髙等幾何對(duì)初等幾何教學(xué)的指導(dǎo)作用

周明旺

(連云港師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)學(xué)系,江蘇 連云港 222006)

高等幾何是師范院校數(shù)學(xué)教育專業(yè)的重要基礎(chǔ)課之一,在群論觀點(diǎn)下完善幾何理論體系、更新思想觀念、訓(xùn)練思維方法、對(duì)培養(yǎng)探求知識(shí)能力起著重要作用.而且?guī)缀误w系的建立與完善只有通過(guò)幾何群論觀點(diǎn)的熏陶,才能夠準(zhǔn)確地認(rèn)識(shí)幾何空間的特征、研究方法及內(nèi)在聯(lián)系,確認(rèn)幾何學(xué)的本質(zhì),進(jìn)而居高臨下地認(rèn)識(shí)初等幾何的內(nèi)涵與外延,更深入地掌握并指導(dǎo)初等幾何的教學(xué)與研究.

下面將通過(guò)實(shí)例就仿射變換在指導(dǎo)初等幾何教學(xué)應(yīng)用中的獨(dú)特性、巧妙性和靈活性加以分析、闡述.

1 預(yù)備知識(shí)

定義2 經(jīng)過(guò)任何仿射變換不改變的數(shù)量叫做仿射不變量.

引理1 仿射變換保持同素性,結(jié)合性,平行性不變.

定理1 在仿射變換下,任意兩封閉圖形面積之比不變.

2 主要結(jié)果

2.1 利用仿射變換求最值問(wèn)題

例1 求橢圓內(nèi)接三角形面積的最大值.

例2 求橢圓內(nèi)接矩形面積的最大值.

解采用與例1類似的方法,可求得橢圓內(nèi)接矩形面積的最大值為2ab(a,b分別為橢圓的長(zhǎng)半軸與短半軸).

2.2 利用仿射變換證明問(wèn)題

例3 設(shè)A,B分別是橢圓在坐標(biāo)軸上的兩個(gè)頂點(diǎn),C為線段AB的中點(diǎn),則過(guò)射線OC與橢圓的交點(diǎn)的切線平行于AB.

證明如圖1所示,在仿射變換φ下由仿射變換φ的性質(zhì),C'為A'B'的中點(diǎn).再由圓的性質(zhì)知l'∥A'B'.從而,由仿射變換φ保持平行性知l∥AB.

圖1 橢圓的φ仿射變換

例4 (阿波羅定理) 以橢圓一對(duì)共軛半徑為鄰邊的平行四邊形的面積為定值.

事實(shí)上,圓O'中以共軛半徑為鄰邊的平行四邊形都是面積相等的正方形.由仿射性質(zhì)知

即S=S.由于其任意性得證,且定值為以橢圓半軸為鄰邊的矩形面積ab.

圖2 以橢圓一對(duì)共軛半徑為鄰邊的平行四邊形的φ仿射變換

通過(guò)以上各例可以看出,利用仿射變換的性質(zhì),其解題思路簡(jiǎn)潔明了;若用初等幾何的方法就比較困難.

3 結(jié)語(yǔ)

髙等幾何的學(xué)習(xí)不僅是幾何體系完整性的要求,而且對(duì)于在群論觀點(diǎn)下幾何觀念的樹立具有獨(dú)特作用,尤其是髙等幾何所提供的豐富的數(shù)學(xué)思想對(duì)指導(dǎo)初等幾何教學(xué)研究意義深遠(yuǎn).

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