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    淺談平面振子的阻尼運(yùn)動(dòng)

    2012-01-23 02:18:26陶寅瑩
    物理通報(bào) 2012年7期
    關(guān)鍵詞:徑向速度內(nèi)切圓振子

    肖 筱 陶寅瑩 李 慶

    (電子科技大學(xué)英才實(shí)驗(yàn)學(xué)院 四川 成都 611731)

    滕保華

    (電子科技大學(xué)物理電子學(xué)院 四川 成都 610054)

    大學(xué)物理中對(duì)通常的阻尼振動(dòng)和平面振子已經(jīng)有了很多研究[1~4],但阻尼振動(dòng)的研究主要是基于一維運(yùn)動(dòng),而平面振子的研究則是基于無阻尼的運(yùn)動(dòng).本文將研究阻尼情況下的平面振子運(yùn)動(dòng),并討論阻尼系數(shù)對(duì)其運(yùn)動(dòng)軌跡的影響.

    圖1 平面振子示意圖

    設(shè)振子系統(tǒng)的一端固定在水平面上O點(diǎn),另一端系一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn), 彈簧的勁度系數(shù)和原長(zhǎng)分別為κ和l.若質(zhì)點(diǎn)受一阻力f=-αv(α為阻尼系數(shù)),則在極坐標(biāo)下,振子的運(yùn)動(dòng)方程可以寫成

    (1)

    (2)

    由(2)式直接得到振子系統(tǒng)的角動(dòng)量為

    (3)

    這里J0是振子的初始角動(dòng)量.顯然,在有阻尼情況下振子系統(tǒng)的角動(dòng)量是隨時(shí)間t指數(shù)衰減的.于是任意時(shí)刻振子的位置可由下述微分方程和積分方程確定

    (4)

    (5)

    利用Mathcad[5]數(shù)值計(jì)算可以得到在一定參數(shù)和初始條件下平面振子阻尼運(yùn)動(dòng)的軌跡,如圖2所示.圖中初始條件設(shè)置為:振子初始伸長(zhǎng)量為1 m,初速度大小為2.45 m/s,其方向與極軸OA夾角為42.8°.可以看出,阻尼系數(shù)α為零時(shí)振子運(yùn)動(dòng)軌跡呈規(guī)則的花瓣?duì)?,并且位于一個(gè)內(nèi)切圓和一個(gè)外接圓之間[4].而阻尼系數(shù)α不為零時(shí),振子的運(yùn)動(dòng)軌跡與上明顯不同,即阻尼系數(shù)α的大小敏感地影響振子運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)短和形狀.隨著阻尼系數(shù)α的增大,一方面阻尼因素將導(dǎo)致平面振子的運(yùn)動(dòng)軌跡快速變短;另一方面阻尼還將使其運(yùn)動(dòng)軌跡的形狀明顯偏離花瓣?duì)睿⒃谝欢ㄇ闆r下有阻尼的平面振子運(yùn)動(dòng)軌跡會(huì)部分落入到無阻尼振子運(yùn)動(dòng)軌跡的內(nèi)切圓中.

    圖2 無阻尼和有阻尼時(shí)的平面振子軌跡,這里參數(shù)分別為:m=1,α=0.2,κ=2,l=2,J0=5(均為國際單位)

    為了說明阻尼系數(shù)α不為零時(shí)平面振子運(yùn)動(dòng)軌跡部分落入內(nèi)切圓中的軌跡特點(diǎn),可以分析平面振子的徑向速度和橫向速度.在極坐標(biāo)下振子的徑向速度和橫向速度分別由下式?jīng)Q定

    利用Mathcad數(shù)值計(jì)算,可以得到與圖2相同的參數(shù)下有阻尼和無阻尼時(shí)振子徑向速度vi(t)和橫向速度vj(t),分別如圖3(a)和3(b)所示.

    圖3

    可以看出,無阻尼時(shí)振子的徑向速度隨時(shí)間簡(jiǎn)諧變化,但橫向速度是平移到坐標(biāo)軸上方某正數(shù)附近非簡(jiǎn)諧的周期變化.阻尼系數(shù)α不為零時(shí),振子的徑向速度和橫向速度都是隨時(shí)間衰減的,并且徑向速度與一維阻尼振子的速度衰減趨勢(shì)完全相似,但是此時(shí)橫向速度卻是從坐標(biāo)軸上方某正數(shù)附近一直振蕩衰減到零.也就是說,此時(shí)振子橫向速度的衰減變化趨勢(shì)與無阻尼時(shí)振子橫向速度的變化趨勢(shì)大相徑庭.由此可以發(fā)現(xiàn),阻尼系數(shù)α不為零時(shí)平面振子軌跡之所以部分落入無阻尼時(shí)的內(nèi)切圓內(nèi),是因?yàn)槠錂M向速度相比無阻尼時(shí)不協(xié)調(diào)地衰減,導(dǎo)致平面振子所需的向心力相比無阻尼時(shí)相應(yīng)減小,在彈力的作用下,最終使得平面振子在運(yùn)動(dòng)過程中部分落入無阻尼時(shí)的內(nèi)切圓內(nèi).

    綜上所述,本文通過建立平面振子在有阻尼情況下的動(dòng)力學(xué)方程,利用Mathcad數(shù)值求解了一定條件下平面振子的運(yùn)動(dòng)軌跡,并分析了阻尼因素對(duì)其運(yùn)動(dòng)軌跡的影響.同時(shí)指出,有阻尼時(shí)平面振子橫向速度的迅速衰減特征是導(dǎo)致有阻尼時(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡部分落入無阻尼時(shí)軌跡內(nèi)切圓的主要原因.

    參考文獻(xiàn)

    1 周衍柏.理論力學(xué)教程.北京:高等教育出版社,1979.69

    2 (美)H·戈德斯坦著.湯家鏞,陳為恂譯.經(jīng)典力學(xué).北京:科學(xué)出版社,1981.71~87

    3 趙凱華.新概念物理教程·力學(xué).北京:高等教育出版社,2004.329

    4 Scheck F. Mechanics: From Newton′s Laws to Deterministic Chaos (Berlin: Springer) 2004.47~49

    5 鄭桂水.Mathcad2000實(shí)用教程.北京:國防工業(yè)出版社,2000.172~176

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