萬有引力場(chǎng)與庫侖場(chǎng)形式上相似性的研究

吳萬進(jìn)

(江蘇省姜堰中學(xué) 江蘇 姜堰 225500)

盡管萬有引力與庫侖力性質(zhì)有很大區(qū)別，但質(zhì)點(diǎn)間的萬有引力和點(diǎn)電荷間的庫侖力都遵循平方反比規(guī)律，萬有引力與兩質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量的乘積成正比，庫侖力與兩點(diǎn)電荷的電荷量的乘積成正比，因此，在形式上具有一定的相似性，電荷的電量在庫侖定律中的地位與引力質(zhì)量在萬有引力定律中的地位相當(dāng).另一方面，由于空間各向同性，使得萬有引力和庫侖力的方向沿兩質(zhì)點(diǎn)或靜止點(diǎn)電荷的連線方向，具有球?qū)ΨQ性.本文將從力、場(chǎng)和勢(shì)三個(gè)方面對(duì)比這兩種場(chǎng)的相似性.

1 萬有引力和庫侖力

設(shè)均勻薄球殼的半徑為R，質(zhì)量為M，質(zhì)點(diǎn)(m)

圖1

到球心的距離為r.一平面垂直于球心與質(zhì)點(diǎn)的連線，截球殼與球心形成的圓錐頂角為θ.另一平面截球殼，圓錐頂角為θ+dθ，如圖1.兩平面截球殼得一“環(huán)帶”，“環(huán)帶”面積可表示成2πRsinθRdθ，若球殼的面密度為σ，則“環(huán)帶”質(zhì)量為2πσR2sinθdθ.由對(duì)稱性可知，“環(huán)帶”對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力沿球心與質(zhì)點(diǎn)連線，

其中

所以

令ξ=2rr-Rcosθ，則

(1)

1.1 均勻薄球殼對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力與均勻帶電薄球殼對(duì)點(diǎn)電荷的庫侖力

(1)若r>R，即質(zhì)點(diǎn)位于薄球殼外部，則由式(1)，有

(2)

也就是說，均勻(帶電)薄球殼對(duì)球殼外質(zhì)點(diǎn)(點(diǎn)電荷)的萬有引力(庫侖力)相當(dāng)于質(zhì)量(電荷量)集中在球心的質(zhì)點(diǎn)(點(diǎn)電荷)對(duì)殼外質(zhì)點(diǎn)(點(diǎn)電荷)的作用力.

(2)若r

(3)

即均勻薄球殼對(duì)其空腔內(nèi)部位于任意位置的質(zhì)點(diǎn)的萬有引力為零.

同理，均勻帶電薄球殼對(duì)球殼內(nèi)任意位置的點(diǎn)電荷的庫侖力也為零.

1.2 質(zhì)量均勻分布(或球?qū)ΨQ分布)的球體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力與電荷均勻分布(或球?qū)ΨQ分布)的帶電球體對(duì)點(diǎn)電荷的庫侖力

(4)

同理，均勻帶電球體(電荷量為Q0)對(duì)球外點(diǎn)電荷(電荷量為q)的庫侖力為

(5)

圖2

(6)

那么，相應(yīng)地，電荷均勻分布的帶電球?qū)η騼?nèi)點(diǎn)電荷的庫侖力

(7)

當(dāng)r

表1 萬有引力與庫侖力對(duì)比

可見，質(zhì)量(電荷量)均勻分布的球體對(duì)球內(nèi)距球心r(r

可以證明，上述結(jié)論[式(4)～(7)]對(duì)質(zhì)量(電荷量)球?qū)ΨQ分布的球體(帶電球體)也適用.

2 引力場(chǎng)和庫侖場(chǎng)

2.1 引力場(chǎng)和庫侖場(chǎng)

質(zhì)點(diǎn)以及質(zhì)量均勻(或球?qū)ΨQ)分布的薄球殼或球體的萬有引力場(chǎng)和點(diǎn)電荷以及電荷均勻(或球?qū)ΨQ)分布的薄球殼或球體電場(chǎng)的方向都是沿均勻(帶電)薄球殼或球體的徑向，具有球?qū)ΨQ性.引力場(chǎng)的方向沿徑向向里，電場(chǎng)的方向沿徑向向里(帶負(fù)電)或向外(帶正電).

表2 萬有引力場(chǎng)與庫侖場(chǎng)分布對(duì)比

由表2可見，均勻薄球殼的引力場(chǎng)與均勻帶電的薄球殼的電場(chǎng)和均勻(或球?qū)ΨQ)球體的引力場(chǎng)與均勻(或球?qū)ΨQ)帶電球體的電場(chǎng)都是相似的.

2.2 高斯定理和環(huán)路定理

類似地，引入“引力場(chǎng)線”和“引力場(chǎng)通量”，也有萬有引力的“高斯定理”

取閉合曲面的外法向?yàn)檎?

對(duì)任一環(huán)路，靜電場(chǎng)有環(huán)路定理

引力場(chǎng)也有“環(huán)路定理”

以上比較表明,靜電場(chǎng)和引力場(chǎng)都是有源無旋場(chǎng).

3 引力勢(shì)和電勢(shì)

通常我們?nèi)o窮遠(yuǎn)處為引力勢(shì)和電勢(shì)的零點(diǎn).那么，引力場(chǎng)(電場(chǎng))中某點(diǎn)的引力勢(shì)(電勢(shì))等于將單位質(zhì)量(電荷量)的質(zhì)點(diǎn)(正點(diǎn)電荷)從該點(diǎn)移送到無窮遠(yuǎn)處，引力(靜電力)所做的功

3.1 均勻薄球殼的引力勢(shì)和均勻帶電薄球殼的電勢(shì)

(1)均勻(帶電)薄球殼或球體的外部(r>R)的引力場(chǎng)(電場(chǎng))相當(dāng)于相同質(zhì)量(電荷量)位于球心處的質(zhì)點(diǎn)(點(diǎn)電荷)的引力場(chǎng)(電場(chǎng)).

均勻薄球殼外部(r>R)的引力勢(shì)

均勻帶電薄球殼外部(r>R)的電勢(shì)

(2)對(duì)于均勻(帶電)薄球殼，因?yàn)榍驓?nèi)部的場(chǎng)強(qiáng)為零，所以,從內(nèi)部移送到球殼表面，引力場(chǎng)(電場(chǎng))不做功，引力勢(shì)(電勢(shì))就等于球殼表面的引力勢(shì)(電勢(shì)).

均勻薄球殼內(nèi)部和表面(r≤R)的引力勢(shì)

均勻帶電薄球殼內(nèi)部和表面(r≤R)的電勢(shì)

3.2 均勻球體的引力勢(shì)和均勻帶電球體的電勢(shì)

(1)均勻球體外部r>R的引力勢(shì)

均勻帶電球體外部r>R的電勢(shì)

(2)均勻或球?qū)ΨQ(帶電)球體內(nèi)部(r≤R)的引力勢(shì)(電勢(shì))應(yīng)考慮兩個(gè)部分,即將單位引力質(zhì)量(電荷量)的質(zhì)點(diǎn)(正點(diǎn)電荷)從球體內(nèi)部移送到球體表面萬有引力(庫侖力)的功和從球體表面移送到無窮遠(yuǎn)處萬有引力(庫侖力)的功.

因此，均勻或球?qū)ΨQ球體內(nèi)部的引力勢(shì)

同理，均勻帶電球體產(chǎn)生靜電場(chǎng)的電勢(shì)

均勻薄球殼與均勻帶電薄球殼和均勻球體與均勻帶電球體的引力勢(shì)與電勢(shì)的比較如表3.

表3 引力勢(shì)與電勢(shì)的比較

顯然，均勻薄球殼與均勻帶電薄球殼的引力勢(shì)和電勢(shì)，均勻球體與均勻帶電球體的引力勢(shì)和電勢(shì)形式上都是非常相似的.

通過上面的比較，我們知道，萬有引力與庫侖力、萬有引力場(chǎng)與庫侖場(chǎng)、引力勢(shì)與電勢(shì)在形式上都具有很好的相似性.但是，萬有引力與庫侖力在本質(zhì)上是不同的，前者是引力相互作用，而后者則屬于電磁相互作用.此外，由于引力質(zhì)量和電荷量也有重要區(qū)別(例如,質(zhì)點(diǎn)間的作用只有吸引，而電荷間的作用有吸引，也有排斥)，使得萬有引力與電場(chǎng)力也存在一些方面的差異，這里不再贅述.

參考文獻(xiàn)

1 趙凱華,羅蔚茵.新概念物理教程(力學(xué)).北京：高等教育出版社，2004.338～345

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