輸油管道布置建模分析研究

何改平

(1.西安電子科技大學(xué)理學(xué)院， 陜西 西安 710071；2.西安外事學(xué)院工學(xué)院， 陜西 西安 710077)

1 問題描述

對位于鐵路線一側(cè)的兩個(gè)煉油廠進(jìn)行成品油運(yùn)輸管道設(shè)計(jì)，并確定輸送目的地——鐵路線上的新建車站的位置，利用數(shù)學(xué)模型得出輸油管線費(fèi)用最少的最佳鋪設(shè)路徑.

需要解決的問題：針對兩煉油廠到鐵路線的距離和兩煉油廠間的距離的各種不同情形，提出設(shè)計(jì)方案.在方案設(shè)計(jì)時(shí)，考慮不能有共用管線和能有共用管線及費(fèi)用相同與不同的情形，并給出具體設(shè)計(jì)步驟.

2 問題分析

由題意可知，兩個(gè)煉油廠在鐵路一側(cè)，同時(shí)在鐵路線上建造一個(gè)車站，目的是通過數(shù)學(xué)模型得到一個(gè)成品油運(yùn)輸管線費(fèi)用最省的設(shè)計(jì)方案.

問題分析：首先根據(jù)具體問題分成兩種情況進(jìn)行討論.當(dāng)油田設(shè)計(jì)院提出A、B兩個(gè)煉油廠的成品油必須單獨(dú)運(yùn)輸?shù)杰囌镜囊髸r(shí)，設(shè)計(jì)方案中不能有共用管線，這種情況可以根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段距離最短”的原理來設(shè)計(jì)管線布置方案.當(dāng)油田設(shè)計(jì)院提出可以有共用管線時(shí)，可以建立直角坐標(biāo)系，用解析的方法求出管線費(fèi)用的表達(dá)式并求出最小值，也可以用數(shù)值方法中的遍歷思想求出最佳設(shè)計(jì)方案.

3 模型假設(shè)

(1)假設(shè)鋪設(shè)輸油管線的海拔相同，施工便利.(2)假設(shè)輸油管線鋪設(shè)過程中不受地質(zhì)與氣候條件的影響.(3)假設(shè)輸油管線可以隨條件彎曲.(4)假設(shè)輸油管線在運(yùn)輸中始終保持無泄漏、保溫、壓強(qiáng)正常、防腐的優(yōu)良狀態(tài).(5)假設(shè)輸油管線在市區(qū)鋪設(shè)過程中拆遷工作可以順利進(jìn)行.(6)假設(shè)不考慮問題中出現(xiàn)其他費(fèi)用.(7)假設(shè)鐵路是直的.(8)假設(shè)城區(qū)與郊區(qū)的分界線是直線且垂直于鐵路線.(9)假設(shè)車站可以建造在鐵路線上的任何地點(diǎn).

4 模型的建立及求解

4.1 解析模型

根據(jù)題目的要求建立如圖1所示的模型.設(shè)定直角坐標(biāo)系X-Y，X軸為鐵路所在地，兩個(gè)煉油廠位于坐標(biāo)系的第一象限，A煉油廠坐落在Y軸的正半軸上，B煉油廠不會(huì)位于A煉油廠的左邊，Q點(diǎn)為A煉油廠輸油管線與B煉油廠管線的交匯點(diǎn).P點(diǎn)為車站所在地，由于它一定位于鐵路上，易知當(dāng)y>0時(shí)，QP段為兩個(gè)煉油廠共用的輸油管線；當(dāng)y=0時(shí)，沒有共用的輸油管線，所以兩個(gè)煉油廠所生產(chǎn)的成品油都是單獨(dú)輸送到P.

易知，最優(yōu)設(shè)計(jì)中的Q點(diǎn)一定位于圖1所示的陰影區(qū)域內(nèi).設(shè)y2>y1，如圖2所示，過A點(diǎn)作水平線與BJ交于I點(diǎn)，設(shè)有一點(diǎn)Q位于△ABI內(nèi)，易證AQ1+BQ1

圖1 輸油管道解析模型示意圖 圖2 輸油管道解析模型示意圖( y2>y1)

根據(jù)具體的情況，以下分兩種情況來討論管線的設(shè)計(jì)問題.

4.1.1 不能有共用管線的情形

在某些情況下，A煉油廠的輸油管不能與B煉油廠的輸油管共用，所以管線設(shè)計(jì)中就不能出現(xiàn)共用的管線，這種情況下的管線設(shè)計(jì)如圖3所示.作A點(diǎn)關(guān)于X軸的對稱點(diǎn)A′，連接A′B交X軸于P點(diǎn)，易知AP=A′P，所以AP+PB=A′P+PB=A′B.由于兩點(diǎn)之間線段最短，所以輸油管線最短距離即為A′B之間的線段距離，此時(shí)的管線總造價(jià)為：

(1)

車站P的位置算法具體如下：

(2)

圖3 不共用管線解析模型示意圖 圖4 共用管線解析模型示意圖

4.1.2 可以有共用管線的情形

圖4為這種情形的示意圖，其中y≥0.圖中AQ段、BQ段分別為煉油廠A和B的非共用輸油管線，單價(jià)都為M1萬元/km；QP段為共用的輸油管線.由圖4可得輸油管線的造價(jià)為：

(3)

(1)對(3)式的x求偏導(dǎo)并令其為零可得：

θ1=θ2

(4)

所以在圖4的陰影區(qū)域內(nèi)存在這樣一個(gè)Q點(diǎn)，使得計(jì)算出的W是x∈[0，x2]范圍內(nèi)的一個(gè)極值,它可能是如圖5所示的兩種情況之一.又當(dāng)x=0時(shí)

圖5 輸油管道解析極值示意圖

(5)

所以，W曲線在x=0附近是遞減的，也就是說這是圖5曲線a的情況，因此當(dāng)θ1=θ2時(shí)，所對應(yīng)的W是x∈[0，x2]范圍內(nèi)的最小值.

(2)對(3)式的y求偏導(dǎo)，且θ1=θ2, 令θ1=θ2=θ，所以

(6)

所以存在這樣一個(gè)Q點(diǎn)，當(dāng)它滿足(6)式要求時(shí)，就使得計(jì)算出的W是y∈[0,min(y1,y2)]范圍內(nèi)的一個(gè)極值.同理可得，這點(diǎn)是W曲線上的一個(gè)最小值:

因此，當(dāng)Q點(diǎn)滿足以下兩個(gè)要求時(shí)所對應(yīng)的W值即為設(shè)計(jì)所要求的最小值.

(7)

下面計(jì)算滿足上面條件(7)的Q點(diǎn)：

(8)

所以，將x,y代入(3)式中得到的W即為管線費(fèi)用的最小值.

下面對于上述模型繼續(xù)討論：

由于(8)式中是大于等于0的，即y1+y2-x2tanθ≥0，又λ=2sinθ，所以

(9)

所以，上述模型成立的條件如(9)式所示.

(10)

因此模型解決具體問題的步驟如下：

(1)確定煉油廠A、B的具體位置以及共用管線及非共用管線的費(fèi)用，計(jì)算出λ.

(2)看λ是否滿足(9)式中的條件.

(3)如果λ滿足(9)式的條件，則管線的最優(yōu)設(shè)計(jì)為有共用管線的情況，依據(jù)(8)式計(jì)算出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，這樣就給出了最優(yōu)方案.

(4)如果λ不滿足(10)式的條件，則管線的最優(yōu)設(shè)計(jì)為無共用管線的情況，可按照前面的方法設(shè)計(jì)無共用管線的最優(yōu)方案.

下面舉2個(gè)具體的例子：

4.2 數(shù)值模型

4.2.1 不能有共用管道的情況

A點(diǎn)為A煉油廠所在地，B點(diǎn)為B煉油廠所在地，P點(diǎn)為車站所在地.AP為A煉油廠的輸油管道，單價(jià)為m萬元/km；BP為B煉油廠的輸油管道，單價(jià)為n萬元/km，可得如圖6所示的輸油管道的造價(jià)為:

當(dāng)x∈[0,x2]時(shí)，在x軸上按一定的密度取一系列點(diǎn)，計(jì)算當(dāng)P為這些點(diǎn)時(shí)的管道費(fèi)用，比較這些費(fèi)用可得出一個(gè)最小值.當(dāng)取點(diǎn)的密度足夠大時(shí)，這個(gè)最小值對應(yīng)的P點(diǎn)即為車站的最佳地點(diǎn)，最佳設(shè)計(jì)方案的管線費(fèi)用就是這個(gè)最小值.

圖6 不共用管線數(shù)值模型示意圖 圖7 共用管線數(shù)值模型示意圖

4.2.2 可以有共用管道的情況

A點(diǎn)為A煉油廠所在地，B點(diǎn)為B煉油廠所在地，Q點(diǎn)為輸油管道交匯點(diǎn)，P點(diǎn)為車站所在地.AQ段為A煉油廠單獨(dú)使用的輸油管道，單價(jià)為m萬元/km；BQ段為B煉油廠單獨(dú)使用的輸油管道，單價(jià)為n萬元/km；QP段為共用的輸油管道,單價(jià)為k萬元/km，可得如圖7所示的輸油管道的造價(jià)為：

在有效區(qū)域內(nèi)按照一定的密度取一定數(shù)量的點(diǎn)，取的點(diǎn)就為Q點(diǎn)，算出每點(diǎn)情況下的輸油管道造價(jià)，分別比較這些點(diǎn)的造價(jià)可得出一個(gè)最小值.當(dāng)這些點(diǎn)的密度取得足夠大時(shí)，就可近似認(rèn)為這個(gè)最小值點(diǎn)就是得出的最優(yōu)點(diǎn).

通過MATLAB編寫計(jì)算程序，用數(shù)值解法再次求前面解析解法中的兩個(gè)例子，得到的結(jié)果如下：

例1：x=18.660 0，y=9.226 0，W=193.923 0；例2：x=13.340 0，y=0，W= 216.333 1.

與解析解法比較，結(jié)果分別如表1、表2所示.

表1 例1結(jié)果比較

表2 例2結(jié)果比較

通過上面的比較可以看出兩種模型的結(jié)果基本一樣，所以兩種模型都是正確的.

5 模型評價(jià)

本文通過建立解析模型與數(shù)值模型對輸油管線的優(yōu)化問題進(jìn)行了求解，針對具體的問題即不能有共用管線與能有共用管線兩種情況分別進(jìn)行了分析.對于不能有共用管線的情況求解步驟比較簡單，運(yùn)用簡單的幾何原理即能解決問題.能有共用管線的求解步驟則相對復(fù)雜一些，根據(jù)是否滿足一定的條件就可以判斷出最優(yōu)方案中是否有共用管線.得出判斷后就可以依據(jù)相關(guān)的步驟求解出最優(yōu)方案.該問題中，模型求解步驟清晰，簡單易懂.數(shù)值模型求解問題要更為簡單一些，在編寫出的程序中設(shè)定好相關(guān)數(shù)據(jù)就能比較精確快速地得出最佳方案.

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