消力池池深的簡化計算法

滕 凱

（齊齊哈爾市水務局，黑龍江 齊齊哈爾 161006）

池式消能工具有適用范圍寬、運行工況簡單、消能效果好等優(yōu)點，在中、低水頭水工建筑物的下游消能工設計中常常被采用?，F(xiàn)行的《設計手冊》[1]、《計算手冊》[2]及《設計規(guī)范》[3]給出的消力池深計算方法均需聯(lián)立求解收縮水深、共軛水深及消力池深3個方程，由于收縮水深計算涉及高次方程求解，無法直接獲得，目前常用的計算方法主要有圖解法[1，4]、試算法[2，5]、迭代法[6，7]、近似法[8～10]及計算機求解法[11-12]。 圖解法人為誤差較大、試算及迭代法計算過程繁復，利用微機編程求解又不便于基層工程技術人員應用。在這些計算方法中，從公式及計算過程看，簡化近似計算法相對較好。在現(xiàn)有的近似算法成果中，文獻[10]推薦的計算公式稍好，該公式是從底流的消能負荷出發(fā)，將其消能過程劃分為3個階段，并在一定的假定條件下分別引入能量損失方程，通過整理和優(yōu)化擬合后給出了可直接獲解消力池深的簡化近似計算公式，但該公式由于動能修正系數(shù)的假定及擬合差的存在，實際計算成果誤差仍顯較大，且其實用范圍僅為2.0＜Fr＜9.0（Fr為收縮斷面的弗汝德數(shù)），難以滿足實際工程的設計要求。為進一步簡化消力池深的計算過程，提高求解成果精度，本文采用優(yōu)化擬合的方法，通過對原方程組進行變形整理，以標準剩余差最小為目標函數(shù)，獲得了隱含高次方程組的簡化擬合替代式，在工程實用范圍內(nèi)，最大擬合誤差小于2.8%（其中相對誤差在2.0%～2.8%范圍內(nèi)的計算點數(shù)僅占總點數(shù)的3%，且勻分布于實用區(qū)域邊緣），并實現(xiàn)了方程組可直接聯(lián)立求解，計算過程簡捷，成果精度較高。

1 基本計算公式

消力池池深d的確定需聯(lián)立求解方程，即

式中 E0為以消力池頂面為基準面的上游總水頭（m）；q為過水斷面單寬流量（m3/s）；q=Q/b，Q為建筑物過水流量（m3/s），b為建筑物過水凈寬（m）；hc、hc′分別為收縮斷面的收縮水深及其躍后共軛水深 （m）；φ、φ′分別為收縮斷面及消力池出口流速系數(shù)，φ=0.8～1.0，φ′=0.95；σ為水躍淹沒系數(shù)， 取σ=1.05；ht為池后渠道的正常水深 （m）；g為重力加速度，g=9.81m/s2。

式（1）～（3）變形整理，得：

2 簡化公式的建立

式（7）為含有F的高次隱函數(shù)方程，無法直接獲解，為此，設：

分別選取φ=0.80、0.85、0.90、0.95、1.00， 完成與之相對應的 f（F）～F～η關系曲線繪制， 依據(jù)曲線形式擬定擬合替代函數(shù)f′（F），經(jīng)數(shù)值相關回歸分析[13]，以標準剩余差最小為目標函數(shù)[14]，即

式中 N為擬合計算的數(shù)組數(shù)。

經(jīng)逐次逼近擬合計算可求得：

式中 a、b、c分別為與φ、η有關的系數(shù)。

將式（9）代入式（7），進一步整理可得：

式中 A、B、C分別為與φ、η有關的系數(shù)。

解方程式（10）可得：

F求出后即可直接解得α，進而可由（18）式求得消力池深d：

3 精度分析比較

為節(jié)省篇幅，現(xiàn)僅給出φ＝0.90及φ=0.95情況下比較結果，見表1～表2。

表1 φ＝0.90情況下擬合精度比較

為比較式（9）替代式（8）的擬合精度，在工程實用參數(shù)范圍內(nèi)（即0.80≤φ≤1.0、0.05≤η≤0.40、1.65＜β＜25、 f（F）＞0.2情況下[1-2]），給定不同的F值即可分別由式（8）、式（9）計算出與之相對應的 f（F）及 f′（F）值，并由式（19）計算擬合相對誤差

表2 φ＝0.95情況下擬合精度比較

表3 公式計算成果精度比較

經(jīng)精度比較可見，在工程實用范圍內(nèi)，用式（9）替代式（8）的最大擬合相對誤差為2.8%。其中相對誤差小于1.0%的計算點占總點數(shù)的84%，相對誤差在2.0%～2.8%范圍內(nèi)的計算點數(shù)僅占總點數(shù)的3%，且均勻分布于實用區(qū)域邊緣?？梢姡疚墓骄哂休^好的計算精度。

4 應用舉例

某溢流壩頂部設閘門控制，單寬流量保持在q=6.0m3/（s·m），壩高p=10.0m（相對于下游渠底），壩下尾水渠道正常水深ht=3.05m，試分別計算當壩前水頭H=13.0，10.0，7.0及4.0m時的消力池池深d，并完成精度比較。

以H=13.0m為例，利用公式求解消力池深d。由已知參數(shù)可求得：

根據(jù)式（4）～（6）利用計算機編程，通過逐次逼近可求得池深的精確解d=1.806m，相對誤差0.22%。

采用同樣方法即可完成當H=10.0，7.0及4.0m時的池深計算，并完成精度比較，成果見表3所示。

由表3可見，計算成果分析，用文獻[10]公式計算的最大及最小計算相對誤差分別為15.39%和0.99%，分別是最大及最小計算相對誤差的26.1倍和5.2倍，公式具有較好的求解精度。

5 結語

針對消力池深計算方法存在的問題，采用優(yōu)化擬合的方法，經(jīng)逐次逼近計算，獲得了公式表達形式相對簡單且具有較高擬合精度的替代函數(shù)，在工程實用范圍內(nèi)，計算誤差不超過2.8%。通過舉例計算分析，推導的公式計算方法簡捷，成果精度可靠，可在實際工程的設計中推廣應用。

［1］華東水利學院.水工設計手冊［K］.北京：水利電力出版社，1983.

［2］武漢水利水電學院水力學教研室.水力計算手冊［K］.北京：水利電力出版社，1983.

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