橡膠支座與柱串聯(lián)體系的動(dòng)力特性分析

杜永峰，林治丹，李 慧

（1.蘭州理工大學(xué) 防震減災(zāi)研究所，蘭州 730050；2.蘭州理工大學(xué) 西部土木工程防災(zāi)減災(zāi)教育部工程研究中心，蘭州 730050）

隔震建筑顯著的隔震減震效果已在地震中得到了充分驗(yàn)證，使隔震結(jié)構(gòu)在各國(guó)得到廣泛應(yīng)用［1］。目前，隔震技術(shù)的主要應(yīng)用為基礎(chǔ)隔震，即隔震層設(shè)在基礎(chǔ)頂面。串聯(lián)隔震體系是在基礎(chǔ)隔震體系的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的復(fù)雜結(jié)構(gòu)體系，隔震層設(shè)在地下室懸臂柱頂部，如圖1、圖2所示，其振動(dòng)特性同時(shí)受到隔震層以上的上部結(jié)構(gòu)及下部結(jié)構(gòu)的影響。Gent［2］最早基于Harings理論研究了疊層橡膠支座的力學(xué)性能。Ryan等［3-4］在雙自由度力學(xué)模型的基礎(chǔ)上提出了考慮軸向荷載的疊層橡膠支座非線性模型，分析了軸向荷載對(duì)于水平剛度的影響。Kelly［5-6］基于梁柱理論，分析了疊層橡膠支座的豎向剛度、水平剛度和拉伸屈曲。周錫元、韓淼等［7-8］在 Gent 和Kelly研究基礎(chǔ)上建立了柱串聯(lián)隔震系統(tǒng)的分析模型 ，推導(dǎo)出柱串聯(lián)隔震系統(tǒng)的水平剛度計(jì)算公式及臨界荷載求解公式。馬長(zhǎng)飛等［9］針對(duì)柱頂隔震體系，提出了考慮PΔ效應(yīng)動(dòng)力響應(yīng)的免迭代計(jì)算方法，分析了P-Δ效應(yīng)對(duì)柱頂隔震結(jié)構(gòu)的影響。然而，有關(guān)串聯(lián)隔震體系的動(dòng)力學(xué)性能的研究報(bào)道較為少見?？紤]轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、剪切變形以及軸向力對(duì)串聯(lián)隔震體系固有頻率的影響的研究更是少有。對(duì)于橡膠隔震支座與柱串聯(lián)的隔震體系而言，隔震體系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、剪切變形以及豎向軸力等將會(huì)改變體系的固有頻率。

圖1 串聯(lián)隔震結(jié)構(gòu)Fig.1 Serially isolated structure

本研究是在前人分析模型的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出串聯(lián)隔震體系自由振動(dòng)邊值問題的控制方程；其次，導(dǎo)出了頻率方程，并采用微分求積單元法［10-12］對(duì)方程及邊界條件進(jìn)行離散；最后，數(shù)值求解頻率方程，得到了相應(yīng)的固有頻率參數(shù)，并利用數(shù)值結(jié)果探討了軸向力作用下，串聯(lián)隔震體系動(dòng)力特性以及支座等效彎曲剛度等對(duì)固有頻率的影響。這些結(jié)果為深入研究串聯(lián)隔震體系的動(dòng)力行為提供了基礎(chǔ)。

圖2 串聯(lián)隔震體系分析模型Fig.2 Deformation pattern for serially connected isolation

1 串聯(lián)隔震體系的分析模型

考慮圖2所示串聯(lián)隔震體系總高度為H，上部為疊層橡膠隔震支座，將鋼板和橡膠片組成的疊層結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為等價(jià)的連續(xù)均勻柱，同時(shí)考慮彎曲變形和剪切變形的影響［13-15］，其 橫 截面為Ar、直徑為d、等效密度為ρr，修正彎曲彈性模量為Er、剪切模量Gr、橫截面慣性矩為Ir。下部為鋼筋混凝土柱，且在高度為h處剛性連接隔震支座，其橫截面為Ac、等效密度為ρc，彈性模量為Ec、剪切模量Gc、橫截面慣性矩為Ic，另一端y=0與基礎(chǔ)固結(jié)。

圖3 串聯(lián)隔震體系微元段的受力圖Fig.3 Differential element

考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切變形對(duì)體系的影響，串聯(lián)隔震體系變形可由軸線撓度w（y，t）和橫截面的轉(zhuǎn)角θ（y，t）兩個(gè)廣義位移來表示。微元段的變形示于圖3中，其中P為軸力，橫截面彎矩和剪力分別為M和Q，θ是彎矩引起的截面轉(zhuǎn)角，γ是剪力引起的剪切角，?w/?y為變形后軸線的切線與y軸的夾角，三者之間的關(guān)系：θ=?w/?y+γ。

2 控制方程和邊界條件

考慮彎曲變形時(shí)軸力P的二階效應(yīng)以及微元段的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)慣性效應(yīng)，可得串聯(lián)隔震體系的運(yùn)動(dòng)方程為：

本構(gòu)方程：

式中：κ為剪切形狀因子，與橫截面形狀和泊松比μ有關(guān)。

將式（2）代入式（1）中，可得到考慮軸力作用的串聯(lián)隔震體系動(dòng)力運(yùn)動(dòng)方程：

引入有限元的概念，把串聯(lián)隔震體系分為兩個(gè)單元，變量右上標(biāo)的表示第e個(gè)單元。其中，表示下部鋼筋混凝土柱單元表示上部疊層橡膠隔震支座單元。則，記w1（y，t）和θ1（y，t）分別為下部鋼筋混凝土柱的橫向位移和彎曲引起的橫截面轉(zhuǎn)角，而和θ2（y，t）分別為上部疊層橡膠支座的橫向位移和彎曲引起的橫截面轉(zhuǎn)角。考慮軸向力對(duì)串聯(lián)隔震體系橫向振動(dòng)的影響，則串聯(lián)隔震體系的運(yùn)動(dòng)控制方程為：

而兩端的邊界條件為：

鋼筋混凝土柱與隔震支座存在內(nèi)部邊界條件（協(xié)調(diào)條件），包括位移協(xié)調(diào)條件和內(nèi)力平衡條件：

3 特征方程及其微分求積格式

3.1 特征方程

3.2 無量綱化

3.3 微分求積格式

微分求積法（Different Quadrature Method）本質(zhì)上是把函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)的值近似用全域內(nèi)節(jié)點(diǎn)函數(shù)值的加權(quán)和來表示，并在全域內(nèi)運(yùn)用高階Lagrange多項(xiàng)式逼近域內(nèi)某一待求連續(xù)函數(shù)。對(duì)于本文研究的串聯(lián)隔震體系，分別在疊層橡膠支座和懸臂柱兩個(gè)單元分別運(yùn)用微分求積法，即微分求積單元法，在y方向各取n個(gè)節(jié)點(diǎn)，根據(jù)微分求積原理［16-17］，將式（10）在［0，1］區(qū)間內(nèi)進(jìn)行離散，其微分求積形式為：

邊界條件的微分求積形式為：

式中：Aij，Bij分別表示加權(quán)系數(shù)，分別由下式確定：

當(dāng)r=2，3，...，n-1 時(shí)，有：

對(duì)式（12）采用非均勻的Chebyshev-Gauss-Lobatto節(jié)點(diǎn)布置，節(jié)點(diǎn)分布形式為：

采用替換法處理邊界條件，聯(lián)立式（12）和式（13）可以得到4n個(gè)方程，通過變形可以寫成矩陣形式：

式中：［Kee］，［Kei］，［Kie］，［Kii］分別是階數(shù)為（8 ×8），（8×（4n-8）），（（4n-8）×8），（（4n-8）×（4n-8））的矩陣；{Xe}，{Xi}分別為8維和（4n-8）維列向量，且：

式（17）可以變形得到：

式（18）即為體系固有頻率的特征方程。

4 數(shù)值分析與討論

考查實(shí)際工程中由混凝土強(qiáng)度等級(jí)為C30、彈性模量E=3.0e10 Pa、剪切形狀因子κ=0.845、截面尺寸為1 050 mm×1 050 mm的地下室懸臂柱和橡膠隔震支座組成的總高為3 m的串聯(lián)隔震體系。隔震支座剪切形狀因子κ=0.899，其它參數(shù)見表1。

表1 橡膠隔震支座參數(shù)Tab.1 Parameters of rubber bearings

數(shù)值計(jì)算中，取每段的節(jié)點(diǎn)數(shù)為19，應(yīng)用微分求積單元法求得串聯(lián)隔震體系在豎向荷載作用時(shí)的前五階固有頻率，列于表2中。

表2 10 MPa豎向荷載作用下前五階無量綱頻率參數(shù)Tab.2 Frequency under 10 MPa vertical load

圖4給出了GZP500支座的第一階和第五階無量綱頻率隨著無量綱豎向荷載p的變化曲線。從圖中可以看出，隨著荷載的增加，串聯(lián)隔震體系的第一階、第五階固有頻率逐漸降低，當(dāng)豎向荷載接近體系的臨界荷載時(shí)，第一階固有頻率趨于零，串聯(lián)隔震體系發(fā)散失穩(wěn)。而第五階頻率隨著荷載p的增加而緩慢減小。

圖4 GZP500支座第一階頻率和第五階頻率Fig.4 1stand 5thfrequency-vertical load curve

圖5給出了各支座串聯(lián)隔震體系自由振動(dòng)基頻隨荷載p的變化曲線。從圖5中可以看出，串聯(lián)隔震體系的基頻隨著荷載p的增大而單調(diào)減少，當(dāng)豎向荷載接近體系的臨界荷載時(shí)，第一頻率趨于零，此時(shí)GZP600、700、800支座的無量綱臨界荷載分別為 0.056 9、0.068 4、0.077 9。在頻率平穩(wěn)下降段，第一頻率隨著隔震支座型號(hào)的增大而降低。圖中還反映出隨著隔震支座型號(hào)的增大，各臨界荷載隨之增大。同時(shí)，在各基頻顯著下降段處，有明顯的交叉現(xiàn)象，各串聯(lián)隔震體系基頻之間的大小關(guān)系出現(xiàn)紊亂，而表2僅是頻率平穩(wěn)下降段的一個(gè)局部表現(xiàn)，因此圖5結(jié)果與表2的結(jié)果是相符的。

進(jìn)一步分析不同支座對(duì)于串聯(lián)隔震體系第一階頻率的影響。由文獻(xiàn)［1］可知，影響疊層橡膠隔震支座的參數(shù)較多，文中僅以疊層橡膠支座等效彎曲剛度EI為宏觀參數(shù)來分析不同支座型號(hào)對(duì)于串聯(lián)隔震體系基頻的影響。從圖6中可以看出，除p=28 MPa外，在某一定值豎向荷載作用下，串聯(lián)隔震體系的基頻隨著支座等效剛度的增加而減少。當(dāng)豎向荷載為p=28 MPa時(shí)曲線出現(xiàn)突變，說明在該荷載作用下GZP500、600支座已經(jīng)進(jìn)入基頻下降段，而GZP800支座仍處于平穩(wěn)下降段，因此GZP500支座的串聯(lián)隔震體系的基頻在此情況下出現(xiàn)突變，而GZP800支座的串聯(lián)隔震體系變化較小，這與圖5的結(jié)果相符。

將支座截面慣性矩從等效彎曲剛度中單獨(dú)提取出來。圖7給出了不同支座慣性矩對(duì)串聯(lián)隔震體系頻率的影響，其變化趨勢(shì)與等效剛度類似。

圖5 串聯(lián)隔震體系頻率與荷載變化曲線Fig.5 Frequency of serially isolated system-vertical load curve

圖6 串聯(lián)隔震體系頻率與支座等效彎曲剛度變化曲線Fig.6 Frequency of serially isolated system-equivalent stiffness curve

圖7 串聯(lián)隔震體系頻率與慣性矩變化曲線Fig.7 Frequency of serially isolated system-moment of inertia curve

5 結(jié)論

本文在前人的研究成果之上確立了串聯(lián)隔震體系動(dòng)力分析模型，采用微元段的方法建立了該體系的運(yùn)動(dòng)方程，導(dǎo)出了串聯(lián)隔震體系的控制方程和邊界條件，并應(yīng)用微分求積單元法這一較成熟的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行數(shù)值求解。研究了在豎向荷載作用下串聯(lián)隔震體系的振動(dòng)問題。數(shù)值結(jié)果表明：隨著豎向荷載的增加，串聯(lián)隔震體系的固有頻率逐漸降低；當(dāng)豎向荷載接近體系的臨界荷載時(shí)，固有頻率趨于零；在頻率平穩(wěn)下降段，某一豎向荷載作用下，串聯(lián)隔震體系的固有頻率隨著疊層橡膠支座型號(hào)的增大而降低，支座等效彎曲剛度對(duì)于體系的固有頻率也具有同樣的影響。

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