廣義k集元第二類Stirling數(shù)若干結(jié)論

黃榮輝

（1.華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州510631；2.順德碧江中學(xué)，廣東 廣州528311）

1 引 言

對(duì)于一般的或廣義的第二類Stirling數(shù)的研究已有大量的文獻(xiàn)，得出了一系列的結(jié)論［1－6］.而本文將第二類Stirling數(shù)的部分條件改變，即改變其集合個(gè)數(shù)，因此而給出了新定義的廣義多元集第二類Stirling數(shù)，并得出相關(guān)結(jié)論，其結(jié)論在現(xiàn)實(shí)生活中也有著一定的運(yùn)用.先給出以下有關(guān)定義及相關(guān)引理.

定義1［1］從n個(gè)不同事物中每次取出m 個(gè)的組合數(shù)，記作C（n，m）.

定義2 把含有n個(gè)元素的一個(gè)集合分成恰好有r個(gè)非空子集合的分拆數(shù)目就叫做第二類Stirling數(shù)，并記作S2（n，r），對(duì)于n＝r＝0，定義S2（0，0）＝1及n＜r時(shí)，S2（n，r）＝0.

定義3 把分別含有n和m個(gè)元素的集合A和集合B共同分成恰好有r個(gè)非空子集合，且每個(gè)子集必須同時(shí)含有集合A和集合B的元素的分拆數(shù)目就叫做廣義二集元第二類Stirling數(shù)，并記作S2（｛n，m｝，r），定義S2（｛0，0｝，0）＝1及n＜r或m ＜r時(shí)，S2（｛n，m｝，r）＝0.這里規(guī)定集合A和集合B 沒有公共元素.

定義4 設(shè)集合Ai（i＝1，L，k）分別含有Ji（i＝1，L，k）個(gè)元素，將集合A＝UAi（i＝1，L，k）分成恰好有r個(gè)非空子集合，且每個(gè)非空子集必須同時(shí)含有集合Ai（i＝1，L，k）的元素的分拆數(shù)目就叫做廣義k集元第二類Stirling數(shù)，并記作S2（｛J1，L，Jk｝，r），定義S2（｛0，L，0｝，0）＝1，若存在i∈ ｛1，L，k｝，使得Ji＜r時(shí)，則S2（｛J1，L，Jk｝，r）＝0，同樣規(guī)定集合Ai（i＝1，L，k）兩兩不相交.

以下是對(duì)本文證明有關(guān)的引理.

引理1［1］當(dāng)n≥1時(shí)，S2（n，2）＝2n－1－1.

2 主要結(jié)論及證明

定理1 當(dāng)n，m ≥1時(shí)，S2（｛n，m｝，2）＝2n＋m－1－2n－2m＋2.

證明 不妨記集合Ai（i＝1，2）的元素個(gè)數(shù)分別為n，m，則由廣義二元集第二類Stirling數(shù)的定義可知，即將兩個(gè)集合共同分拆成兩個(gè)非空子集，并且要求每個(gè)子集至少含有任一集合的一個(gè)元素.這種規(guī)定實(shí)則意味著可以先將其中一個(gè)集合劃分成兩個(gè)非空集合A1i（i＝1，2）后再將第二個(gè)集合按照規(guī)定進(jìn)行分配，而第二個(gè)集合同樣需要符合定義中的規(guī)定，因此也必須將其分成兩個(gè)非空集合A2i（i＝1，2），然后再將這兩種分拆重新組合形成兩個(gè)集合，有如下形式：

證畢.

定理2 當(dāng)n，m≥2時(shí)，有

證明 記集合Ai（i＝1，2）的元素個(gè)數(shù)分別為n，m，同定理1的證明，先將集合A1分劃成3個(gè)非空集合A1i（i＝1，2，3），再將集合A2分劃成3個(gè)非空集合A2i（i＝1，2，3），其重新組合成3個(gè)集合種類形如

故其組合種類共有3！類，從而

再由引理2的結(jié)論，合并整理 （2）式即可得此定理.

由以上兩個(gè)定理的結(jié)論可知當(dāng)，當(dāng)分劃非空子集個(gè)數(shù)越多時(shí)，其表達(dá)式越復(fù)雜，以下給出廣義二元集第二類Stirling數(shù)與第二類Stirling數(shù)的關(guān)系式.

定理3 當(dāng)n，m ≥k時(shí)，S2（｛n，m｝，k）＝k！S2（n，k）S2（m，k）.

證明 記集合Ai（i＝1，2）的元素個(gè)數(shù)分別為n，m，同以上定理的證明，先將集合A1分成k個(gè)非空子集A1i（i＝1，2，L，k），同理集合A2也分成k個(gè)非空子集A2i（i＝1，2，L，k），同上述定理的證明思想，可得一般的廣義二元集第二類Stirling數(shù)的結(jié)論如下：

證畢.

以上是對(duì)于兩個(gè)集合的情況，下面對(duì)于一般的情況進(jìn)行討論.

證明 設(shè)集合Ai（i＝1，L，k）分別含有Ji（i＝1，L，k）個(gè)元素，且集合Ai（i＝1，L，k）互不相交.則根據(jù)定義可知，先將Ai（i＝1，L，k）依次分成兩個(gè)非空子集Aij（j＝1，2），則共同分劃成兩個(gè)非空子集類型如下

同樣的分析可得如下幾個(gè)定理.

［1］ 陳景潤(rùn).組合數(shù)學(xué)簡(jiǎn)介 ［M］.天津：天津科學(xué)技術(shù)出版社，1988

［2］ Du CY.An equation of stirling numbers of the second kind ［J］.Chin Quart J Math，2006，21：261－263

［3］ Liang WX.An identity of stirling numbers of the second kind［J］.Scientia Magna，2006，（02）：40－43

［4］ 李朝星.第二類Stirling數(shù)的等價(jià)表示式 ［J］.湖北師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1990，09（02）：111－120

［5］ 黃榮輝，陳寶兒.廣義第二類Stirling數(shù)的一些結(jié)論 ［J］.韓山師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，（03）：29－31

［6］ 張福玲.第二類Stirling數(shù)的一個(gè)恒等式 ［J］.西南民族大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009，35（04）：741－743