基于Black-Scholes期權定價模型下若干假設的修正與研究
2012-04-12 00:00:00陳志成
中國經(jīng)貿(mào) 2012年8期
期權定價問題是金融工程學的核心問題之一.1973年，美國著名的金融數(shù)學家Black和Scholes發(fā)表了關于期權定價的開創(chuàng)性論文.文中以有效市場和股票價格滿足幾何布朗運動等為假設條件，利用無套利原理和Ito公式推出了著名的Black—Scholes模型.該模型是期權定價發(fā)展史上的里程碑，它為期權乃至其他為定價權益的定價打下了堅實的基礎，使得原本空洞的期權定價在理論上有了依據(jù).
然而，Black—Scholes模型基于理性人假設和期望效用理論，是一種相對理想的狀況，在現(xiàn)實市場中，它的假設往往不符合投資者的實際.正是由于這樣的疑問，本文試圖通過改變原有模型中的某些假設，使模型更為合理.本文最終得到的關于修正后的Black—Scholes模型為：
幾何布朗運動較好而非完美的描述了股票價格的變化過程.
在描述股票價格變化過程中：
μ:預期收益率 σ:波動率
2.伊藤公式（Ito formula）
(1)伊藤過程
—— Keith Cuthbertson Dirk Nitzsche(1)關于原有模型的假設
①所有的無風險套利機會都被消除
②沒有交易成本和稅收
③交易是連續(xù)進行的，一股股票可以分為任意小部分，股票不支付紅利
④投資者可以在期權生命期中以無風險利率無限量地借入或貸出資金
⑤股票價格服從“幾何布朗運動”隨機過程。這一隨機過程使得股票價格具有恒定期望收益μ和波動率σ的對數(shù)正態(tài)分布（它的擴展 模型可以包括r和S是時間的特定函數(shù)的情況）
(2)Black-Scholes PDE
上述偏微分方程的符號說明：
f：衍生證券的價格
S：標的證券價格
t：時間間隔
r：無風險利率（常數(shù)）
σ：標的證券價格波動率（常數(shù)）
(3)布萊克－斯科爾斯歐式期權定價公式（The BlackScholes European Call Pricing Formula）
1.修正模型的假設
(1)在期權有效期內，支付的紅利率可以確切預測.
(2)在除權日當天股票價格會下降，下降幅度為每一股股票支付紅利的數(shù)量.（紅利即為在除權日當天由支付紅利引起的股票價格減少的量）.
(3)把除權日當天所支付的紅利平均分配到每一天，即認為紅利是連續(xù)支付的.
(4)交易費用可看成投資者在買賣股票時所產(chǎn)生的直接費用，并且將其以交易額的固定比例表示出來.
2.紅利支付
在實際的交易中，股票的投資者一般會得到一定的股票紅利，與之對應的是也需要支付一定的交易費用.
我們假設q是紅利率，則股票的持有者在dt時段內的紅利收益為qSdt.因此，股票價格遵循的幾何布朗運動方程可修改為：
