探究單擺加速度與擺角的關(guān)系

劉權(quán)

(蘇州市陸慕高級(jí)中學(xué) 江蘇 蘇州 215131)

1 建立單擺模型

如圖1(a)所示，小球質(zhì)量為m，繩長(zhǎng)為L(zhǎng)，單擺的擺角為α，將小球在A位置靜止釋放.

圖1

2 理論推導(dǎo)

設(shè)某時(shí)刻單擺的位置如圖1(b)，此時(shí)單擺的偏角為θ，小球的速度為v，小球的加速度為a，則有

(1)

(2)

(3)

聯(lián)立(1)、(2)、(3)三式，得

a2=4g2(cosθ-cosα)2+g2sin2θ

將上面表達(dá)式做無(wú)量綱處理，得

(4)

3 繪圖

結(jié)果如圖2所示.

圖2

結(jié)論：從以上三種情況看，單擺加速度大小變化與擺角α有關(guān)．選取單擺從最低點(diǎn)θ=0到最高點(diǎn)θ=α的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，將單擺加速度大小變化分為三類.

類型一：?jiǎn)螖[加速度大小不斷增加 (擺角α=30°時(shí)情況)；

類型二：?jiǎn)螖[加速度大小先減小后增大(擺角α=60°的情況)；

類型三：?jiǎn)螖[加速度大小不斷減小 (擺角α=90°的情況).

4 定量分析

對(duì)表達(dá)式(4)進(jìn)行處理，得

(5)

(1)當(dāng)α=90°時(shí)， 單擺的偏角θ從零增加到α?xí)r，根據(jù)表達(dá)式(5)可以看出單擺加速度大小變化屬于類型三(單擺加速度不斷減小).

5 圖像分析

根據(jù)上述定量分析知道：α=41.41°是臨界角.

圖3

圖4是對(duì)圖3在0°≤θ≤4.2°范圍內(nèi)的圖像做了放大處理.

圖4

圖5

圖6是對(duì)圖5在0°≤θ≤10°范圍內(nèi)的圖像做了放大處理.

圖6

從圖5和圖6中發(fā)現(xiàn)單擺的加速度在0°≤θ≤41.4°的范圍內(nèi)的確是不斷增加的.

6 最值討論

(1)當(dāng)α=90°時(shí)，單擺在最低點(diǎn)(θ=0°)加速度最大，在最高點(diǎn)(θ=α)加速度最小.

(2)當(dāng)0<α≤41.41°時(shí)，單擺在最低點(diǎn)加速度最小，在最高點(diǎn)時(shí)加速度最大.

(3)當(dāng)41.41°<α<90°時(shí)，討論單擺加速度的最值情況.

2)單擺加速度最大值要么在最低點(diǎn)θ=0°，要么在最高點(diǎn)θ=α.

根據(jù)表達(dá)式(5)，設(shè)單擺在最低點(diǎn)和最高點(diǎn)加速度相等，

根據(jù)表達(dá)式(5)得知：

當(dāng)41.41°<α<53.13°時(shí)，單擺在最高點(diǎn)加速度最大.

當(dāng)53.13°<α<90°時(shí)，單擺在最低點(diǎn)加速度最大.