捕食模型反應(yīng)擴(kuò)散方程組的有限差分法

周 麗

（安徽農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院，安徽合肥 230031）

0 引 言

在文獻(xiàn)［1］中，作者討論了捕食模型的反應(yīng)擴(kuò)散方程組：的解的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。

文獻(xiàn)［2-3］分別對(duì)三級(jí)食物鏈反應(yīng)擴(kuò)散模型和具有有限時(shí)滯的種群擴(kuò)散方程進(jìn)行了定性分析，由于生物學(xué)中大多數(shù)現(xiàn)實(shí)模型都是非線性而無(wú)法求解析解的，因此，數(shù)值求解對(duì)研究解的性態(tài)就顯得尤為重要。有限差分法和有限元法被廣泛用于求這類問(wèn)題的數(shù)值解，文獻(xiàn)［4］對(duì)反應(yīng)擴(kuò)散方程構(gòu)造了交替差分格式，并證明了格式的無(wú)條件穩(wěn)定性，文獻(xiàn)［5］對(duì)非線性反應(yīng)擴(kuò)散方程組建立了二階收斂的三層線性化差分格式，文獻(xiàn)［6］對(duì)反應(yīng)擴(kuò)散方程組的Stefan問(wèn)題建立了二階收斂的兩層線差分格式，文獻(xiàn)［7］對(duì)λ－ω型的反應(yīng)擴(kuò)散方程組利用有限元法求得了近似解。文中給出方程組（1）～方程組（4）的一個(gè)二層線性化差分格式，并給出解的存在唯一性、收斂性和無(wú)條件穩(wěn)定性的證明。

文中假設(shè)：方程組（1）～方程組（4）存在唯一解（u，v）∈C4，3（ΩT），且存在常數(shù)C0＞0，使得u，v及其導(dǎo)數(shù)以C0為界。

以下記

則由上述假設(shè)可知存在常數(shù)C1，使得當(dāng)｜u｜，｜v｜≤C0＋1時(shí)，f（u，v），g（u，v）及其二階導(dǎo)數(shù)以C1為界。

1 差分格式的建立

取正整數(shù)m，n，記

定義Ωhτ上的網(wǎng)格函數(shù)

由Taylor展開(kāi)可得

且存在常數(shù)CR使得

同理，由方程（2）得

且存在常數(shù)~CR使得

2 差分格式的可解性收斂性和穩(wěn)定性

記Vh＝｛ω｜ω＝｛ωi，0≤i≤m｝為Ωh上的網(wǎng)格函數(shù)，且ω0＝ωn＝0｝。設(shè)ω∈Vh，記

引理1［8］設(shè)v，ω∈Vh，則有

定理1 1）當(dāng)h，τ適當(dāng)小時(shí)，差分格式（8）～（11）存在唯一解。2）設(shè)｛u（xi，tk），v（xi，tk）｜0≤i≤m，0≤k≤n｝是問(wèn)題（1）～（4）的解，｛（uki，vki）｜0≤i≤m，0≤k≤n｝是差分格式（8）～（11）的解。記

則當(dāng)h，τ充分小時(shí)，有

其中

證明 差分格式（8）～（11）的誤差方程如下：

下面用歸納法證明差分格式（8）～（11）是唯一可解的，且式（12）成立。

當(dāng)k＝0時(shí)，由式（11）知

因此，u0，v0唯一確定。

由式（16）知

因而結(jié)論對(duì)k＝0成立。

現(xiàn)假設(shè)當(dāng)0≤k≤l時(shí)差分格式（8）～（11）唯一確定出uk，vk，且式（12）對(duì)0≤k≤l成立。于是當(dāng)h，τ適當(dāng)小時(shí)

下面證明估計(jì)式（12）對(duì)k＝l＋1也成立。

由

知

由

知

同理

將式（17）～式（19）代入式（20），并應(yīng)用引理可得

將式（21）除以d1，式（22）除以d2，并將所得結(jié)果相加，再應(yīng)用引理得到

即

因而

應(yīng)用引理，易得

即式（12）對(duì)k＝l＋1成立，由歸納假設(shè)法，命題得證。

現(xiàn)在討論差分方程（8）～方程（11）關(guān)于初值的穩(wěn)定性。

記

將式（23）～式（26）分別和式（8）～式（11）相減得：

類似于定理1的討論，可得下面穩(wěn)定性的結(jié)論。

定理2 當(dāng)h，τ充分小時(shí)，存在常數(shù)C，有

3 結(jié) 語(yǔ)

對(duì)生物學(xué)中提出的一類半線性拋物方程組建立了一個(gè)兩層線性化差分格式。證明了所構(gòu)造的差分格式是唯一可解的、收斂的，且是穩(wěn)定的。

［1］ 郁莉莉.一個(gè)捕食模型的的反應(yīng)擴(kuò)散方程組解的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)［J］.淮海工學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010， 19（2）：1-3.

［2］ 陳文彥，王明新.一個(gè)與比值有關(guān)的三級(jí)食物鏈反應(yīng)擴(kuò)散模型的定性分析［J］.江蘇大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2004，25（2）：137-140.

［3］ 王健，岳錫亭，王雪.具有時(shí)滯種群發(fā)展方程的穩(wěn)定性區(qū)域判定［J］.長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011，32（5）：489-493.

［4］ Yuan Guang-wei，Shen Long－jun，Zhou Yu-lin. Unconditional stablility of parallel alternating difference schemes for semilinear parabolic systems［J］.Appl.Math.Comput.，2001，117：267-283.

［5］ Zhang Ling-Yun，Sun Zhi-Zhong.A second-order linearized difference scheme on nonuiform meshes for nonlinear parabolic systems with Dirichlet boundary value conditions［J］.Numer Meth.Partial Differential Eqs.，2003，19：638-652.

［6］ Khaled Omrani.On the numerical approach of the enthalpy method for the stefan problem［J］.Numer Methods Partial Differential Eq，2004，20：527-548.

［7］ James F Blowey，Marcus R Garvie.A reaction-diffusion system ofλ－ωtype Part I：Mathematical analysis［J］.Applied Mathematics，2005，15：1-19.

［8］ 孫志忠.偏微分方程數(shù)值解［M］.北京：科學(xué)出版社，2004：8-9.