàn)代化進(jìn)程，阻礙了經(jīng)濟(jì)、社會(huì)、資源、環(huán)境等諸多因素的統(tǒng)籌協(xié)調(diào)可持續(xù)發(fā)展，對(duì)我國(guó)各項(xiàng)人口政策和福利保障機(jī)制提出了嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。

為了研究我國(guó)人口變化狀況，預(yù)測(cè)我國(guó)人口數(shù)量，本文采用組合模型為研究方法，對(duì)人口波動(dòng)設(shè)置虛擬變量，從定量分析的角度，研究了新中國(guó)成立62年來(lái)我國(guó)的人口狀況和計(jì)劃生育政策的影響，并利于組合模型的預(yù)測(cè)優(yōu)勢(shì)，對(duì)人口序列進(jìn)行預(yù)測(cè)，以期得到令人信服的結(jié)果。

一、組合模型原理

組合模型是指將回歸模型與時(shí)間序列模型分析方法相結(jié)合組成新的模型。假設(shè)有如下一元線性回歸模型:

設(shè)(1)式的估計(jì)式為:

組合模型主要有四種作用:(1)克服回歸模型中的自相關(guān)性;(2)對(duì)時(shí)間序列作長(zhǎng)期預(yù)測(cè);(3)對(duì)時(shí)間序列作干擾分析;(4)應(yīng)用于季節(jié)調(diào)整的時(shí)間序列組合模型。

本文采用組合模型，克服了回歸模型的自相關(guān)性，并對(duì)人口序列進(jìn)行預(yù)測(cè)，以期得到理想的預(yù)測(cè)效果。

二、模型的建立與分析

本文選擇1949—2010年中國(guó)人口總量數(shù)據(jù)為研究對(duì)象，數(shù)據(jù)來(lái)源于國(guó)家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站(由于篇幅有限，具體數(shù)據(jù)省略)，人口序列總體情況見圖1。由圖可以看出，總體而言，中國(guó)人口序列隨著時(shí)間推移呈現(xiàn)明顯的增長(zhǎng)趨勢(shì)。其中1960年、1961年人口史無(wú)前例出現(xiàn)下降的情況，這主要是由于1960年開始的自然災(zāi)害，導(dǎo)致人口數(shù)量的急劇減少。此外，自1980年實(shí)行計(jì)劃生育政策開始，我國(guó)的人口增長(zhǎng)速率有所減緩，對(duì)我國(guó)人口數(shù)量的減少做了很大貢獻(xiàn)。這兩次人口變動(dòng)，對(duì)我國(guó)人口基數(shù)和人口增長(zhǎng)產(chǎn)生了較大影響。為了進(jìn)一步研究人口波動(dòng)情況，分別對(duì)兩次人口波動(dòng)設(shè)置虛擬變量，建立時(shí)間序列模型。

圖1 人口序列圖

1.模型I

首先對(duì)人口數(shù)取對(duì)數(shù)，消除可能存在的異方差。為了研究1960年的人口突變情況，將1960年設(shè)為突變點(diǎn)。定義虛擬變量DL1:

假設(shè)斜率和截距雙突變，建立最小二乘模型，結(jié)果為:

注:DT1 = DL* t;括號(hào)中的數(shù)字為t 統(tǒng)計(jì)量;＊＊＊、＊＊、* 分別表示在1%、5%、10% 的水平下顯著，下同。

模型(4)中可以看出，R2=0.9796，模型整體擬合效果較好(根據(jù)DW 的值可以看出，模型存在自相關(guān)性，后文將對(duì)模型進(jìn)行改進(jìn)以消除異方差)。在1960年，截距突變?cè)?% 的顯著性水平上顯著，人口基數(shù)發(fā)生了顯著變化，對(duì)于斜率突變的顯著性程度雖然不及截距，但也在10% 的顯著性水平上顯著，說(shuō)明1960年的自然災(zāi)害對(duì)人口增長(zhǎng)率也有一定程度的影響。這可能與人口的代際性質(zhì)有關(guān)，即上代人口數(shù)量會(huì)影響下一代的人口數(shù)量。由于人口基數(shù)降低，這一時(shí)期出生人口數(shù)量也會(huì)在一定程度上降低，導(dǎo)致人口增長(zhǎng)率的降低。

2.模型II

模型I 說(shuō)明了1960年突變點(diǎn)的顯著程度，模型II 將在模型I 的基礎(chǔ)上研究1980年突變點(diǎn)的顯著程度，即計(jì)劃生育政策的有效性。再次定義虛擬變量DL2:

假設(shè)斜率和截距雙突變，建立最小二乘模型，結(jié)果為:

注:DT2 = DL2* t，下同。

上述模型中，除1960年突變點(diǎn)代表斜率突變的虛擬變量不顯著外，其余變量均顯著，剔除該變量，對(duì)模型進(jìn)行修正，結(jié)果如下:

模型(6)中R2= 0.9973，模型整體擬合效果較好，且各參數(shù)顯著。上述模型說(shuō)明，新中國(guó)成立以來(lái)，人口發(fā)生兩次較大規(guī)模的波動(dòng)，1960年為截距突變，導(dǎo)致人口數(shù)量急劇下降，與事實(shí)相符。1980年截距突變和斜率突變的虛擬變量都顯著，從代表斜率變動(dòng)情況的虛擬變量DT2的系數(shù)可以看出，計(jì)劃生育政策控制了人口的增長(zhǎng)速度，發(fā)揮了其應(yīng)有的功效。

3.組合模型的建立

根據(jù)模型(6)的DW 值可知，模型存在嚴(yán)重的自相關(guān)性，要克服自相關(guān)性，組合模型是一種很好的辦法。在建立組合模型之前，必須對(duì)(6)式的殘差μ 進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，選擇帶截距項(xiàng)帶趨勢(shì)項(xiàng)的ADF 檢驗(yàn)，結(jié)果為ADF =－3.3317 ＜－2.9126(臨界值)，在5% 的置信度水平下，拒絕存在單位根的原假設(shè)［3］，因此，認(rèn)為殘差序列不存在單位根，為平穩(wěn)序列，可以直接建立組合模型，用ARMA 模型替代殘差μ。根據(jù)μ 的自相關(guān)圖確定ARMA 模型的自回歸和移動(dòng)平均最大階數(shù)，按AR(1)、AR(4)、MA(1)、ARMA(1，1)、ARMA(4，1)估計(jì)，結(jié)果見表1。

通過(guò)比較模型的擬合系數(shù)R2、各參數(shù)t 檢驗(yàn)結(jié)果以及AIC、SC 值發(fā)現(xiàn)ARMA(4，1)模型估計(jì)結(jié)果最合理，最終選定以ARMA(4，1)替代殘差序列μ，建立組合模型，表達(dá)式為:

觀察DW 值可以明顯看出，組合模型克服了(6)式中的自相關(guān)性，新的組合模型各參數(shù)顯著，且模型的整體擬合效果較原模型有了進(jìn)一步提高。

表1 μ 序列的ARMA 模型回歸結(jié)果

將公式(7)根據(jù)虛擬變量拆分，得到分階段的三個(gè)公式:

為了便于觀察，將上式用圖形表示出來(lái)(見圖2)。根據(jù)圖2，可以明顯看出兩次人口變動(dòng)的具體情況。第一次突變?cè)?960年，人口基數(shù)發(fā)生下降，這里不具體分析。主要看第二次人口序列的變動(dòng)，其斜率發(fā)生了明顯變化，前面兩階段的斜率為0.0217，第三階段斜率下降到0.0102，人口對(duì)數(shù)的增長(zhǎng)下降了52.9954%，這是新中國(guó)成立以來(lái)人口問(wèn)題的一大歷史性進(jìn)步，說(shuō)明計(jì)劃生育政策為我國(guó)人口形勢(shì)作出了重大貢獻(xiàn)。

圖2 三個(gè)階段擬合效果圖

三、組合模型預(yù)測(cè)

根據(jù)預(yù)測(cè)時(shí)間長(zhǎng)短分為長(zhǎng)期預(yù)測(cè)和短期預(yù)測(cè)，根據(jù)預(yù)測(cè)樣本區(qū)間可以分為樣本內(nèi)預(yù)測(cè)和樣本外預(yù)測(cè)。此外，根據(jù)預(yù)測(cè)方式，還分為結(jié)構(gòu)預(yù)測(cè)和非結(jié)構(gòu)預(yù)測(cè)，在本文中結(jié)構(gòu)預(yù)測(cè)指利用(7)式的第一行預(yù)測(cè)，即不包括ARMA 項(xiàng)，非結(jié)構(gòu)預(yù)測(cè)指完全按照(7)式進(jìn)行預(yù)測(cè)。本文分別就以上幾種預(yù)測(cè)類型，對(duì)我國(guó)人口數(shù)量進(jìn)行預(yù)測(cè)。

1.樣本內(nèi)短期預(yù)測(cè)

對(duì)2010年人口進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)果見表2。由下表可以看出，三項(xiàng)預(yù)測(cè)評(píng)價(jià)指標(biāo)——均方根誤差RMSE、平均誤差MAE 以及平均絕對(duì)百分誤差MAPE 都控制在理想范圍內(nèi)，預(yù)測(cè)精度較高，且非結(jié)構(gòu)預(yù)測(cè)結(jié)果比結(jié)構(gòu)預(yù)測(cè)結(jié)果更準(zhǔn)確，非結(jié)構(gòu)預(yù)測(cè)誤差為0.52%，小于1%，控制在理想范圍內(nèi)，說(shuō)明在預(yù)測(cè)過(guò)程中加入ARMA 項(xiàng)之后，效果更好，精度更高，體現(xiàn)了組合模型在預(yù)測(cè)方面的優(yōu)勢(shì)。

表2 2010年人口預(yù)測(cè)結(jié)果

表3 2011－2015年人口序列預(yù)測(cè)結(jié)果

2.樣本內(nèi)長(zhǎng)期預(yù)測(cè)

根據(jù)模型(7)預(yù)測(cè)1949—2010年的人口數(shù)量，分別得到非結(jié)構(gòu)預(yù)測(cè)結(jié)果YF3 以及結(jié)構(gòu)預(yù)測(cè)結(jié)果YF4，結(jié)果見圖3。根據(jù)該圖可以看出，代表非結(jié)構(gòu)模型預(yù)測(cè)結(jié)果的曲線YF3 與代表真實(shí)值的曲線Y 幾乎完全一致，比結(jié)構(gòu)模型預(yù)測(cè)的結(jié)果(YF4)更為精確。

3.樣本外預(yù)測(cè)

修改樣本期間為1949—2015年，以此預(yù)測(cè)2011—2015年未來(lái)5年我國(guó)人口數(shù)。預(yù)測(cè)結(jié)果見表3，到2014年我國(guó)人口總數(shù)將突破14 億，2015年我國(guó)總?cè)丝趯⑦_(dá)到14.2684 億，從預(yù)測(cè)評(píng)價(jià)指標(biāo)來(lái)看，均方誤差均在小于0.15，維持在0.12 左右，誤差波動(dòng)平穩(wěn)且預(yù)測(cè)精度極高，說(shuō)明該預(yù)測(cè)結(jié)果可信度較高。

圖3 1949—2010年人口序列預(yù)測(cè)結(jié)果

結(jié)論

本文以新中國(guó)成立以來(lái)人口數(shù)量為研究對(duì)象，對(duì)人口波動(dòng)以及計(jì)劃生育政策進(jìn)行分析，并設(shè)置虛擬變量，最后利用組合模型對(duì)未來(lái)我國(guó)人口進(jìn)行預(yù)測(cè)，得出以下幾點(diǎn)結(jié)論:

1.我國(guó)歷史上發(fā)生兩次重大的人口變動(dòng)，第一次為截距突變，即人口數(shù)量的大幅度下降，人口的增長(zhǎng)率并沒(méi)有發(fā)生變化。第二次是截距斜率雙突變，即人口增長(zhǎng)率發(fā)生了降低。但要說(shuō)明的是，模型(7)中雖然1980年的截距突變參數(shù)顯著，但并不說(shuō)明人口基數(shù)的變化，事實(shí)上1980年人口基數(shù)并沒(méi)有發(fā)生變化，截距變化是由于斜率降低造成的，即圖3 中的LNYK3 曲線反向延伸于Y 軸的交點(diǎn)高于LNYK2 于Y 軸的交點(diǎn)。

2.通過(guò)上述模型結(jié)果可以看出，計(jì)劃生育政策效果顯著。實(shí)行計(jì)劃生育政策以來(lái)，我國(guó)人口對(duì)數(shù)的增加率下降了52.9954%，該項(xiàng)政策對(duì)我國(guó)的人口形勢(shì)起了關(guān)鍵作用，有效控制了我國(guó)人口的高速增長(zhǎng)。

3.根據(jù)預(yù)測(cè)結(jié)果，發(fā)現(xiàn)非結(jié)構(gòu)預(yù)測(cè)結(jié)果明顯由于結(jié)構(gòu)預(yù)測(cè)結(jié)果，預(yù)測(cè)精度極高，體現(xiàn)了組合模型在預(yù)測(cè)方面的優(yōu)勢(shì)。此外，根據(jù)組合模型樣本外預(yù)測(cè)結(jié)果顯示，2014年我國(guó)人口總數(shù)將超過(guò)14億，2015年將達(dá)到14.26841 億，人口現(xiàn)狀依舊不容樂(lè)觀，因此各級(jí)政府必須長(zhǎng)期堅(jiān)持計(jì)劃生育政策，以確保我國(guó)社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、資源、環(huán)境等各方面協(xié)調(diào)可持續(xù)發(fā)展。

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