皮帶傳動拉力變化的微分方程及應(yīng)用

王允地， 王穩(wěn)地， 張航偉, 王良文

(1.陜西科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院, 陜西 西安 710021；2.西南大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 重慶 400715；3.鄭州輕工業(yè)學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院, 河南 鄭州 450002)

0 引言

文獻(xiàn)[1]推導(dǎo)了不考慮皮帶慣性力的拉力變化微分方程,文獻(xiàn)[2]推導(dǎo)了只考慮皮帶慣性力的拉力分布方程.本文把皮帶微段的慣性力、壓力、摩擦力和拉力綜合起來考慮，建立皮帶微段受力微分方程，導(dǎo)出了皮帶拉力隨包角的直接變化公式.

以此為基礎(chǔ)，又給出了極限有效圓周力、初拉力及傳遞功率的理論值.結(jié)合皮帶實(shí)際運(yùn)行的疲勞循環(huán)應(yīng)力、磨損和微振動等破壞因素，研究了給定標(biāo)準(zhǔn)三角帶型號、帶長、全包角及帶輪直徑后皮帶實(shí)際傳遞功率隨帶速的變化規(guī)律.且討論了三個計算實(shí)例.

1 皮帶微段受力微分方程

如圖1所示，對于皮帶與小帶輪處于臨界摩擦的狀態(tài)，以R表示小帶輪半徑，α表示皮帶全包角，q表示皮帶線密度，v表示帶速 ,f表示皮帶與帶輪間的摩擦系數(shù)，F(xiàn)1表示緊邊拉力，F(xiàn)2表示松邊拉力，θ表示研究點(diǎn)包角，F(xiàn)表示研究點(diǎn)拉力，而以dθ表示研究段包角微分.

皮帶微段離心力dG等于微段質(zhì)量與微段向心加速度的乘積，即

(1)

帶輪對皮帶微段的壓力dN則為

dN=Fdθ-dG=(F-qv2)dθ

(2)

圖1 皮帶微段受力圖

微段拉力微分dF則是摩擦系數(shù)f與微段壓力dN的乘積

dF=fdN=f(F-qv2)dθ

(3)

由此得到拉力F對包角θ的導(dǎo)數(shù)為

(4)

2 皮帶拉力隨包角的變化公式

由于qv2為常量，因此有

(5)

從而由初始條件

θ=0，F(xiàn)=F2

(6)

得

F-qv2=(F2-qv2) efθ

(7)

再由邊界條件

θ=α，F(xiàn)=F1

(8)

得

F1-qv2=(F2-qv2) efα

(9)

3 有效圓周力及初拉力

極限有效圓周力Fe為按以上方法算出的緊、松邊拉力之差，即

Fe=F1-F2=(efα-1)(F2-qv2)

=(1- e-fα)(F1-qv2)

(10)

而皮帶初拉力F0與工作時的緊松邊拉力F1、F2的關(guān)系仍為

F1+F2=2F0

(11)

因此由(10)式推得初拉力與極限有效圓周力間的關(guān)系為

(12)

及

(13)

4 傳遞功率

4.1 理論值

僅從短時穩(wěn)態(tài)受力上看，皮帶拖動負(fù)載運(yùn)行時，只有緊邊拉力F1受到一定限制.皮帶能傳遞的功率P等于極限有效圓周力Fe與帶速v的乘積，即

P=FeV=(1- e-fα)(F1-qv2)v

(14)

4.2 帶速較小時的修正值

(15)

令

P*=(1- e-fα)F1V0

(16)

且已知v等于V0時，能傳遞的功率為P0,故有

P0=P*-(1- e-fα)qV03

(17)

從中解出

P*=P0+(1-e-fα)qV03

(18)

這樣，便得到帶速較小時，單根皮帶所能傳遞的功率隨帶速v的變化公式為

(19)

4.3 超過臨界帶速時的修正值

當(dāng)帶速v超過某一臨界值Vl后，皮帶使用期內(nèi)的應(yīng)力循環(huán)次數(shù)大量增加，接近于持久極限次數(shù)，上式中的(1-ε)不再為常數(shù)，而是按冪函數(shù)規(guī)律逐漸上升.若已知該臨界帶速Vl對應(yīng)的(1-εl)及最大帶速Vm對應(yīng)的(1-εm)值，且對比中間數(shù)據(jù)取定指數(shù)δ，單根皮帶所能傳遞的功率的公式(19)中的(1-ε)隨帶速V變化的修正式為

(20)

5 標(biāo)準(zhǔn)V型帶計算實(shí)例

5.1 A型三角帶計算實(shí)例

文獻(xiàn)[3]已經(jīng)給出了帶長為1 700 mm的標(biāo)準(zhǔn)A型三角帶，在小帶輪直徑為100 mm，皮帶全包角α為π的情況下，單根皮帶所能傳遞功率P隨帶速v變化的實(shí)測數(shù)表，如表1所示.其中的帶速v從 1 m/s 到 30 m/s，共給出了17組數(shù)據(jù), 最小帶速V0即為1 m/s.

標(biāo)準(zhǔn)A型三角帶的線密度q等于 0.1 kg/m，與金屬接觸的摩擦系數(shù)f為 0.4，安裝在帶輪上的當(dāng)量摩擦系數(shù)fv為1.2.從表1看出，最小帶速V0等于1 m/s 時，單根帶能傳遞的功率P0為 250 W .以當(dāng)量摩擦系數(shù)fv代替f，并將該組數(shù)據(jù)代入公式(18)，得P*=250.097 7 W; 而(1- e-fα)qV03=0.097 7 W.

經(jīng)與v大于1 m/s 后的數(shù)據(jù)分析對比，取ε等于 0.15，τ等于 0.1 ，Vl等于15 m/s，由(19)式得出v≦15 m/s時，單根帶傳遞功率P的算式為

P=250.097 7v0.85-0.097 7v3.1

(21)

再由Vl等于15 m/s時的實(shí)測功率2 070 W 及Vm等于30 m/s 時的實(shí)測功率1 960 W , 從(19)式推得εl=0.15，εm=0.083，并對比中間數(shù)據(jù)取(20)式中的δ=1.2.據(jù)此得到v≧15 m/s時，單根帶傳遞功率P的算式為

P=250.097 7v(1-ε)-0.097 7v3.1

(22)

其中

(23)

根據(jù)(21)及(22)式算出的帶長 1 700 mm、帶輪直徑100 mm、全包角α為π的單根A型標(biāo)準(zhǔn)三角帶傳遞功率值在表1的下邊一行.繪出的帶速v、功率P曲線如圖2所示.

就一般情況而言，適當(dāng)初取τ及Vl，從實(shí)測表中查出對應(yīng)的功率Pl，代入(19)式，便可反求出εl，使區(qū)間內(nèi)的計算值與實(shí)測值盡可能接近.類似的也可由(19)式反求出εm，并對比中間數(shù)據(jù)由(20)式選取δ值.

表1 A型三角帶傳遞功率實(shí)測值與計算值表

從表1看出，按本文公式得出的計算功率與實(shí)測功率相差不大.

圖2 A型帶傳遞功率P隨帶速v的變化線圖

5.2 包角為π的C型三角帶

根據(jù)文獻(xiàn)[3]給出的帶長為3 775 mm,包角為π，帶輪直徑分別為200 mm、224 mm、250 mm及280 mm的C型三角帶的傳遞功率數(shù)表，按本文方法繪出的傳遞功率P隨帶速v的四條變化曲線如圖3所示.

圖3 包角為π的C型帶傳遞功率P隨帶速v的變化線圖

5.3 包角為2π/3的C型三角帶

對于小帶輪包角α小于π的情形，隨著包角的減小，實(shí)際拉力變化的不均勻性增加，彈性滑動也增加，應(yīng)將(15)式及(19)式中的α換成π，再乘以包角系數(shù)kα進(jìn)行修正.根據(jù)文獻(xiàn)[3]給出的包角系數(shù)表，我們推出kα的計算公式為

kα=(1- e-fα)/(1- e-fπ)

(24)

據(jù)此繪出帶長為3 775 mm,包角為2π/3，帶輪直徑分別為200 mm、224 mm、250 mm及280 mm的C型三角帶的傳遞功率P隨帶速v的四條變化曲線如圖4所示.

圖4 包角為2π/3的C型帶傳遞功率P隨帶速v的變化線圖

另外，當(dāng)帶的長度改變時，應(yīng)給算出的功率值再乘以長度系數(shù)kl做修正,其值可在文獻(xiàn)[3]的表6-5中查出.而小帶輪包角α小于π時，大帶輪包角會隨之增大，大帶輪直徑和機(jī)構(gòu)傳動比i也隨之增加，皮帶繞在大帶輪部分的彎曲應(yīng)力將隨之下降，單根帶能傳遞的功率則產(chǎn)生一部分增量ΔP,其值可按文獻(xiàn)[6]中的公式4-55算出.

對于標(biāo)準(zhǔn)三角帶預(yù)緊力F0的控制問題，可按文獻(xiàn)[1]給出的表8-11進(jìn)行.

包角為π的標(biāo)準(zhǔn)帶能傳遞的功率隨帶輪直徑及轉(zhuǎn)速的變化數(shù)表見文獻(xiàn)[4]和[5].皮帶動力學(xué)問題的詳細(xì)分析見文獻(xiàn)[7]和[8].

6 結(jié)論

(1)由微分方程和拉力公式得知，皮帶傳動的緊松邊拉力、極限有效圓周力及預(yù)緊力之間的關(guān)系由小帶輪包角、皮帶與帶輪間摩擦系數(shù)、皮帶節(jié)面線速度及皮帶線密度所決定.帶輪直徑也對能傳遞的功率有影響.

(2)現(xiàn)有文獻(xiàn)給出的長度特定而包角為π的單根標(biāo)準(zhǔn)三角帶傳遞功率隨帶速的變化數(shù)表中，有一個最小帶速V0及最大帶速Vm, 且在兩者之間存在著一個臨界帶速Vl.帶速在V0及Vl之間變化時，傳遞功率修正式中的兩個修正指數(shù)均為常量；帶速在Vl及Vm之間變化時，傳遞功率修正式中前邊一項(xiàng)中的修正指數(shù)則隨帶速的變化而變化.傳遞功率曲線還在Vl及Vm之間取極大值.

(3)包角系數(shù)修正式中的修正指數(shù)一直為1.1.

(4)對于標(biāo)準(zhǔn)窄V帶傳動，可按本文方法類似地加以研究.

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