聲子晶體平板組合成像特性分析

覃世冬，鄧芳圓，劉紹娥，李曉春，，周科朝

（1.中南大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，長(zhǎng)沙 410083；2.中南大學(xué) 粉末冶金研究院，長(zhǎng)沙 410083）

Veselago［1］提出了負(fù)折射率的假設(shè)。但由于自然界不存在天然的負(fù)折射率介質(zhì)，這方面的研究也就沒(méi)有得到足夠的重視。Pendry等［2-3］利用兩種不同金屬構(gòu)成的結(jié)構(gòu)，從理論上實(shí)現(xiàn)了GHz頻段上負(fù)的等效介電常數(shù)和負(fù)的等效磁導(dǎo)率。實(shí)驗(yàn)上，2000年，Smith等［4］同時(shí)實(shí)現(xiàn)了負(fù)的等效介電常數(shù)和負(fù)的等效磁導(dǎo)率，即得到負(fù)的折射率介質(zhì)。Shelby等［5］在實(shí)驗(yàn)上觀察到了負(fù)折射現(xiàn)象。Pendry［13］關(guān)于負(fù)折射介質(zhì)平板可以突破衍射極限、實(shí)現(xiàn)完美成像的建議，更是激起了科學(xué)工作者的空前興趣。負(fù)折射現(xiàn)象研究也從光子晶體［6-7］擴(kuò)展到了聲子晶體領(lǐng)域［8-11，14-15］。傳統(tǒng)的光學(xué)透鏡及其共軸球面系統(tǒng)成像可以完全地基于單球面正常折射加以解釋。聲子晶體負(fù)折射在引入負(fù)折射率后可用反Snell定律描述，但這種描述在成像時(shí)，特別是多平板成像過(guò)程中，面對(duì)實(shí)物實(shí)像、虛物虛像的復(fù)雜情況，是否仍然適用，有必要進(jìn)行細(xì)致的分析。作為聲子晶體類似物的光子晶體，也無(wú)這方面的詳細(xì)報(bào)道。而且，平板透鏡區(qū)別于曲面透鏡，其獨(dú)有的成像特性如何也不清楚。針對(duì)這些問(wèn)題，本文以二維聲子晶體平板為模型，對(duì)聲子晶體平板的單板成像和多板成像進(jìn)行分析，以期更好地認(rèn)識(shí)平板透鏡的成像規(guī)律，并加深對(duì)聲子晶體多重散射和負(fù)折射之間的貫通理解。

1 基本模型

本文所用的模型為鋼圓柱以三角形排列植入空氣中組成的二維二組元聲子晶體，材料參數(shù)為：空氣，ρ空氣=1.29 ×10-3（kg·m-3），cl空氣=0.34 ×103（m·s-1），ct空氣=0（m·s-1）；鋼柱，ρ鋼=7.67 ×103（kg·m-3），cl鋼=6.01 ×103（m·s-1），ct鋼=3.23 ×103（m·s-1），其中ρ，cl，ct分別表示材料的質(zhì)量密度，縱波波速和橫波波速。鋼柱的半徑r=0.36（以晶格常數(shù)a為長(zhǎng)度單位，下同），對(duì)應(yīng)的單胞填充率為f=0.47。用多重散射方法計(jì)算模型能帶結(jié)構(gòu)及等頻線，結(jié)果如圖1所示。圖1（a）中，從Γ點(diǎn)出發(fā)的直線表示空氣的色散線。從圖1（a）中可以看出，在頻率0.62～0.95（歸一化頻率，下同）之間，Γ點(diǎn)的頻率比其它點(diǎn)的頻率都要高，說(shuō)明該頻段就是能發(fā)生負(fù)折射現(xiàn)象的頻率區(qū)間［16］。圖1（b）是等頻線圖，當(dāng)頻率達(dá)到0.62時(shí)，等頻線凹向Γ點(diǎn)，與帶結(jié)構(gòu)圖中的提示一致。

圖1 Fig.1（a）Band structure two-dimensional two-component triangular arrangement steel/air phononic erystal（b）Equivalent frequency drawing

圖1（b）顯示，對(duì)于本文討論的模型，在頻段0.65～0.95之間，等頻線的形狀近似為圓形。這說(shuō)明，在該頻段內(nèi)可用等效負(fù)折射率的概念來(lái)描述該聲子晶體中的負(fù)折射行為，并可用neff=-k c/ω計(jì)算其等效負(fù)折射率［12］。本文所用聲源的歸一化頻率為0.70，對(duì)應(yīng)的等效負(fù)折射率為-0.54（下同）。

2 聲子晶體平板單板成像

聲子晶體平板負(fù)折射成像過(guò)程可用示意圖2表示。圖2中，d為聲子晶體平板的厚度，點(diǎn)聲源S到平板左表面距離為物距u，外部像到平板右表面的距離為像距v。點(diǎn)聲源經(jīng)平板兩個(gè)表面折射后的像點(diǎn)分別成內(nèi)部像點(diǎn)S0和外部像點(diǎn)S1。其中θi，θr分別代表入射角和折射角，平板的等效負(fù)折射率用neff表示。

根據(jù)反Snell定律及圖中的幾何關(guān)系可得，

當(dāng)入射角θi較小時(shí)，利用近軸近似，表達(dá)式（1）、式（2）可簡(jiǎn)化為：

圖2 負(fù)折射率聲子晶體平板成像過(guò)程可用示意圖Fig.2 Negative refractive index phononic crystal tablet imaging process available schematic diagram

從式（3）和式（4）可以看出：在近軸近似下，聲子晶體平板內(nèi)部像點(diǎn)S0的位置與聲波的入射角θi、聲子晶體平板的等效負(fù)折射率neff及聲源離平板的距離u（即物距）有關(guān)，而與平板的厚度無(wú)關(guān)；而平板外部的像點(diǎn)S1，聲波的入射角θi、聲子晶體平板的等效負(fù)折射率neff及聲子晶體平板的厚度有關(guān)，而與物距u無(wú)關(guān)。

圖3、圖4為聲子晶體平板單板多重散射模擬的負(fù)折射成像圖，圖中白直線標(biāo)記了平板的輪廓和像的中心位置。其中，圖3（a）、（b）、（c）的物距保持不變，都為10.6。對(duì)應(yīng)的平板厚度分別為11層、9層和5層。圖3表明，這些不同厚度聲子晶體平板內(nèi)部的像點(diǎn)位置基本不變，符合式（3）的描述；平板外部的像點(diǎn)隨著平板厚度的減少，離點(diǎn)聲源的距離隨之減少，符合式（4）描述。這說(shuō)明聲子晶體平板成像的‘宏觀’過(guò)程可以用負(fù)的等效折射率和反Snell定律加以描述。需要特別指出的是，圖3（c）中的平板的厚度幾乎減少到了在一定物距下平板內(nèi)部成像所需的最小厚度。圖3中（a）、（b）、（c）對(duì)應(yīng)的平板厚度分別為11層、9層和5層。

圖3 物距相同（u=10.6），平板厚度不同的負(fù)折射成像。Fig.3 Negative refractive imaging with the same object distance（u=10.6）

圖4 相同平板厚度（9層），不同物距下的負(fù)折射成像比較Fig.4 Negative refractive imaging with the same thickness

圖4（a）、（b）、（c）中，平板厚度不變（都為9層板），對(duì)應(yīng)的物距分別為 10.6，6.6 和 2.6。這表明，隨著物距的減小，聲子晶體平板內(nèi)部的匯聚像點(diǎn)離平板入射面的距離隨之減小，而平板外部的像點(diǎn)位置離平板出射面的距離則隨之增大，但整個(gè)物像的距離基本保持不變，符合式（4）描述，即厚度一定時(shí)，物象之間的平板位置可以任意放置（但物距要在一定范圍內(nèi)，以保證平板內(nèi)部有像點(diǎn)）。這一特性，可用平板折射只會(huì)平移出射波的位置，而不會(huì)改變聲波的出射方向的性質(zhì)來(lái)解釋。進(jìn)一步地，可以預(yù)見(jiàn)，一個(gè)厚平板的折射效果，可以用若干個(gè)薄平板的累積折射來(lái)等效，只要這些薄平板的厚度之和等于厚平板的厚度即可。圖4中的（a）、（b）、（c）對(duì)應(yīng)的物距分別為 10.6、6.6 和2.6。。

圖3、圖4說(shuō)明，聲子晶體單平板負(fù)折射成像可以用反Snell定律加以定量描述，可借用幾何光學(xué)透鏡成像的方法來(lái)分析。幾何光學(xué)中，共軸多球面系統(tǒng)里實(shí)物實(shí)像、虛物虛像的復(fù)雜成像過(guò)程，是否也可以推廣到聲子晶體組合平板成像?為此，本文繼續(xù)探討組合平板成像的情況。

3 組合平板成像

以聲子晶體雙平板組成的透鏡組為模型，討論多平板聲學(xué)透鏡的成像情況。平板的結(jié)構(gòu)和材料同前，聲子晶體雙板分別由7層板（以下稱A板）和8層板（以下稱B板）的鋼/空氣介質(zhì)柱組成。模擬點(diǎn)聲源經(jīng)A、B雙板后的成像情況。整個(gè)系統(tǒng)的物距為點(diǎn)聲源（物點(diǎn)）到A板的距離，像距為系統(tǒng)右邊像點(diǎn)到B板的距離。成像過(guò)程通過(guò)多重散射模擬，結(jié)果如圖5中的左圖所示。

圖5（a）中，由于系統(tǒng)的物距適當(dāng)，物點(diǎn)經(jīng)A板后，在A、B兩板之間成一實(shí)像；又因?yàn)锳、B板的間距適當(dāng)，A板所成的實(shí)像點(diǎn)成為B板的物點(diǎn)，經(jīng)B板再折射后，得到系統(tǒng)最后的實(shí)像。整個(gè)成像過(guò)程可以用圖5（b1）描述。其最后所成像的位置，也可多次利用式（3）、式（4），通過(guò)A、B板依次成像得到，類似于幾何光學(xué)中多球面共軸系統(tǒng)的成像過(guò)程。圖5（a1）的成像特點(diǎn)是：A、B板內(nèi)部都有像點(diǎn)，整個(gè)系統(tǒng)實(shí)物成實(shí)像。

圖5（a2）中，物距增大，A、B兩平板的間距減小，這時(shí)，物點(diǎn)聲波在入射A板左表面后，未來(lái)得及在A板內(nèi)部匯聚，就從A板右表面折射出來(lái)了，相當(dāng)于A板左表面實(shí)現(xiàn)了實(shí)物成實(shí)像，而右表面實(shí)現(xiàn)了虛物成虛像的過(guò)程；其后，聲波很快以發(fā)散狀進(jìn)入B板，A板右表面的虛像成為B板左表面的實(shí)物，在B板中折射波會(huì)聚成B板內(nèi)部的像點(diǎn)，再后，經(jīng)B板右表面折射形成最后的實(shí)像點(diǎn)，即B板左、右表面都實(shí)現(xiàn)了實(shí)物成實(shí)像的過(guò)程。整個(gè)成像過(guò)程也可以用圖5（b2）描述。同樣地，也可多次利用式（3）、式（4），通過(guò)A、B板依次成像得到。圖5（a2）的成像特點(diǎn)是：因系統(tǒng)物距過(guò)大，A板內(nèi)部沒(méi)有像點(diǎn)，但B板內(nèi)部有像點(diǎn)，整個(gè)系統(tǒng)實(shí)物成實(shí)像。

圖5 聲子晶體雙平板成像Fig.5 Phononic crystal twin slabs imaging

圖5（a3）的成像存在類似的依次成像的組合成像規(guī)律。圖5（a3）中，物距合適，A板內(nèi)部有實(shí)像點(diǎn)，但A、B板的間距很短，這使得B板太靠近A板，在A板的出射波成實(shí)像之前，聲波就碰到了B板。負(fù)折射平板界面總是使折射波的發(fā)散/會(huì)聚狀與入射波的會(huì)聚/發(fā)散狀態(tài)相對(duì)應(yīng)，因而提供了成實(shí)像的可能。這一點(diǎn)非常不同于正常折射的光學(xué)平板界面。正常折射的光學(xué)平板界面，折射波只是繼承入射波的聚散特征，而不會(huì)改變聚散特征。圖5（a3）中，當(dāng)聲波經(jīng)A板后，以會(huì)聚狀進(jìn)入B板時(shí)，在B內(nèi)聲波就呈發(fā)散狀，B板內(nèi)部沒(méi)有像點(diǎn)，但經(jīng)B板右表面出射后，又能會(huì)聚成實(shí)像。整個(gè)系統(tǒng)也實(shí)現(xiàn)了實(shí)物成實(shí)像的過(guò)程。圖5（a3）成像特點(diǎn)是：A板內(nèi)部有像點(diǎn)，B板內(nèi)部沒(méi)有像點(diǎn)，整個(gè)系統(tǒng)還是實(shí)物成像。

圖5（a4）中，A板由于物距過(guò)大，聲波在板內(nèi)會(huì)聚之前就遭遇右表面折射出射，A板整體呈實(shí)物成虛像的過(guò)程。A板的虛像成為B板的實(shí)物，但A、B兩平板間的距離過(guò)長(zhǎng)，B板成像時(shí)的物距仍然過(guò)大，B板成像類似于A板，也呈實(shí)物成虛像的過(guò)程。因此，圖5（a4）的成像特點(diǎn)是：因系統(tǒng)物距過(guò)大，A板、B板兩板單獨(dú)成像時(shí)的物距都過(guò)大，都是實(shí)物成虛像，兩平板內(nèi)部都沒(méi)有像點(diǎn)存在，雖然各個(gè)折射面都有明顯的負(fù)折射行為發(fā)生，但整個(gè)系統(tǒng)也沒(méi)有最后形成實(shí)像。

根據(jù)物像式（3）、式（4），按照成像的順序，對(duì)圖5中的各次成像的物距、像距進(jìn)行計(jì)算，得到系統(tǒng)最后的物距、像距的理論計(jì)算值，并與多重散射模擬成像圖中直接讀出的物像數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，結(jié)果見(jiàn)表1。表1表明：在引入等效折射率后，利用反Snell定律的近似理論計(jì)算值和多重散射成像圖中的直讀值基本一致。數(shù)據(jù)的些許差異與近軸近似和讀數(shù)誤差有關(guān)。

表1 理論計(jì)算值與成像直讀值比較Tab.1 Theoretical calculation and imaging direct-read value comparison

對(duì)圖5和表1的分析說(shuō)明，聲子晶體平板多板系統(tǒng)成像，符合依次成像的規(guī)律，可借用幾何光學(xué)多球面共軸系統(tǒng)中實(shí)（虛）物、實(shí)（虛）像的類似的復(fù)雜過(guò)程來(lái)進(jìn)行分析。每次折射從理論上都可以用反Snell定律進(jìn)行定量的描述。同時(shí)，由于平板透鏡系統(tǒng)的折射面是平面，入射波經(jīng)平板折射后，無(wú)論是正常折射還是負(fù)折射，出射波相對(duì)于入射波只是平移了位置，不改變方向。因此，圖5（a1）、（a2）、（a3）中，A、B 板相同，盡管A、B板在物象之間擺放的位置不一樣，但只要能成實(shí)像，總的物像距離保持不變（見(jiàn)表1）。這一結(jié)論在圖6中得到進(jìn)一步證實(shí)。

圖6顯示了15層厚的單板與等厚度的多個(gè)薄板組成的系統(tǒng)的成像情況。其中，圖6（a）為三個(gè)5層平板（即每板由5層介質(zhì)柱形成的平板）組合而成的透鏡系統(tǒng)的成像情況；圖6（b）為7層板和8層板兩個(gè)平板組合的成像情況；圖6（c）為單個(gè)15層板的成像情況。點(diǎn)聲源經(jīng)過(guò)這些平板數(shù)不同但總厚度相同的系統(tǒng)后，都能成像，而且物像間距相同。平板透鏡的這一性質(zhì)在調(diào)節(jié)物距、像距和擺放平板透鏡方面提供了更多的靈活性。在平板擺放受空間限制時(shí)，這一特點(diǎn)就顯出優(yōu)勢(shì)來(lái)。

圖6 等厚度的平板組合成像的比較Fig.6 Combination tablet imaging comparison with the same thickness

4 結(jié)論

本文以二維鋼圓柱/空氣三角排列聲子晶體為模型，分析了聲子晶體平板透鏡的成像特性。結(jié)果顯示，在特定頻率范圍內(nèi)，聲子晶體平板可以用作獨(dú)立的聲平板透鏡，利用負(fù)折射效應(yīng)成像；平板透鏡在引入等效負(fù)折射率后，其成像服從反Snell定律，可以解析表達(dá)；多平板組合系統(tǒng)成像服從依次成像規(guī)律，可借用幾何光學(xué)中的多球面共軸系統(tǒng)成像的方法、引入實(shí)（虛）物實(shí)（虛）像的概念來(lái)分析；無(wú)論正常折射還是負(fù)折射，雖然在平板內(nèi)部聲波都是折射的，但整體上看，入射平板的聲波和出射平板的聲波，方向相同，只是出射波的位置相對(duì)入射平板的位置有一個(gè)平移，且平移的距離與平板的厚度有關(guān)；正常折射因入射線和折射線分列法線兩側(cè)而不能成像，負(fù)折射因入射線和折射線列法線同側(cè)而能成像；在總厚度不變的情況下，單平板透鏡和多平板透鏡的最終成像效果相同，這一性質(zhì)雖然給多平板透鏡的擺放提供了一些方便，但多個(gè)平板亦須有適當(dāng)?shù)奈恢藐P(guān)系，才可取得等厚度單板成像相同的效果。多重散射看似無(wú)規(guī)的過(guò)程，在聲子晶體周期結(jié)構(gòu)的調(diào)制下，表現(xiàn)出了足夠的規(guī)律性來(lái)。聲子晶體負(fù)折射，實(shí)際上是特定的聲子晶體平板，對(duì)聲波進(jìn)行多重散射的特殊結(jié)果。在引入等效負(fù)折射率后，聲子晶體平板成像過(guò)程的描述，也變得簡(jiǎn)單和容易掌握。平板成像的其它性質(zhì)及影響因素有待進(jìn)一步的研究。

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