ARCH模型族在深圳成指中的應(yīng)用

丁揚愷

(浙江師范大學(xué)數(shù)理信息學(xué)院，浙江 金華，321004)

隨著金融市場的急劇發(fā)展，大量的理論和實證研究發(fā)現(xiàn)了金融資產(chǎn)的收益率和波動率的一些特征，這些金融資產(chǎn)的波動率在期權(quán)定價以及金融風(fēng)險管理等領(lǐng)域有著重要的作用。然而，我們在研究金融市場時卻發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)時間序列的誤差項序列線性無關(guān)，這就使得經(jīng)典的最小二乘法失效。1982年Engle提出了自回歸條件異方差模型[1?2]，1986年Bollerslev提出了廣義 ARCH模型[3]，他們均很好地模擬了這種波動性?？紤]到金融資產(chǎn)中收益率與風(fēng)險成正比，即風(fēng)險越大，收益率就越高，人們在GARCH模型的基礎(chǔ)上，引進了GARCH-M模型[4]。為了貼近現(xiàn)實，人們還提出了EGARCH模型[5]，因為金融資產(chǎn)的價格下跌比相同幅度的價格上漲對資產(chǎn)價格波動的沖擊更大，人們通常認為負的沖擊比正的沖擊對收益率的波動影響更大[6?7]。此外，CARCH模型[8]可以很好地模擬條件方差的均值。如今ARCH模型族已成為衡量金融市場波動性的強有力工具。

一 、金融時間序列模型概述

1.ARCH模型

ARCH模型的主要思想是：擾動項μt的條件方差依賴于它的前期值μt?1的大小。假設(shè)預(yù)測誤差 yt為實隨機變量，隨機誤差項的條件方差與其誤差項滯后的平方有關(guān)，則一個ARCH(p)過程如下：

若檢驗?zāi)Ｐ凸烙嫿Y(jié)果所得的殘差序列的條件方差存在上面的形式，則表明其具有ARCH效應(yīng)。

2.GARCH模型

GARCH模型在誤差項的條件方差中加上了誤差項條件方差的滯后項，從而可以體現(xiàn)更為靈活的滯后結(jié)構(gòu)。GARCH(p,q)的方差方程定義為：

GARCH 模型的優(yōu)點在于它考慮到了金融事件序列的波動集群性，并且可以有效地排除資產(chǎn)收益率中的過度峰值(Excess kurtosis)。為了準確表示金融中高風(fēng)險高回報，將金融資產(chǎn)收益率的條件方差引入到GARCH模型的均值方程中，得到GARCH-M模型：

條件方差 σt代表了期望風(fēng)險的大小。所以GARCH-M模型適合描述一些期望回報與期望風(fēng)險密切相關(guān)的金融資產(chǎn)。

3.EGARCH模型

EGARCH模型被稱為指數(shù)GARCH模型。為了簡單說明，考慮EGARCH(1,1)模型，其將條件方差設(shè)定為如下形式：

上式即使參數(shù)估計是負數(shù)，條件方差2ts仍然是正數(shù)。如果參數(shù)γ<0，則表明存在杠桿效應(yīng)；如果參數(shù)γ=0，則表明不存在非對稱效應(yīng)。

二、實證分析

本文選取深證成指(399001)日收盤價作為研究對象，數(shù)據(jù)截取時間自1991年11月4日到2011年5月16日，總共4760個數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來源于中信金通證券有限責(zé)任公司。

為了減少估計時的舍入誤差，我們?nèi)∩钭C成指日收盤價的自然對數(shù)序列，建立隨機游走模型，用Eviews6.0得如下模型估計結(jié)果：

即：

其中R2=0.998805。圖1給出了深證成指日收盤價的自然對數(shù)收益率時序。

從圖1中可以看到，回歸方程的殘差表現(xiàn)出波動“聚集性”，即大的波動后面常常伴隨著較大的波動，較小的波動后面的波動也較小，殘差序列的這種特性表明其可能存在條件異方差性，即ARCH效應(yīng)。接下來我們采用 ARCH-LM 檢驗該隨機游走模型殘差的ARCH效應(yīng)。

圖2中F統(tǒng)計量=41.10343，其概率值P非常小，表明檢驗輔助回歸方程中的所有滯后殘差平方項是聯(lián)合顯著的；ARCH效應(yīng)的檢驗統(tǒng)計量是 Obs*R-squared，其值等于 703.2013，相應(yīng)的概率值P非常小，即可認為殘差序列存在條件異方差。下面用GARCH-M模型、EARCH模型分別來刻畫這種特性。

圖1 深證成指日收盤價的自然對數(shù)收益率時序

圖2 深證成指日收盤價(ARCH-LM檢驗)

首先根據(jù)收益率 r的分布直方圖3，深圳成指收益率序列具有尖峰(Kurtosis=9.32443>3)，非對稱性(Skewness=0.197>0)，以及零均值(對均值為零做假設(shè)檢驗)等特征，這些特征對一般金融資產(chǎn)收益率也是普遍存在的。由于深圳成指收益率表現(xiàn)出“尖峰厚尾”，即比正態(tài)分布具有更厚的“尾巴”，所以對μt用 GED分布(廣義誤差分布)能夠比正態(tài)分布假設(shè)更好地描述收益率序列的這種厚尾特征。假設(shè)投資者應(yīng)該為承擔(dān)額外的風(fēng)險而獲得更高的收益，我們將深圳成指收益率的條件方差引入到GARCH模型的均值方程中，得到GARCH-M(1，1)的估計結(jié)果，見表(1)。

估計出的方程的所有系數(shù)都很顯著，并且ARCH及GARCH項之和接近于1，即收益的波動沖擊影響會持續(xù)很長一段時間才會逐漸衰減；其次均值方程中的σt的系數(shù)δ為0.112480，表明市場中的預(yù)期風(fēng)險增加一個單位，就會導(dǎo)致收益率也相應(yīng)地增加0.112480個百分點。同時還可以畫出GARCH-M模型的條件方差(見圖4)。從圖4中看到從700～1400時間段(即1994年7月28日至1997年6月23日)條件方差較大，從而表明深圳成指在這段時間內(nèi)存在較大波動；從1401～4000(即1997年6月21日至2008年3月28日)條件方差波動較小。

圖3 深證成指日收盤價分布直方圖

盡管GARCH-M模型能夠很好地解釋深圳成指收益率序列的波動“聚集性”，但它不能解釋深圳成指收益率序列存在的“杠桿效應(yīng)”，即利空消息(收益率的下跌)是否比同樣程度的利好消息(收益率的上漲)產(chǎn)生更大的波動。因此需利用ARCH模型族中的EGARCH模型來合理檢驗深圳成指收益率的“杠桿效應(yīng)”，見表2。

圖4 深證成指日收盤價的條件方差

由表(2)可以看出，α的估計值為0.270791，非對稱項 γ的估計值為?0.018678，兩者的統(tǒng)計量都很顯著。當μt?1>0(利好消息)時，該信息沖擊對條件方差的對數(shù)有一個0.270791+(?0.018678)=0.2521倍的沖擊；而當μt?1<0(利空消息)時，它給條件方差的對數(shù)帶來的沖擊為0.270791+(?0.018678)*(?1)= 0.2895倍。

表1

表2

為了清晰地表明利好消息與利空消息沖擊的影響，我們根據(jù) EGARCH模型的結(jié)果，繪制出相應(yīng)的信息影響曲線，見圖5。從圖5中可以看到，這條曲線在信息沖擊小于 0時(代表利空消息)比信息沖擊大于 0(代表利好消息)稍微陡峭點。這就說明了利空消息的沖擊使得波動性的變化更加大一些。

圖5 深證成指日收盤價的信息沖擊曲線

三、結(jié)語

以深圳成指1991年11月4日至2011年5月16日收盤價為樣本，對ARCH效應(yīng)、波動聚集性、杠桿效應(yīng)分別進行合理的模型分析中可以得出以下結(jié)論。

首先，深圳成指價格波動非常大，呈現(xiàn)非正態(tài)分布，具有非對稱性及波動集簇性；其次深圳成指具有明顯的ARCH效應(yīng)，用GARCH-M模型估計可知當市場中的預(yù)期風(fēng)險增加一個單位，就會導(dǎo)致收益率也相應(yīng)地增加 0.112480個百分點，收益的波動沖擊影響會持續(xù)很長一段時間之后才會逐漸衰減。再次，通過 EGARCH模型分析可知利空消息的沖擊使得波動性的變化更加大一些，這也為之后更好地運用VAR等工具進行期貨市場的風(fēng)險管理奠定了較好的基礎(chǔ)。最后我們發(fā)現(xiàn)，GARCH-M 模型的對數(shù)似然值為11621.67，AIC為?4.8819，SC為?4.8751；而EGARCH模型的對數(shù)似然值為11802.98，AIC為?4.9581，SC為?4.9513。故實際中投資者應(yīng)選取EGARCH模型對深圳成指的預(yù)測較為理想。

[1]Engle,Robert.Autoregressive conditional heteroskedasticity with estimates of the variance of U.K [J].Econometrica,1982(50): 987?1008.

[2]Engle,RUSSELL J.Autoregressive conditional duration: a new model for irregular spaced transaction data [J].Econometrica,1998(66):1127?1162.

[3]Bollerslev,Tim.Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity [J].Journal of Economics,1986(31):307?327.

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[5]鄧堯天,杜子平.EGARCH 模型在同業(yè)拆借利率預(yù)測中的應(yīng)用[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報,2007,25(2):234?237.

[6]楊妍妍,岳宏遠.我國中小企業(yè)板非對稱性的實證研究[J].時代金融,2008(4): 51?53.

[7]吳毅芳,彭丹.我國股票市場價格波動的非對稱性及其國際比較[J].中南大學(xué)學(xué)報(社會科學(xué)版),2007,13(5): 568?572.

[8]EVDOKIA X,STAVROS D.ARCH Models for Financial Applications [M].Athens University of Economics and Business,Greece,2010:19?55.