收入分配的極化測(cè)度理論研究述評(píng)

葉榮德，張香美

（1.浙江大學(xué) 公共管理學(xué)院，浙江 杭州 310027；2.浙江經(jīng)貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，浙江 杭州 310018）

一、引 言

近些年來(lái)，從極化角度研究收入分配問(wèn)題的文獻(xiàn)逐漸增多。盡管Love和Wolfson在1976年曾區(qū)分過(guò)極化（polariza?tion）與不平等（inequality），但并未引起重視，在20世紀(jì)90年代以前二者被視作同一個(gè)概念?？梢哉f(shuō)，在某種程度上是西方國(guó)家尤其是美國(guó)20世紀(jì)80年代關(guān)于“中產(chǎn)階層是否萎縮”的討論推動(dòng)了極化從不平等中的分離，學(xué)術(shù)界由此也展開(kāi)了對(duì)極化理論的研究①。Foster和Wolfson直接把極化看作是“中產(chǎn)階層的萎縮”，這實(shí)際上是聚焦于兩極分化（bi-po?larization）問(wèn)題；而Esteban和Ray則將極化視作收入分布中局部均值附近的“聚集”或“扎堆”，由此可以看出，兩極分化是極化的一種特殊情況。

對(duì)極化概念做不同側(cè)重點(diǎn)的界定還直接關(guān)聯(lián)著極化測(cè)度指標(biāo)的類(lèi)型。Foster和Wolfson（1992，2009）、Wolfson（1994，1997）以及Esteban和Ray（1994）②分別獨(dú)立地提出了兩極分化測(cè)度指標(biāo)（FW型指標(biāo)）和多極分化測(cè)度指標(biāo)（ER型指標(biāo)）[1-5]。

二、兩極分化測(cè)度指標(biāo)研究述評(píng)

（一）FW指標(biāo)的提出

Foster和Wolfson（1992，2009）、Wolfson（1994，1997）以中位收入作為分界點(diǎn)把所有人分為兩組，并且構(gòu)建了極化曲線（po?larization curve），仿照基尼系數(shù)和洛倫茨曲線之間的關(guān)系，他們把極化曲線以下的面積作為兩極分化程度的測(cè)度，從而首次提出了兩極分化程度的測(cè)度指標(biāo)（下文簡(jiǎn)稱FW指標(biāo)）。

該指標(biāo)提出后受到了兩個(gè)方面的批評(píng)：第一，Esteban，Gradín和Ray（2007）指出，由于分組會(huì)導(dǎo)致信息的損失，分界線應(yīng)該能夠使信息的損失達(dá)到最低限度，他們證明了，當(dāng)分為兩組的時(shí)候，最優(yōu)的分界線應(yīng)該是均值而不是中位數(shù)。因此，以中位數(shù)作為分組的依據(jù)是FW指標(biāo)的一個(gè)缺陷[6-7]。第二，對(duì)于雙峰收入分布，即該分布有兩個(gè)極點(diǎn)（two poles）的時(shí)候，該指標(biāo)能很好地衡量出兩極分化程度。然而，Viollaz，Olivieri和Alejo（2009）指出，對(duì)于多峰分布，這個(gè)方法卻未必適用，反而可能得出有悖直覺(jué)的結(jié)論③。

實(shí)際上，第一個(gè)批評(píng)并不完全準(zhǔn)確，因?yàn)榘凑誆steban（2002）給出的原則，即分組方式能使得指標(biāo)取得最大值，有時(shí)候按照中位數(shù)進(jìn)行分組較之于按照均值分組更為恰當(dāng)④；第二個(gè)批評(píng)雖然不存在問(wèn)題，不過(guò)，對(duì)于常見(jiàn)的收入分布，F(xiàn)W指標(biāo)仍不失為一個(gè)衡量?jī)蓸O分化程度的較好指標(biāo)。

（二）FW指標(biāo)的擴(kuò)展

其他學(xué)者對(duì)FW指標(biāo)做了多個(gè)角度的擴(kuò)展，從而形成了較為完整的兩極分化測(cè)度指標(biāo)體系。這些擴(kuò)展體現(xiàn)在：

（1）用其他不平等指標(biāo)構(gòu)建兩極分化測(cè)度指標(biāo)。用于構(gòu)建FW指標(biāo)的不平等指標(biāo)是基尼系數(shù)，其他類(lèi)型的不平等指標(biāo)也可以用于構(gòu)建兩極分化指標(biāo)。Rodríguez和Salas（2003）用單參數(shù)基尼系數(shù)（Single Parameter Gini Coefficient）取代通常形式的基尼系數(shù)，得到了擴(kuò)展的兩極分化指標(biāo)[7]；Chakravarty和Majumder（2001）基于社會(huì)福利的角度對(duì)FW指標(biāo)做了一般化處理。他們指出，任何一個(gè)與位似社會(huì)福利函數(shù)相聯(lián)系的不平等指標(biāo)都有一個(gè)兩極分化指數(shù)與之對(duì)應(yīng)[8]。以上指標(biāo)都是以收入變量作為研究對(duì)象的，實(shí)際上，其他的社會(huì)變量也會(huì)導(dǎo)致極化現(xiàn)象，Zhang和Kanbur（2001）在研究了中國(guó)1983-1995年之間的城鄉(xiāng)以及沿海與內(nèi)地的不平等程度和極化程度之后提出了一個(gè)以組間不平等和組內(nèi)不平等（以廣義熵指數(shù)度量）的商的形式表示的兩極分化測(cè)度指標(biāo)[9]。

（2）將兩極分化測(cè)度指標(biāo)一般化。實(shí)際上，F(xiàn)W指標(biāo)還可以推廣至以任意收入作為分組依據(jù)時(shí)的情況，Rodríguez（2005）首次嘗試了這項(xiàng)工作[14]；Wang和Tsui（2000）運(yùn)用與FW指標(biāo)所依賴的相同公理推導(dǎo)出了一個(gè)含有參數(shù)的指標(biāo)，并指出了FW僅是他們提出的指標(biāo)的一個(gè)特例[11]。

（3）把相對(duì)指標(biāo)轉(zhuǎn)化為絕對(duì)測(cè)度指標(biāo)。以上指標(biāo)都是相對(duì)指標(biāo)（relative indices），他們滿足尺度不變性（scale invari?ance），這意味著即使被考察的變量的衡量尺度發(fā)生了變化，該指標(biāo)的值依然會(huì)保持不變。但是，相對(duì)指標(biāo)不滿足轉(zhuǎn)換不變性（translation invariance），即被考察的變量變化一個(gè)相同的數(shù)量，該指標(biāo)的值會(huì)保持不變，而絕對(duì)指標(biāo)（absolute in?dices） 則滿足這個(gè)性質(zhì)。Wang和 Tsui（2000）、Chakravar?ty，Majumder和 Roy （2007） 以 及 Makdissi和 Mussard（2010）分別提出了（依據(jù)絕對(duì)極化曲線的）不同形式的絕對(duì)指標(biāo)[11-13]。

當(dāng)對(duì)不同的收入分布的極化程度進(jìn)行排序的時(shí)候，如果運(yùn)用Foster和Wolfson提出的（相對(duì)）極化曲線的話則可能得到模糊不清的結(jié)果（不同的曲線出現(xiàn)相交），那么采用絕對(duì)極化曲線的話則可能得到明確的結(jié)果，因?yàn)榻^對(duì)極化曲線相交的可能性要小于相對(duì)極化曲線，這是絕對(duì)極化曲線（測(cè)度指標(biāo)）的一個(gè)突出優(yōu)點(diǎn)。

（4）組合絕對(duì)指標(biāo)和相對(duì)指標(biāo)獲得中間極化測(cè)度指標(biāo)。如果將相對(duì)指標(biāo)和絕對(duì)指標(biāo)以某種方式組合的話，會(huì)得到中間極化測(cè)度指標(biāo)（intermediate polarization curve），Chakravar?ty和D’Ambrosio（2010） 首先做了這項(xiàng)工作[19]。但 Vega，Urrutia和Diez（2010）指出，一個(gè)極化測(cè)度指標(biāo)應(yīng)該滿足單位一致性（unit-consistency）公理⑤，即如果一個(gè)分布的極化程度小于另一個(gè)分布的極化程度，那么如果兩個(gè)分布同時(shí)變?yōu)樵瓉?lái)的某個(gè)倍數(shù)（可以小于1），那么極化程度的排序不應(yīng)發(fā)生變化。他們?cè)诖嘶A(chǔ)上提出了一個(gè)滿足單位一致性的兩極分化測(cè)度指標(biāo)[15]。

因?yàn)橹虚g極化指標(biāo)是由絕對(duì)指標(biāo)和相對(duì)指標(biāo)組合得到的，所以這種類(lèi)型的指標(biāo)兼具絕對(duì)指標(biāo)和相對(duì)指標(biāo)的優(yōu)點(diǎn)，但是，該指標(biāo)只具有理論上的意義，其經(jīng)濟(jì)含義并不明顯，因此實(shí)際應(yīng)用的價(jià)值很小。

（5）將單變量測(cè)度指標(biāo)擴(kuò)展至多變量情形。以上兩極分化指標(biāo)的研究對(duì)象都是收入這個(gè)經(jīng)濟(jì)變量，然而一些社會(huì)變量也可能導(dǎo)致極化現(xiàn)象。于是Gigliarano和Mosler（2009）以及Anderson（2009，2010）等構(gòu)建了同時(shí)包含經(jīng)濟(jì)變量和社會(huì)變量的兩極分化測(cè)度指標(biāo)[16-18]。這個(gè)擴(kuò)展可以從多維度考察兩極分化程度，從而使得對(duì)影響兩極分化的因素的考察更全面。

（6）從其他角度擴(kuò)展獲得不同形式的指標(biāo)。除了上述兩極分化程度指標(biāo)以外，其他學(xué)者還提出了一些不屬于以上擴(kuò)展類(lèi)型的指標(biāo)：Milanovic（2000）提出了一個(gè)依據(jù)基尼型函數(shù)（Gini-type function） 的極化測(cè)度指標(biāo)[19]；Silber，Deutsch 和Hanoka（2007）結(jié)合峰度的計(jì)算公式，推導(dǎo)出了一個(gè)在形式上類(lèi)似于FW指標(biāo)的兩極分化測(cè)度指標(biāo)[20]；?tefanescu和?tefanes?cu（2006a，b）構(gòu)建了一個(gè)適用于指數(shù)分布的指標(biāo)[21-22]；Ale?sina和Spolaore（1997）在一篇研究國(guó)家數(shù)量和大小的文章中提出了一個(gè)以隱函數(shù)的形式表示的兩極分化化測(cè)度指標(biāo)[23]?；谧陨砣毕莼蛘卟怀Ｒ?jiàn)等原因，這些指標(biāo)在現(xiàn)實(shí)中的運(yùn)用并不多。

三、多極分化測(cè)度指標(biāo)研究述評(píng)

（一）ER極化測(cè)度指標(biāo)的提出

Esteban和Ray（1991，1994）認(rèn)為，個(gè)體屬性分布的極化應(yīng)該體現(xiàn)出三個(gè)特性：第一，每個(gè)組內(nèi)都應(yīng)該有較高程度的同質(zhì)性；第二，不同組間應(yīng)該有較高程度的異質(zhì)性；第三，必須有少數(shù)幾個(gè)足夠大的群組?；诖?，他們提出了一個(gè)公理化模型，這個(gè)模型能夠刻畫(huà)社會(huì)中個(gè)體的兩個(gè)態(tài)度，并且能夠界定極化測(cè)度指標(biāo)的形式。具體而言，某個(gè)人會(huì)對(duì)和他處在同一個(gè)組的人產(chǎn)生認(rèn)同感，它的大小取決于該組人數(shù)的多少，可定義一個(gè)認(rèn)同函數(shù)（identification function）；另一方面，他會(huì)對(duì)和他處在不同組的人產(chǎn)生異化，相應(yīng)地也可以定義一個(gè)異化函數(shù)（alienation function），異化程度可以簡(jiǎn)單地表示為兩個(gè)收入之間的絕對(duì)距離，以上兩方面構(gòu)成了認(rèn)同——異化框架（identification-alienation framework，IA）。這兩個(gè)因素的聯(lián)合效應(yīng)可由有效對(duì)立函數(shù)（effective antagonism function）來(lái)刻畫(huà)，這樣，一個(gè)社會(huì)中的全部有效對(duì)立的加總就可以作為極化程度的度量，此即Esteban和Ray（1994）提出的極化測(cè)度指標(biāo)（下文簡(jiǎn)稱為ER指標(biāo)）[5]。

然而，ER指標(biāo)有如下缺陷：第一，需要事先將人口按收入分為不重疊的組，這就必然存在任意性，不同的研究者選取的分界線可能不同，因而組數(shù)以及分界線的選擇都是外生的；第二，假定認(rèn)同感的高低僅取決于該組人數(shù)的多少，并沒(méi)有考慮組內(nèi)的差異對(duì)認(rèn)同感的影響；第三，假定異化僅來(lái)自于不同組之間均值的差異，忽略了組內(nèi)的差異，因此會(huì)導(dǎo)致信息的損失。

（二）ER指標(biāo)的擴(kuò)展

對(duì)于多極分化測(cè)度指標(biāo)而言，其他學(xué)者也在Esteban和Ray提出的ER指標(biāo)的基礎(chǔ)上做了改進(jìn)或擴(kuò)展：

（1）從修正信息損失的角度擴(kuò)展至其他離散形式。針對(duì)ER 指標(biāo)的缺陷，Esteban，Gradín and Ray （1999，2007，EGR） 提出了一個(gè)修正指標(biāo)，該指標(biāo)解決了分界線確定的任意性問(wèn)題，同時(shí)考慮到了組內(nèi)差異對(duì)認(rèn)同感的影響[6-7]。但是其依然假定異化僅來(lái)自于不同組之間均值的差異，忽略了組內(nèi)的差異，因此會(huì)導(dǎo)致信息的損失，另外，該修正并不能內(nèi)生地確定組數(shù)，因?yàn)榻M數(shù)的選擇依然是事先外生給定的。然而該指標(biāo)最嚴(yán)重的缺陷在于它有可能違背極化測(cè)度指標(biāo)至少應(yīng)該滿足的核心公理，即：如果組內(nèi)同質(zhì)性提高的話，極化程度會(huì)相應(yīng)地提高；在其他條件不變的情況下，如果組間異質(zhì)性提高，那么極化程度也會(huì)提高。針對(duì)這個(gè)缺陷，Lasso和Urrutia（2004）將組內(nèi)差異納入到認(rèn)同函數(shù)中，從而提出了一個(gè)替代EGR且能修正其缺陷的指標(biāo)⑥。

（2）把離散形式擴(kuò)展至連續(xù)形式。以上極化測(cè)度指標(biāo)中，收入分布狀況都是離散型的，Duclos，Esteban和Ray（2004）沿用ER提出的IA框架，提出一個(gè)收入分布用密度函數(shù)形式表示情況下的連續(xù)型極化測(cè)度指標(biāo)（下文簡(jiǎn)稱為DER）[24]；D’Ambrosio（2001）認(rèn)為極化應(yīng)該能夠反映出根據(jù)個(gè)體特征來(lái)分組所形成的概率密度的差異以及不同組之間頻率的差異，從而采用變異距離的Kolmogorov測(cè)度（Kol?mogorov measure of variation distance）來(lái)衡量異化，進(jìn)而構(gòu)建了一個(gè)符合 IA框架的連續(xù)型指標(biāo)[25]；Palacios-González和García-Fernández（2007）修正了ER的IA框架，由此，他們提出了一個(gè)作為異化、認(rèn)同感、收入的離散程度（以方差來(lái)衡量）、分組數(shù)量（具備一定規(guī)模）和中產(chǎn)階層的大小這五個(gè)因素的非減函數(shù)的極化測(cè)度指標(biāo)[26]。

（3）將單變量情形擴(kuò)展至多變量情形。至此為止，所有的ER型測(cè)度指標(biāo)都是以收入為基礎(chǔ)來(lái)進(jìn)行的，即用于衡量極化程度的變量都是收入或者財(cái)富等經(jīng)濟(jì)變量。但是，不可否認(rèn)的是，一些諸如宗教信仰、種族、民族和受教育程度等社會(huì)變量可能更能說(shuō)明極化現(xiàn)象。Permanyer（2008）把DER的思想擴(kuò)展至更廣泛的范圍從而彌補(bǔ)了這個(gè)空白，但他僅把經(jīng)濟(jì)變量視為連續(xù)變量，而把社會(huì)變量視為離散變量[27]；Mogues（2008）把經(jīng)濟(jì)變量和社會(huì)變量都視為連續(xù)變量，并且沿用ER提出的IA框架，將前述單變量極化測(cè)度指標(biāo)擴(kuò)展至二維極化測(cè)度指標(biāo)[28]。

（4）把極化的衡量擴(kuò)展至極化的解釋。除了以上關(guān)于極化程度的測(cè)度指標(biāo)以外，Gradín（2000）還提出一個(gè)解釋的極化（explained polarization）指標(biāo)，這個(gè)指標(biāo)可以測(cè)算出各種因素對(duì)極化程度的貢獻(xiàn)的大小[29]。

四、極化測(cè)度指標(biāo)分類(lèi)：比較及小結(jié)

上述兩類(lèi)指標(biāo)既有聯(lián)系又有區(qū)別，他們之間的區(qū)別體現(xiàn)在：（1）產(chǎn)生的理論依據(jù)不同。前者是在洛倫茨曲線的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，而后者是用公理化方法推導(dǎo)出來(lái)的；（2）形式不同。前者一般直接或間接地包含有不平等指標(biāo)，后者一般體現(xiàn)著認(rèn)同——異化框架（identification-alienation frame?work）；（3）適用范圍不同。前者僅適用于分為兩組的情況，后者適用于分為任意個(gè)組（含兩組）的情況。

他們之間的聯(lián)系體現(xiàn)在：（1）二者的概念沒(méi)有本質(zhì)上的差異，他們都是對(duì)分布中的局部“扎堆”現(xiàn)象的描述；（2）二者的公理基礎(chǔ)雖然在表達(dá)上存在差異，但是沒(méi)有本質(zhì)的不同；（3）在分為兩組的情形下，兩種類(lèi)型中的某些測(cè)度指標(biāo)可以相互表示。

在實(shí)際研究中具體采用什么樣的測(cè)度指標(biāo)，需考慮如下重要因素：（1）研究目的。如果研究?jī)蓸O分化程度，則可同時(shí)選擇FW型指標(biāo)以及ER型指標(biāo)；如果研究多極分化，則只能選擇ER型指標(biāo)。如果僅以收入為分析對(duì)象，那么可以選擇幾乎所有的指標(biāo)（多變量情形可以退化為單變量情形）；如果同時(shí)研究收入以及其他一些社會(huì)變量的話，則需選擇多變量情形的指標(biāo)。（2）數(shù)據(jù)類(lèi)型。如果是分組的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，那么選擇離散型指標(biāo)更合適；如果是調(diào)查數(shù)據(jù)，選擇連續(xù)型指標(biāo)更合適。（3）是否需要分組。如果事先分為兩組，則可考慮FW型和離散的ER型指標(biāo)；若事先分為多組的話，則選擇離散的ER型指標(biāo)；如果無(wú)需分組，則可選擇連續(xù)的ER型指標(biāo)。

五、結(jié)論及展望

極化測(cè)度理論研究經(jīng)過(guò)近20年的發(fā)展，已經(jīng)取得了較大的成果，但是依然存在一些不足之處，這體現(xiàn)在：第一，缺乏基于極化測(cè)度指標(biāo)的統(tǒng)計(jì)推斷，從而極化程度的比較無(wú)法建立在科學(xué)的推斷方法之上；第二，除了Rodríguez，Ro?dríguez和Salas（2004）[30]把極化理論應(yīng)用于稅收改革之外，很難再發(fā)現(xiàn)極化理論在經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的其他應(yīng)用，因此，極化理論與現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的結(jié)合并不充分⑦。第三，到目前為止，關(guān)于極化理論的研究主要集中在極化測(cè)度指標(biāo)的構(gòu)建和分解上，鮮有對(duì)于隱藏在極化現(xiàn)象背后的機(jī)理的研究。

極化理論的后續(xù)研究可以從以下幾個(gè)方面展開(kāi)：第一，在相關(guān)公理體系的基礎(chǔ)上構(gòu)建新的測(cè)度指標(biāo)；第二，分解測(cè)度指標(biāo)，從而從更廣泛的角度考察極化的來(lái)源；第三，估計(jì)極化測(cè)度指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)誤，構(gòu)建相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量，從而使得對(duì)極化程度變動(dòng)的判斷建立在標(biāo)準(zhǔn)方法之上；第四，探索隱藏在極化現(xiàn)象背后的內(nèi)在機(jī)理；第五，把極化理論應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)的經(jīng)濟(jì)問(wèn)題，從而指導(dǎo)實(shí)踐，以體現(xiàn)極化理論研究的現(xiàn)實(shí)意義。筆者認(rèn)為，后面三個(gè)方面應(yīng)該作為后續(xù)研究的重點(diǎn)方向。

[注 釋]

① 極化與不平等是既有區(qū)別又有聯(lián)系的兩個(gè)概念。不平等指的是整個(gè)收入分布的離散現(xiàn)象，而極化則是某個(gè)或某些局部極點(diǎn)附近的“扎堆”現(xiàn)象；不平等反映的是少數(shù)人獲取了收入中的較大比例，而極化描述的是一個(gè)分隔的社會(huì)。如果狹義地界定不平等，那么不平等與極化可以看作是并列關(guān)系的；但是，如果不平等是廣義的，那么極化從屬于不平等，換言之，極化是不平等的一種特殊表現(xiàn)形式。

② Esteban J，Ray D.On the Measurement of Polarization，Insti?tute for Economic Development Discussion Paper[M].1991.

③ Viollaz M Olivieri S，Alejo J.Labor Income Polarization in Greater Buenos Aires[Z].Documento de Trabajo Nro.89，2009.

④Esteban J.Economic Polarization in the Mediterranean Basin[Z].Els Opuscles del CREI，2002.

⑤ 值得注意的是，單位一致性與尺度不變性有所不同，尺度不變性意味著變化后的分布與變化前的分布具有相同的極化程度，而單位一致性并不要求變化后的分布的極化程度和沒(méi)有變化之前的相同，只要求排序不發(fā)生變化即可。這同時(shí)也意味著如果尺度不變性得以滿足的話，那么單位一致性一定會(huì)被滿足。

⑥ Lasso M C，Urrutia A M.An Alternative Formulation of the Es?teban-Gradín-Ray Extended Measure Of Polarization[Z].the Basque Country Research Project，2004.

⑦ Rodríguez J P，Rodríguez J G，Salas R.Is An Inequality Neu?tral Flat Tax Reform Really Neutral?[Z].N.I.P.O.，2004，114（7）：8.

[1]Foster J E，Wolfson M C.Polarization and the Decline of the Middle Class:Canada and the U.S.[M].Mimeo，Vanderbilt University，1992.

[2]Foster J E，Wolfson M C.Polarization and the Decline of the Middle Class:Canada and the U.S.[J].Journal of Economic Inequality，2009，8（2）:247-273.

[3]Wolfson M C.When Inequalities Diverge[J].American Eco?nomic Review，Papers and Proceedings，1994，84（2）:353-358.

[4]Wolfson M C.Divergent Inequalities:Theory and Empirical Results[J].Review of Income and Wealth，1997，43（4）:401-421.

[5]Esteban J，Ray D.On the Measurement of Polarization[J].Econometrica，1994，62（4）:819-852.

[6]Esteban J，Gradín C，Ray D.An Extension of a Measure of Po?larization，with an Application to the Income Distribution of Five OECD Countries[J].Journal of Economic Inequality，2007，5:1-19.

[7]Rodríguez J G，Salas R.Extended Bi-Polarization and Inequal?ity Measures[J].Research on Economic Inequality，2003，9：69-83.

[8]Chakravarty S R，Majumder A.Inequality，Polarisation and Welfare:Theory and Applications[J].Australian Economic Papers，2001，40（1）:1-13.

[9]Zhang X，Kanbur R.What Difference Do Polarization Mea?sures Make?An Application to China[J].Journal of Devel?opment Studies ，2000，37（3）:85-98.

[10]Rodriguez J G，Measuring Polarization ，Inequality，Welfare and Poverty[EB/OL].http://www.uib.es/congres/ecopub/ecin eq/papers/223rodriguez.pdf.

[11]Wang Y Q，Tsui K Y.Polarization Orderings and New Class?es of Polarization Indices[J].Journal of Public Economic Theory，2000，2（3）:349-363.

[12]Chakravarty S R，Majumder A，Roy S.A Treatment of Abso?lute Indices of Polarization[J].The Japanese Economic Re?view，2007，58（2）:273-293.

[13]Makdissi P，Mussard S.Rank-Dependent Measures of Bi-Po?larization and Marginal Tax Reforms[R].Cahier de recher?che.Working Paper，2010，10.

[14]Chakravarty S，D Ambrosio C.Polarization Orderings of In?come Distributions[J].Review of Income and Wealth，2010，56（1）:47-64.

[15]Vega D L，Urrutia A，Diez H.Unit Consistency and Bipolar?ization of Income Distributions[J].Review of Income and Wealth，2010，56（1）:65-83.

[16]Gigliarano C，Mosler K.Constructing Indices of Multivariate Polarization[J].Journal of Economic Inequality，2009，（7）:435-460.

[17]Anderson G，Linton O，Whang Y J.Nonparametric Estima?tion of a Polarization Measure[R].cemmap working paper，2009.

[18]Anderson G.Making Inferences about the Polarization，Wel?fare and Poverty of Nations:A Study of 101 Countries 1970-1995[J].Journal of Applied Econometrics，2010，19（5）:537-550.

[19]Milanovic B.A New Polarization Measure And Some Applica?tions[EB/OL].from http://siteresources.worldbank.org/INT?DECINEQ/Resources/polariz.pdf.

[20]Silber J，Deutsch J，Hanoka M.On the Link Between the Concepts of Kurtosis and Bipolarization[J].Economics Bul?letin，2007，4（36）:1-5.

[21]?tefanescu P，?tefanescu ?.The Polarization Index for Bound?ed Exponential Distributions[J].Economic Computation and Economic Cybernetics Studies and Research，2006a，40（3/4）:211-218.

[22]?tefanescu P，?tefanescu ?.The Properties of a Polarization Index for Bounded Exponential Distributions[J].UPB-Sci?entific Bulletin，Series A:Applied Mathematics and Physics，2006b，68（4）:9-20.

[23]Alesina A，Spolaore E.On the Number and Size of Nations[J].The Quarterly Journal of Economics，1997，112（4）:1027-1056.

[24]Duclos J Y，Esteban J，Ray D.Polarization:Concepts，Mea?surement，Estimation[J].Econometrica，2004，72（6）:1737-1772.

[25]D’Ambrosio C，Wolff E N.Is Wealth Becoming More Polar?ized in the United States?[EB/OL].http://www.aueb.gr/con?ferences/espe2001/pdf/D'Ambrosio%20C..PDF，2001.

[26]Palacios-González F，García-Fernández R M.Polarization in A Mixture of Density Functions[EB/OL].http://www.biu.ac.il/soc/ec/conference/papers/Palacios%20%20Gonzales%20and%20Garcia%20Fernandez.pdf.

[27]Permanyer I.The Measurement of Social Polarization in a Multi-group Context[EB/OL].Retrieved from http://digital.csic.es/bitstream/10261/4344/1/73608.pdf.2008.

[28]Mogues T.A Two-Dimensional Measure of Polarization[R].IFPRI Discussion Paper 00837，2008.

[29]Gradín C.Polarization by Sub-populations in Spain，1973-91[J].Income and Wealth，2000，46（4）:457-474.

[30]Rodríguez J P，Rodríguez J G，Salas R.Polarization Charac?terization Of Inequality-Neutral Tax Reforms[J].Economics Bulletin，2003，4（19）:1-7.