有“可能”卻無“意外”

海安縣十大杰出青年，南通市小學數(shù)學學科帶頭人，全國優(yōu)課評比一等獎獲得者，發(fā)表文章100多篇。

隨著新課程的全面推進，概率教學進入了我們的小學教學領域，如何把握好小學概率教學的“度”，是課程改革以來大家關注的熱點之一。近幾年，我先后觀摩了不少關于概率的課堂教學，這些課中，既有名師和新秀的課，也有普通教師的課，他們的課有許多值得我們學習的地方，但也存在不少問題，甚至在教學過程中還遭遇到一些尷尬，比如，一位老師教學“可能性的大小”這一內容時，老師出示：

一個布袋里面有3個紅球和1個黃球。進行摸球游戲，一共摸20次球（摸后放回），如果摸到的紅球多，就算女生贏，如果摸到的黃球多，就算男生贏。

老師本來的設想是紅球的個數(shù)多，摸到紅球的可能性大，結果應該是女生贏，實際的實驗結果紅球只摸到了7次，黃球卻摸到了13次，男生贏了。面對這種情況老師感到很意外，他在試教時沒有出現(xiàn)過這種情況。于是，他只能硬著頭皮說：“剛才的游戲太意外了，我們重新再做一次游戲?！闭n后我和這位老師交流，老師感慨道：“怎么會這么倒霉呢？太意外了！”

事實上，在教學中出現(xiàn)這樣的情況也應該是意料之中的，基于隨機思想的概率實驗中永遠都“只有可能，沒有意外”。某一事件發(fā)生的可能性大并不能遮蓋另一小概率事件發(fā)生的偶然性。案例中的這位老師自身對于隨機思想缺乏應有的認識和準備。面對上面這種情況，如果老師處理得好，這次“意外”應該可以成為滲透隨機思想的一個極好的“契機”。不管可能性誰大誰小，結果永遠都是“一切皆有可能”的，從某種意義上說，“離開了隨機就談不上概率”。

課改這么多年了，“隨機思想”在我們一線老師的視野中也不算是什么新鮮的語匯了，對此大家都有自己的認識，但是要說清楚，好像又有些模糊。隨機性是概率教學中的一個基本觀念，它包括兩個方面：（1）單一事件的不確定性和不可預見性；（2）事件在經(jīng)歷多次重復實驗中所表現(xiàn)出的規(guī)律性。關于數(shù)據(jù)隨機的內涵北京教育學院張丹教授曾做過說明，她認為數(shù)據(jù)隨機主要有兩層含義：一方面，對于同樣的事情，每次收集到的數(shù)據(jù)可能會是不同的；另一方面，只要有足夠的數(shù)據(jù)，就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。舉一個例子：一個袋子里裝有若干個紅球和白球，一方面，每次摸出的球的顏色可能是不一樣的，事先無法確定；另一方面，有放回地重復多次（摸完后將球放回袋中，搖晃均勻后再摸），從摸到的球的顏色的數(shù)據(jù)中就可能發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，比如紅球多還是白球多，紅球和白球的比例等等。

如果要具體闡述隨機思想的內涵，我個人以為，它至少應蘊含著以下的幾層含義：第一，隨機現(xiàn)象在實驗之前，不能確定其結果，任何一種可能性結果都可能會發(fā)生，任何一種可能性結果也都可能不發(fā)生。第二，雖然發(fā)生的結果不能確定，但是各種可能結果出現(xiàn)的可能性是有大小的。第三，某一事件發(fā)生的可能性的大小是對大量的重復實驗而言的，一個結果出現(xiàn)的可能性大，并不意味著在一次實驗中就會出現(xiàn)，一個結果出現(xiàn)的可能性小，也并不是說進行一次實驗就一定不會出現(xiàn)，而是在大量的實驗中出現(xiàn)的次數(shù)少一些而已。第四，概率關注的不是某一次實驗的具體實驗結果，而是各種結果出現(xiàn)的可能性。第五，可能性的大小在理論上是用概率來描述的，而在實驗中則是用頻率來表達的。當重復實驗的次數(shù)足夠多時，頻率在概率附近取值的可能性很大，大到頻率與概率出現(xiàn)偏差較大的可能性趨向于0。真正理解了這幾層含義，我們也就基本把握住了隨機的內涵和概率的本質。

根據(jù)《全日制義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》的要求，小學階段（第一、二學段）概率教學的目標主要包括以下兩個方面：

第一，結合具體情境，了解簡單的隨機現(xiàn)象，能列出簡單的隨機現(xiàn)象中所有可能發(fā)生的結果。

通過實例，讓學生體會客觀世界不但存在著確定現(xiàn)象，也存在著不確定的事件，并能夠用“可能、一定、不可能”等詞語來描述和表達。具體教學中要注意，不要人為編造一些不可能發(fā)生的事件，如“太陽有可能從西邊升起”，教師應正確引導學生的舉例，如果教師要求學生用“一定、可能、不可能”說一句話，學生說，“妹妹的年齡不可能比姐姐大”，這句話屬于生活常識，不屬于概率論的研究范疇。兒童聯(lián)想到自己的生活經(jīng)驗這很正常，但是教師要從教學的角度加以引導，最好能夠聯(lián)系數(shù)學知識舉例，譬如：“一位數(shù)乘三位數(shù)的積不可能是五位數(shù)，可能是三位數(shù)或四位數(shù)”“單數(shù)不可能等于雙數(shù)”等。

第二，通過實驗、游戲等活動，感受隨機現(xiàn)象結果發(fā)生的可能性是有大小的，能對一些簡單的隨機現(xiàn)象發(fā)生的可能性作出定性描述，并和同伴交流。

在研究隨機事件發(fā)生的可能性大小的初期，只要求學生能夠說出有幾種可能，并能用“可能性比較大、可能性比較小、可能性相等”等詞語來描述隨機事件發(fā)生的可能性。后期也逐漸要求學生在此基礎上，能計算一些簡單事件發(fā)生的可能性大小。在這個階段學生最難理解的倒不是計算概率大小的方法，而是如何理解每次概率實驗的不確定性和大量實驗的穩(wěn)定性之間的矛盾。當然，只要我們多想辦法，這個問題也是可以逐漸得到解決的。要使學生建立起隨機的觀念，必須通過設計學生熟悉而感興趣的實際問題（或游戲），使他們親臨原始的隨機環(huán)境，親自試驗和收集隨機數(shù)據(jù)，使他們在活動中逐步豐富對概率的認識，積累大量的活動經(jīng)驗，體會隨機現(xiàn)象的特點。下面的這個轉盤游戲既有趣，同時又營造了一個較為原始的隨機環(huán)境：

分別轉動兩次轉盤，將轉出的兩個數(shù)字填在方格中，看誰轉出的兩位數(shù)大。

通過多次做游戲，交流參與的心得，學生將體會到隨機事件的特點。當轉出“9”時，大家都會將它放在十位，但如果轉出“7”呢？有的學生可能會冒險不將它放在最高位，而希望下次轉出比7更大的數(shù)，但多次游戲后，學生將體會到下次轉出“8，9”的可能性比轉出“6，5，4，3，2，1，0”的可能性要小得多。在這個過程中學生真正收獲到一種感性的、直覺的隨機體驗。

把握住了小學概率教學的目標和意義所在，作為身處一線的小學教師，我們最應關注的還是如何實施概率教學的問題?！霸趺唇獭钡膯栴}，在上文的敘述中已經(jīng)涉及一些。我個人覺得研究概率教學，概率實驗問題是我們尤其需要重點關注的。

最近我參加一個教研活動，就有老師發(fā)生這樣的爭論：一些老師認為教材中“轉轉盤”的實驗都可以改為“擲骰子”的實驗，理由是這樣制作教具更方便一些；也有老師對于“拋硬幣”“擲骰子”之類的實驗不感興趣，認為可以都換成“轉轉盤”的實驗，他們的理由也很充分，他們認為轉盤更好玩，更容易激發(fā)學生的興趣。到底誰的想法更有道理？我個人以為這兩種想法都是欠妥的，其實這些不同的實驗，除了實驗器具和方式不同以外，還有著不同的數(shù)學背景和內涵，屬于不同的概率模型。摸球、拋硬幣、擲骰子都屬于古典概型，古典概型的特征是：所有可能結果的個數(shù)是有限的；每個結果具有等可能性。而轉轉盤屬于幾何概型，轉盤從理論上分析可以分為無限等份。幾何概型的特征是：所有可能結果的個數(shù)是無限的；每個結果出現(xiàn)的可能性相等。

古典概型和幾何概型都屬于理論概率模型，還有一些隨機現(xiàn)象，古典概型和幾何概型都不能很好地解釋它，譬如，不具有等可能性的隨機事件，用哪種概率模型來表示呢？此時最簡單的解決辦法就是通過做實驗，將大量重復實驗得到的隨機事件出現(xiàn)的頻率作為概率的估計值。我們小學教材里的“拋紙杯”、“擲圖釘”，“拋啤酒瓶蓋”等，都是比較典型的、適合用統(tǒng)計概型來刻畫的實驗。一般來說，非等可能的事件才真正需要統(tǒng)計概型，才能讓學生感悟實驗、統(tǒng)計的必要性。

關于概率實驗還有一個問題也讓不少老師感到困惑：有些問題不用做實驗學生都能知道結果了，為什么還要做實驗呢？比如“盒子里有8個黑球，2個白球，這些球的大小完全相同，任意摸出一個球，摸到哪種顏色的球的可能性大”，學生憑經(jīng)驗已經(jīng)完全能夠判斷出摸到黑球的可能性大，為什么還要進行實驗呢？是不是低估了學生，或者是“為了實驗而實驗”呢？

事實上，學生憑經(jīng)驗能判斷出“摸到黑球的可能性大”，這僅僅是知道結論而已。結論是顯然的，而實驗則有它自身的意義，不僅要做實驗，而且要保證實驗的次數(shù)，原因就在于學生學習概率的一個重要目標就是體會隨機現(xiàn)象的特點，即：在相同的條件下重復同樣的實驗，其實驗結果不確定，以至于在實驗之前無法預料哪一個結果會出現(xiàn)。為了達到這一目標，概率實驗是不可或缺的，缺失了實驗的教學也許就不是我們所需要的概率教學了。

其次，不少隨機事件發(fā)生的概率是不能依靠計算得出的，實驗是獲取概率的更一般的方法。正如前面提到的“擲圖釘”，“擲一枚圖釘，要知道釘尖著地的概率有多大”，此時人們可以通過做實驗（包括在計算機上做），將大量重復實驗時的頻率作為事件發(fā)生概率的估計值。相對于“計算”，實驗是獲取概率的更一般的方法，這是概率實驗的第二個價值。

另外，概率實驗還能幫助學生澄清一些誤解。李俊等學者的研究都顯示，學生在正式開始學概率之前就已經(jīng)形成一些錯誤概念了，例如，“拋6次硬幣，有2次正面朝上，有3次反面朝上，那么拋第6次硬幣結果會怎樣呢？”不少同學都認為是“正面朝上”。理由是：正面和反面朝上的可能性相等，都是二分之一，共拋了6次，不就應該是正面和反面各3次嗎？所以，第6次應該是正面朝上。在概率教學的過程中，教師不僅要關注學生是否動了、做了，更要關注學生是否想了、說了；不僅要關注學生是否想了、說了，還要關注學生想了什么、說了什么，關注學生話語背后的潛臺詞，再通過動手實驗或討論，逐步消除錯誤的觀念，幫助學生建立起正確的概率直覺。概率說理有一個特殊問題，那就是它有時會與因果的、邏輯的、確定性的思維形成沖突，如果僅用口頭說教的方式是難以改變學生直覺的。因此教師就要創(chuàng)造情景，鼓勵學生用真實的數(shù)據(jù)、活動以及直觀的模擬實驗去檢查、修正或改變自己對概率的認識。概率實驗是幫助學生澄清一些誤解的重要手段。實驗不僅要做，而且要充分地做，對于小學階段的概率教學尤其如此！

在概率教學中，如何組織好這些實驗活動呢？我覺得最重要的是在實驗的過程中要關注學生思維的參與度，倘若沒有學生思維的介入，學生也許就淪落為“操作工”了?！皠邮謱嵺`”是《標準》積極倡導的一種學習方式，但是動手實踐絕不能簡單地等同于“動手活動”。二者的主要區(qū)別就在于前者有著明確的目的性和高度的思維含量。潘小明老師教學“用分數(shù)表示可能性大小”一課時有這樣一個片段，老師首先出示游戲規(guī)則：

一個紙袋里，有6個分別標有1，2，3，4，5，6的球。甲乙兩人輪流從中摸球，每次摸1個，摸后放回。球上的數(shù)大于3，甲得1分；球上的數(shù)小于3，乙得1分；球上的數(shù)等于3，誰都不得分。各摸10次，誰的得分高誰獲勝。

接著，老師提問：如果讓你參加這個游戲，你準備當甲，還是當乙，還是隨便安排？全班學生用手勢表示了自己的意向之后，潘老師發(fā)現(xiàn)學生的想法不盡一致，就開始組織學生各自陳述自己的理由，在小組內交流。他并沒有像有些老師那樣，急于讓學生通過摸球來驗證可能性的大小。小組交流之后，潘老師先詢問：有沒有誰在討論之后，改變了自己原來的想法？一個學生說：“我原來是選擇隨便安排的，但現(xiàn)在我認為當甲贏的可能性更大。因為甲贏的情況有3種，而乙贏的情況只有2種。”從這位學生的發(fā)言中可以看出，這種實驗前的思考是有價值的、有效的。

教學過程中，組織概率實驗活動，下面幾點尤其要注意：第一，實驗動機，不能“一廂情愿”。目的不明，意義不清的實驗，對于學生而言很大程度上就是一種“機械的操作”而已。真正有效的實驗，學生應該有明確的實驗動機，教師只起一個引路人的作用。第二，實驗方案，不求“一步到位”。一些數(shù)學課堂過分追求“順暢”，老師把實驗方案控制得太“死”，學生實驗做得順順當當，然而實驗之后，認識并沒有提升。實驗過程過于“順利”背后潛伏著的往往就是“膚淺”。第三，實驗過程，不得“一做了之”?！皵?shù)學實驗”不能等同于簡單的“動手操作”，一定要重視學生活動前的估計、預測，活動后的分析、反思。數(shù)學實驗中學生積累感性體驗很重要，而理性思考則更為重要。第四，實驗結論，不可“一告而知”。教師不能過于簡單地呈現(xiàn)實驗結論，結論應盡可能由學生來總結。如果學生有困難，可以借助統(tǒng)計、觀察、比較、反思等方法，讓學生逐步逼近結論，經(jīng)歷結論的形成過程。注意了以上四點，我們的概率實驗就逐漸從形式走向了實質，走向了真正的有效。

陳希孺先生曾經(jīng)說過這樣一句話：習慣從統(tǒng)計規(guī)律看問題的人，在思想上不拘執(zhí)一端，他既認識到一種事物從總的方面看有一定的規(guī)律，也承認例外。概率有其固有的思想方法，有別于講究因果關系的邏輯思維和確定思維。在我們的教學過程中要真正了解學生的思維，不僅要知道學生的觀點，而且要知道他們是如何思考達到這個觀點的，引導學生逐漸體悟“隨機”的意義。

當然，任何好的教學措施都必須依賴于教師堅實的專業(yè)知識基礎。由于在我國概率的相關內容引進小學數(shù)學課程的時間還不長，而且大多數(shù)小學數(shù)學教師在自己的學習經(jīng)歷中對概率的知識了解并不充分，許多教師都存在概率知識缺失的問題。因此，我們必須加強概率知識的繼續(xù)學習，不斷擴展和更新自己的知識結構。只有教師本身具備充分的概率知識，才能在學生質疑問難時給予正確的指導，才能靈活地把握和應用知識，坦然地面對“意外”。