異步電機(jī)定子的振動(dòng)與模態(tài)分析

韓 偉，賈啟芬，邱家俊

（天津大學(xué) 機(jī)械學(xué)院，天津 300072）

異步電機(jī)在很多工業(yè)領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用歷史，然而至今仍有很多問(wèn)題有待解決。其中的一個(gè)問(wèn)題就是電機(jī)運(yùn)行過(guò)程產(chǎn)生的電磁噪聲，這是由高頻電磁力引起電機(jī)強(qiáng)迫振動(dòng)產(chǎn)生的，當(dāng)電機(jī)結(jié)構(gòu)發(fā)生共振時(shí)，電機(jī)的噪聲會(huì)更大［1-2］。為了降低噪音，預(yù)測(cè)電機(jī)產(chǎn)生的振動(dòng)和噪聲需要準(zhǔn)確地確定諧振頻率和激振力，因此必須對(duì)電機(jī)定子結(jié)構(gòu)的固有頻率和振動(dòng)特性進(jìn)行詳細(xì)的研究。國(guó)內(nèi)外不少學(xué)者進(jìn)行了這方面的研究。文獻(xiàn)［3-4］對(duì)電機(jī)定子的振動(dòng)特性進(jìn)行了試驗(yàn)研究；文獻(xiàn)［5］利用解析法計(jì)算了異步電機(jī)定子的固有頻率；文獻(xiàn)［6］研究了電機(jī)定子齒槽對(duì)異步電機(jī)振動(dòng)噪聲的影響。隨著有限元方法的引入和發(fā)展，不少研究者開(kāi)始利用有限元法和試驗(yàn)相結(jié)合的方法對(duì)電機(jī)的振動(dòng)特性進(jìn)行了研究，文獻(xiàn)［7］利用有限元和實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的方法研究了繞組對(duì)異步電機(jī)定子的固有頻率的影響，文獻(xiàn)［8-10］利用有限元法和實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的方法對(duì)異步電機(jī)的固有頻率和振型進(jìn)行了詳細(xì)的研究；文獻(xiàn)［11］提出了一種非破壞性測(cè)定電機(jī)定子疊片了大型異步電機(jī)的振動(dòng)模態(tài)；文獻(xiàn)［12］利用有限元方法研究也存在著一些問(wèn)題，概括起來(lái)問(wèn)題主要集中在以下幾個(gè)方面：①由于鐵芯是由長(zhǎng)度為2～6 mm的空心圓柱硅鋼片沖制疊壓而成，各片之間還通過(guò)絕緣材料隔開(kāi)，故鐵芯不是簡(jiǎn)單的連續(xù)彈性介質(zhì)，不能把電機(jī)鐵芯疊片結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為硅鋼實(shí)體或者彈性模量較小的各向同性體；② 計(jì)算結(jié)果分析僅局限于定子的徑向平面振動(dòng)模態(tài)，對(duì)于有效防止電機(jī)產(chǎn)生其它三維振動(dòng)模態(tài)的共振參考價(jià)值不大。因此，有必要進(jìn)一步改進(jìn)電機(jī)的有限元建模方法，提高計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確度，同時(shí)系統(tǒng)的分析定子的三維振動(dòng)模態(tài)。

本文基于異步電機(jī)簡(jiǎn)化的三維物理模型，建立了各種不同的電機(jī)定子的有限元模型，通過(guò)比較不同的定子有限元模型的計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確度，改進(jìn)了定子的有限元建模方法，系統(tǒng)的分析了定子三維振動(dòng)模態(tài)。試驗(yàn)樣機(jī)的有限元計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了比較驗(yàn)證。

1 數(shù)學(xué)模型和研究方法

振動(dòng)模態(tài)分析，就是利用系統(tǒng)固有頻率的正交性，以系統(tǒng)的各階模態(tài)向量所組成的模態(tài)矩陣作為變換矩陣，對(duì)選取的物理坐標(biāo)進(jìn)行線性變換，使得振動(dòng)系統(tǒng)以物理坐標(biāo)和物理參數(shù)所描述的、互相耦合的運(yùn)動(dòng)方程組能夠變?yōu)橐唤M獨(dú)立的模態(tài)方程。由于坐標(biāo)變換是線性變換，因而系統(tǒng)在原有物理坐標(biāo)系中，對(duì)于任意激勵(lì)的響應(yīng)，便可視為系統(tǒng)各階模態(tài)的線性組合，故模態(tài)分析方法又稱(chēng)為模態(tài)疊加法。而各階模態(tài)在疊加中所占的比重或加權(quán)系數(shù)則取決于各階模態(tài)的響應(yīng)。取一單元體，設(shè)單元體的動(dòng)能為T(mén)，應(yīng)變能為U，阻尼消耗的能量為Wd，外力的勢(shì)能為We。建立拉格朗日函數(shù)為：

利用哈密頓原理和應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系、應(yīng)變-位移關(guān)系可以導(dǎo)出單元的運(yùn)動(dòng)方程為：

其中（·）表示對(duì)時(shí)間的求導(dǎo)，下標(biāo)和上標(biāo)e表示單元，Me表示單元體的質(zhì)量矩陣，Ce表示單元體的阻尼矩陣，Ke表示單元體的剛度矩陣，F(xiàn)e表示單元體的載荷矩陣，qe表示單元體的節(jié)點(diǎn)位移。對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的各單元集合，便可以得到振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為：

式中：M為系統(tǒng)整體的質(zhì)量矩陣，C為系統(tǒng)整體的阻尼矩陣，K為系統(tǒng)整體的剛度矩陣，F(xiàn)為節(jié)點(diǎn)力矢量。而固有頻率一般為無(wú)阻尼自由振動(dòng)，令F={0}和C={0}，根據(jù)微分方程理論，式（3）的解可以表示為：

根據(jù)線性方程理論有非零解的充分必要條件為：

解出滿(mǎn)足式（5）、（6）的頻率w和對(duì)應(yīng)的非零解向量?r（r=1，2，3，…，n），其中w和?r分別為電機(jī)的固有頻率和固有振型。

作為結(jié)構(gòu)力學(xué)的經(jīng)典內(nèi)容，自由振動(dòng)模態(tài)分析的理論和計(jì)算方法都比較成熟，并形成了各種數(shù)值分析軟件。本文利用有限元軟件Ansys對(duì)異步電機(jī)進(jìn)行三維有限元分析，在一定的簡(jiǎn)化基礎(chǔ)上，將電機(jī)模型全部拉伸為8面體單元，保證了計(jì)算結(jié)果的精確度，提高了工作的效率。同時(shí)結(jié)合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，全面研究異步電機(jī)定子的模態(tài)和固有頻率。

2 三維有限元建模

為便于比較，以一臺(tái)4 kW、三相異步電機(jī)實(shí)驗(yàn)樣機(jī)為例，構(gòu)建了6種基本的有限元計(jì)算模型。機(jī)殼的材料為鑄鐵，定子鐵芯疊片的材料為硅鋼片，硅鋼片表面涂有一層薄絕緣材料，繞組的材料為銅。

圖1 兩種鐵芯模型Fig.1 Two modal of the core

模型Ⅰ 只考慮了定子鐵芯、繞組和機(jī)殼（沒(méi)有散熱筋和底腳）在通常的電機(jī)結(jié)構(gòu)中，繞組通過(guò)絕緣樹(shù)脂與定子鐵心相粘連，其對(duì)定子鐵心的剛度影響較小，其影響主要以附加質(zhì)量體現(xiàn)［13］，將繞組的質(zhì)量折算到定子齒中，使定子齒的密度增大，以考慮繞組對(duì)定子振動(dòng)系統(tǒng)的影響。由于鐵芯是由很多薄硅鋼片疊壓而成的離散介質(zhì)體，如果要建立鐵芯的實(shí)際模型，則其建模與計(jì)算的難度將是無(wú)法估計(jì)的，本文采用等效替換的方法，把鐵芯疊片簡(jiǎn)化為8個(gè)相同的離散單元體，每個(gè)單元體與機(jī)殼均采用剛性聯(lián)結(jié)，且8個(gè)單元體之間無(wú)軸向相對(duì)位移。鐵芯的建模過(guò)程如下：首先只建立鐵芯實(shí)體模型的1/8，然后通過(guò)移動(dòng)復(fù)制1/8鐵芯實(shí)體建立8個(gè)相同的鐵芯段，8個(gè)鐵芯段再分別與機(jī)殼進(jìn)行體粘結(jié)布爾操作，對(duì)每個(gè)鐵芯段分別進(jìn)行網(wǎng)格劃分，然后利用耦合命令CPINTF耦合單元體之間重合節(jié)點(diǎn)的軸向位移。鐵芯的虛擬模型和有限元模型如圖1所示，綠色部分表示耦合此處重合節(jié)點(diǎn)的軸向位移。該定子模型如圖2（a）所示，定子各部分的材料屬性如表1所示。

表1 電機(jī)各部分的材料特性Tab.1 Material properties of motor

模型Ⅱ在模型Ⅰ的基礎(chǔ)上添加了軸向散熱筋和加強(qiáng)筋，主要是考查散熱筋和加強(qiáng)筋對(duì)定子固有頻率的影響。其各種材料屬性同表1。有限元模型如圖2（b）。

模型Ⅲ在模型Ⅰ的基礎(chǔ)上添加了底腳，主要是考查底腳對(duì)定子固有頻率的影響。其各種材料屬性同表1。有限元模型如圖2（c）。

模型Ⅳ在模型Ⅰ的基礎(chǔ)上既添加了軸向散熱筋和加強(qiáng)筋，又添加了底腳。同時(shí)考查軸向散熱筋、加強(qiáng)筋察和底腳對(duì)定子固有頻率的影響。其各種材料屬性同表1。有限元模型如圖2（d）。

圖2 模型Ⅰ到模型Ⅳ的有限元計(jì)算模型Fig.2 FE Models of modeⅠ to Mode Ⅳ

模型Ⅴ在模型Ⅳ的基礎(chǔ)上，鐵芯簡(jiǎn)化為材料均勻各向同性的連續(xù)體，其彈性模量取為 1.521 ×1011N/m2［10］。其它的材料屬性同表1。

模型Ⅵ 在模型Ⅳ的基礎(chǔ)上，鐵芯簡(jiǎn)化為硅鋼實(shí)體，其彈性模量取為2.058 ×1011N/m2［2］。其它的材料屬性同表1。

3 結(jié)果分析

對(duì)上述模型做無(wú)任何機(jī)械約束的自由振動(dòng)模態(tài)分析，得到定子三維振動(dòng)的前五階固有頻率如表2所示。模型Ⅳ的前五階固有振型如圖3所示。比較模型Ⅰ的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果，發(fā)現(xiàn)模型Ⅰ的前五階固有頻率均與實(shí)測(cè)值誤差較大，其中，第一階的固有頻率的計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)值的誤差最大，為38.89%，說(shuō)明模型Ⅰ的計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確度很低。比較模型Ⅱ的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果，發(fā)現(xiàn)模型Ⅱ的前五階固有頻率與實(shí)測(cè)值最大的最大誤差為15.58%，說(shuō)明模型Ⅱ的計(jì)算結(jié)果與模型Ⅰ的計(jì)算結(jié)果相比，模型Ⅱ的計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確度有了很大的提高。同理，模型Ⅲ的計(jì)算結(jié)果與模型Ⅱ的計(jì)算結(jié)果相比，模型Ⅲ的計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確度更高。而模型Ⅳ的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相比，最大誤差不超過(guò)9%，模型Ⅳ的計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確度是上述模型中最高的。模型Ⅴ的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相比，計(jì)算所得的固有頻率值最大誤差為43.39%，說(shuō)明模型Ⅴ的計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確度比模型Ⅰ還低。模型Ⅵ的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相比，計(jì)算所得的固有頻率值最大誤差為53.67%，說(shuō)明模型Ⅵ的計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確度是上述模型中最低的。

表2 模型Ⅰ－Ⅵ的結(jié)果與實(shí)測(cè)值的比較Tab.2 Comparison of modalⅠto Ⅵanalysis results with measured Results

圖3 模型Ⅳ的前五階振動(dòng)模態(tài)Fig.3 The first to fifth mode shapes of modalⅣ

另外，由圖3和表2可知，模型Ⅳ得到了多個(gè)低階固有頻率和振型的計(jì)算結(jié)果，在前五階模態(tài)中，有2個(gè)橢圓振動(dòng)模態(tài)、3個(gè)低階軸向和徑向平面振動(dòng)的組合模態(tài)。其中一、四、五階模態(tài)為軸向和徑向平面振動(dòng)的組合模態(tài)，二、三階為橢圓振動(dòng)模態(tài)。與文獻(xiàn)［2，13］的計(jì)算結(jié)果相比，很多沒(méi)有被計(jì)算和分析的低階模態(tài)，都被準(zhǔn)確地計(jì)算出來(lái)了，這些低價(jià)振動(dòng)模態(tài)都有可能被不平衡電磁力激起，準(zhǔn)確地計(jì)算和分析這些模態(tài)對(duì)于降低電機(jī)的振動(dòng)與噪聲具有重要的參考價(jià)值。

綜合以上分析，可以得到如下一些結(jié)論：

（1）在電機(jī)定子的有限元建模過(guò)程中，充分考慮散熱筋、加強(qiáng)筋和底腳對(duì)定子固有頻率的影響，可以有效提高定子固有頻率的計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確度。

（2）在電機(jī)定子的有限元建模過(guò)程中，當(dāng)把定子鐵芯簡(jiǎn)化硅鋼實(shí)體或者彈性模量取為1.521×1011N/m2的均勻各向同性體時(shí)，定子模型的固有頻率的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相比誤差較大，尤其是軸向階數(shù)m≠0的第一階固有頻率。由此可知，在計(jì)算定子的三維振動(dòng)模態(tài)時(shí)，定子鐵芯是不能利用硅鋼實(shí)體或者其它的各向同性體［10］來(lái)等效替換的。

（3）根據(jù)本文的等效替換方法，把定子鐵芯等效為多個(gè)離散的單元體（單元體的個(gè)數(shù)可通過(guò)多次試算得到）時(shí)，定子模型固有頻率計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確度可以得到有效的提高。

（4）在綜合考慮了散熱筋、加強(qiáng)筋、底腳和鐵芯結(jié)構(gòu)對(duì)模型計(jì)算結(jié)果的影響之后，使得該有限元模型的計(jì)算結(jié)果達(dá)到了很高的準(zhǔn)確度。

4 計(jì)算實(shí)例

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文模態(tài)分析計(jì)算的有效性，根據(jù)實(shí)驗(yàn)樣機(jī)數(shù)據(jù)，建立了一個(gè)考慮繞組、散熱筋、加強(qiáng)筋、底腳、鐵芯和端蓋的有限元模型。繞組、散熱筋、加強(qiáng)筋、底腳、鐵芯等的建模處理方法均按照本文上節(jié)討論所得的建模處理方法進(jìn)行建模（模型Ⅳ的建模方法），端蓋裝配與機(jī)殼，兩者之間可以視為緊密配合（貼合面無(wú)相對(duì)位移）。由于在實(shí)際的工作環(huán)境中，電機(jī)底腳通過(guò)螺紋與地面保持接觸，螺紋的松緊對(duì)電機(jī)的振動(dòng)具有重要的影響，情況比較復(fù)雜，故本文主要是對(duì)樣機(jī)模型做三維的自由振動(dòng)模態(tài)分析。試驗(yàn)樣機(jī)的有限元模型如圖4所示，表3列出了該模型的前三階固有頻率，圖5為該模型的前三階固有振型。

圖4 實(shí)驗(yàn)樣機(jī)的有限元模型Fig.4 FE modal of prototype motor

圖5 模型Ⅶ的前三階固有振型Fig.5 The first to fifth mode shapes of modalⅦ

5 實(shí)驗(yàn)

為了能夠保證有限元模型計(jì)算結(jié)果的可靠性，對(duì)樣機(jī)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析。實(shí)驗(yàn)由兩種工況組成，即：自由狀態(tài)下不帶端蓋的定子實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析、自由狀態(tài)下帶端蓋的定子實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析。根據(jù)實(shí)驗(yàn)要求，對(duì)自由狀態(tài)下不帶端蓋的定子和自由狀態(tài)下帶端蓋的定子布置了40個(gè)測(cè)點(diǎn)，每個(gè)測(cè)點(diǎn)要測(cè)試兩個(gè)方向的加速度響應(yīng)信號(hào)（R和θ方向）。

表3 模態(tài)分析結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果對(duì)比Tab.3 Comparison of modal analysis to results with measured results

圖6 自由狀態(tài)下不帶端蓋電機(jī)定子的頻響函數(shù)集中結(jié)果Fig.6 Frequency response functions results of unrestrained stator without end-shields

圖7 自由狀態(tài)下帶端蓋的電機(jī)定子的頻響函數(shù)集中結(jié)果Fig.7 Frequency response functions results of unrestrained stator with end-shields

利用CL-YD-302系列力錘及力傳感器單點(diǎn)激勵(lì)第4點(diǎn)R方向，采用CA-YD-108壓電式加速度傳感器拾取各點(diǎn)R、θ方向的加速度信號(hào)。實(shí)驗(yàn)的分析帶寬為1 000 Hz，共記錄了40個(gè)力信號(hào)的時(shí)間歷程，80個(gè)加速度響應(yīng)的時(shí)間歷程，將實(shí)驗(yàn)中采集到的每次激勵(lì)的力信號(hào)、各測(cè)點(diǎn)兩個(gè)方向響應(yīng)的加速度信號(hào)數(shù)據(jù)，在模態(tài)分析軟件上進(jìn)行了以快速傅里葉變換為核心的數(shù)據(jù)處理工作，共獲得了80個(gè)頻響函數(shù)。圖6和圖7為所有的頻響函數(shù)的集中結(jié)果顯示。

在以上工作的基礎(chǔ)上應(yīng)用專(zhuān)用模態(tài)分析軟件，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對(duì)象的模態(tài)參數(shù)識(shí)別，得到了兩種工況下電機(jī)定子的固有頻率，表2為模型Ⅰ-Ⅵ的計(jì)算結(jié)果與無(wú)端蓋定子實(shí)測(cè)值的比較，表3為實(shí)驗(yàn)樣機(jī)的計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)值的比較。由表3可知實(shí)驗(yàn)頻率和模態(tài)頻率很接近，相對(duì)誤差均低于10%，表明模態(tài)仿真是可靠的。

6 結(jié)論

本文利用三維有限元模態(tài)分析法，通過(guò)比較采用不同的有限元建模方法時(shí)不同定子模型固有頻率計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確度，得出對(duì)離散的鐵芯疊片結(jié)構(gòu)，采用多個(gè)離散單元體等效替換的方法，與傳統(tǒng)的簡(jiǎn)化方法相比，可以大大提高三維振動(dòng)固有頻率計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確度。采用本文的建模方法，綜合考慮散熱筋、加強(qiáng)筋、底腳和離散鐵芯疊片結(jié)構(gòu)對(duì)固有頻率計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確度的影響后，使得該有限元模型的模態(tài)計(jì)算結(jié)果達(dá)到了很高的準(zhǔn)確度，能夠滿(mǎn)足工程精度要求，證實(shí)了本文的建模方法的優(yōu)越性和模態(tài)分析計(jì)算的有效性。對(duì)于降低電機(jī)的振動(dòng)與噪聲具有重要的參考價(jià)值。

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