“重疊問題”教學紀實與反思

教學內容：人教版小學數(shù)學3年級下冊第9單元“數(shù)學廣角——重疊問題”。

教材分析：本冊教材和前幾冊教材編排的知識板塊基本一樣，教材除了在有關單元滲透相應的數(shù)學思想方法以外，還專門安排了“數(shù)學廣角”這一單元來介紹一些數(shù)學思想方法，讓學生學會運用這些數(shù)學思想方法解決一些簡單的實際問題。本課主要是結合生活實際，引導學生初步體會集合的思想方法。本節(jié)內容首先通過統(tǒng)計表的方式列出參加語文小組和數(shù)學小組的學生名單，通過統(tǒng)計表可以看出：參加語文小組的有8人，參加數(shù)學小組的有9人。但實際上參加這兩個課外小組的總人數(shù)卻不是17人，引起學生的認知沖突。這時，教材利用直觀圖把這兩個課外小組的關系直觀地表示出來。從圖上可以很清楚地看出，有3名同學同時屬于這兩個小組，所以計算總人數(shù)時只能計算一次，從而引導學生學會利用集合圖來解決這個問題，在此基礎上，掌握解決此類問題的計算方法及含義。

《數(shù)學課程標準》明確指出：“數(shù)學教學要緊密聯(lián)系學生的生活實際，從學生的生活經驗和已有的知識出發(fā)，創(chuàng)設生動有趣的情境，讓學生在生動具體的情境中學習數(shù)學?！备鶕?jù)這一理念，結合本節(jié)課教學內容，我大膽地對教材進行重組，以學生熟悉的體育活動為情境貫穿教學始終。讓學生在自主探究——體驗交流——形成方法的過程中構建模型，引導學生有效地參與學習。

學情分析：

集合是比較系統(tǒng)、抽象的數(shù)學思想方法，是數(shù)學中最基本的思想。從學生一開始學習數(shù)學，其實就已經在運用集合思想方法了，所以對集合有一定的生活經驗和知識基礎。例如在數(shù)數(shù)時，把1個人、2朵花、3枝鉛筆用一條封閉的曲線圈起來表示，這樣表示出的數(shù)學概念更直觀、形象。而以后學習的平面圖形之間的關系都要用到集合的思想，如：把若干圖形分類，需要一定的標準，這種分類思想就是集合理論的基礎，集合的重要性由此可見一斑。但這些都只是單獨的一個集合圈。本節(jié)課教材例1借助學生熟悉的題材，滲透了集合的有關思想，并利用直觀圖的方式求出兩個小組的總人數(shù)。教學要使學生理解用直觀圖（集合圈）表示“重疊現(xiàn)象”的方法，了解到直觀圖各部分的意義，特別是重疊部分（交集）的意義，掌握根據(jù)直觀圖列式計算總數(shù)（兩個集合的并集）的方法。對于3年級學生來說，學習這部分內容，思維力度較強，有一定的挑戰(zhàn)性。

教學目標：

1.通過使學生借助直觀圖，利用集合的思想方法解決簡單的實際問題，并能運用數(shù)學語言進行描述。

2.通過活動，豐富學生對直觀圖的認識，培養(yǎng)學生的觀察能力、思考能力、創(chuàng)新能力、評價說理能力。

3.通過使學生在主動參與數(shù)學活動過程中體驗身邊數(shù)學的價值，獲得成功的體驗，提高學生學習數(shù)學的興趣。

教學重、難點：使學生初步體會集合的有關思想方法并能用之來解決實際問題。

教學過程：

一、創(chuàng)設情境，激發(fā)興趣

1.情境創(chuàng)設。

師：我們在學習新知識之前，你們愿意幫助老師解決一個有趣的問題嗎？（愿意。）有兩個兒子和兩個爸爸一同去看電影，可是只買了3張票，猜一猜他們能順利地進入劇場嗎？（能。）說說你是怎么想的？

生：免票或兩個兒子半價票。

師：可以這樣想，有這種可能性，但是今天的這兩對父子買的都是同樣價錢的票，怎么回事呢？

生：重復了，有一個人既是兒子的父親，又是爺爺?shù)膬鹤印?/p>

2.揭示課題。

師：同學們真聰明。其實，生活中這樣的現(xiàn)象有很多，在數(shù)學上，我們把它叫做重疊問題。（板書課題。）

【意圖：這一環(huán)節(jié)的設計聯(lián)系現(xiàn)實生活中學生易于感興趣的情境引入課題，有效地喚起了學生的生活經驗。學生對新概念的出現(xiàn)不會感到陌生，這既能激發(fā)學生學習新知識的興趣，又能為他們更好地理解新知識做好鋪墊?！?/p>

二、構建新知，理解新知

1.現(xiàn)場調查，收集、整理信息。

師：同學們，今天我們來進行一次小調查：調查一下，哪些同學喜歡跳繩，哪些同學喜歡游泳，怎么樣？（板書：喜歡跳繩、喜歡游泳。）

…………

師：按我們全班同學分成的4組來進行，并且老師還為你們準備了統(tǒng)計表，你們要從前往后依次填寫。由于老師并不知道同學們的名字，所以統(tǒng)計表上每一個序號就代表一名同學。你喜歡哪一項，就在這一格里畫上“√”；如果你都喜歡呢？就分別畫上“√”，并且最后一桌同學要統(tǒng)計出來你們小組喜歡跳繩的有多少人，喜歡游泳的有多少人，明白嗎？但是我們在調查之前，老師有一個小小的要求：每名同學至少要選擇其中的一項，好嗎？我們比一比，哪組同學進行得迅速而且無聲，調查現(xiàn)在開始。

【意圖：對教材整體結構很清晰，在教材處理上，沒有利用原有例題，而是重組教材。選擇更貼近學生實際生活的題材——現(xiàn)場調查學生喜歡跳繩、游泳的情況。這樣處理使學生置身于熟悉的生活情境中，多種感官被調動起來，感受到數(shù)學問題來源于自己的身邊。學生的姓名，用數(shù)字代替，向學生滲透了符號化思想，也為日后進一步優(yōu)化韋恩圖（直接用數(shù)字表示）起了重要的“橋梁”作用。同時還培養(yǎng)了學生收集信息整理信息的能力?！?/p>

2.引導學生利用直觀圖來理解“重復”。

師：調查現(xiàn)在結束了。（收回統(tǒng)計表。）我們先來看看第一小組同學的調查情況。為了方便同學們研究，誰來看著統(tǒng)計表，指揮說序號，老師對應著將數(shù)字卡片貼到黑板上。都有哪些同學是喜歡跳繩的？喜歡游泳的同學都有誰？（貼數(shù)字卡片。）

師：這些是喜歡跳繩的。（白色粉筆圈起來。）站起來，讓我們看看都有誰。數(shù)一數(shù)有多少人？（8人。）這些是喜歡游泳的。（紅色粉筆圈起來。）站起來，也和我們見見面？數(shù)一數(shù)有多少人？（6人。）

生：發(fā)現(xiàn)有人站起來兩次，貼了兩張卡片。

師：你真善于觀察。誰站起來兩次？向我們揮揮手。怎么回事：他們?yōu)槭裁凑酒饋韮纱危?/p>

生：既喜歡跳繩又喜歡游泳。

師：喜歡跳繩的和喜歡游泳的一共有多少人呢？

生：14人。

師：好，請這幾名同學起立，數(shù)一數(shù)。（12人。）咦，奇怪了，實際站起來的人數(shù)怎么和同學們數(shù)的結果不一樣啊？

生：有人貼了兩張卡片或有人站起來兩次。

師：他們?yōu)槭裁凑酒饋韮纱?？為什么貼了兩張卡片？

生：我們既喜歡跳繩又喜歡游泳。

師：他用到了一組關聯(lián)詞向大家解釋了原因。（板書：既……又……）說得真清楚。因為他們既喜歡跳繩，又喜歡游泳。我們把喜歡跳繩的他們往中間移一移，把喜歡游泳的他們也往中間靠一靠。咦？靠到一起了，現(xiàn)在你們能不能想想辦法，將老師之前畫上的這兩個圓圈調整一下，讓我們更清楚地看清哪些同學是喜歡跳繩的，哪些同學是喜歡游泳的，哪些同學是既喜歡跳繩，又喜歡游泳？前后桌的同學可以研究一下，動筆畫一畫。

（生展示。）

師：能說說你是怎么想的嗎？你們同意他的做法嗎？那我就尊重你們的選擇，我把它畫到黑板上。

【意圖：通過貼放學生的序號卡片，教師及時引導學生歸納、小結，這既能讓學生體會出集合圖本身各部分之間所存在的關系，又能讓他們直觀地感知各個數(shù)據(jù)與集合圖之間的關系。引導學生畫圖，給孩子們創(chuàng)設一種自主探究的學習氛圍，讓學生在探究中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題。經歷用韋恩圖表示重疊的意義進一步加深對集合思想的理解?！?/p>

3.認識集合圖、明確各部分的意義。

師：請看圖說一說各部分表示什么意思？既喜歡跳繩，又喜歡游泳的有幾人呢？怎樣擺會讓我們一眼就可以看出有多少人？

生：雖然是兩張卡片，但是序號相同，表示的卻是一個人。

師：同學們真了不起，知道你們創(chuàng)造的這個圖和誰想到了一起嗎？

生：韋恩。

師：你知道的可真多，真是個愛學習的好孩子！是的，和英國的大數(shù)學家韋恩想到了一起，他早在1881年率先創(chuàng)造了這個圖，后來世人為了紀念他，就以他的名字命名這個圖，叫韋恩圖?？磥?，發(fā)明和創(chuàng)造并不難，只要肯動腦筋，一切皆有可能，掌聲送給自己。

師：數(shù)學家愛思考，我們也不能停下思考的腳步。指出圖中各部分的意義，并說出有多少人參加各項活動。喜歡跳繩和只喜歡跳繩只有一字之差，它們有什么區(qū)別嗎？

【意圖：充分考慮學生已有的知識基礎和學生的心理特點，讓學生表述“韋恩圖”各部分之間的關系，給了學生一個完整的認知，通過讓學生仔細觀察，交流感知，嘗試畫圖，明確集合圖的作用，各部分表示的意義，從而突破本課的重難點。同時還滲透了數(shù)學思想和數(shù)學文化?！?/p>

4.列式計算。

師：現(xiàn)在老師將這些卡片拿掉，你能根據(jù)我們已經找到的數(shù)學信息，用列式計算的方法求出喜歡跳繩和喜歡游泳的有多少人嗎？自己寫一寫。（生：匯報。）

（1）用喜歡跳繩的人數(shù)加上喜歡游泳的人數(shù)再減去重復計算的人數(shù)就是我們要求的總人數(shù)。

（2）只喜歡跳繩的人數(shù)加上既喜歡跳繩又喜歡游泳的人數(shù)再加上只喜歡游泳的人數(shù)也是我們要求的總人數(shù)。

（3）只喜歡跳繩的人數(shù)加上喜歡游泳的人數(shù)也是我們要求的總人數(shù)。

（4）只喜歡游泳的人數(shù)加上喜歡跳繩的人數(shù)也是我們要求的總人數(shù)。

師：大家同意嗎？

…………

師：同學們的思維真靈活，一道題就能用這么多種方法解決，真棒。

師：同學們，現(xiàn)在我們知道了，喜歡跳繩的和喜歡游泳的有14人，看圖，你能求出既喜歡跳繩又喜歡游泳的有幾人嗎？喜歡游泳的又有多少人呢？

師：對重疊問題同學們掌握得比較好，看來學習韋恩圖對于我們解決這類重疊問題很有幫助??！

三、練習鞏固，擴展提升

師：同學們，這幅圖是我們大家一起探討出來的，下面我就給你們一個機會。（展臺：展示另一組數(shù)據(jù)信息。）能不能用韋恩圖表示這組數(shù)據(jù)呢？自己畫一畫，畫好后同桌交流一下。

（生匯報展示。）

師：能說說你的想法嗎？你們和他做的一樣嗎？

師：同學們，今天我們學習了——重疊問題，并找到了解決這類問題的方法——畫韋恩圖。那你們能借助圖解決幾個實際問題嗎？請看第一題。

第一題：兩塊木板分別長20厘米、25厘米，如圖拼成一塊長30厘米的木板，中間重疊部分長多少厘米？

第二題：3年1班一共有30人，其中喜歡吃桔子的有15人，有5人既喜歡吃桔子又喜歡吃蘋果（每人至少喜歡吃一種），問喜歡吃蘋果的有多少人？

【意圖：本著“由淺入深、循序漸進、既注重基本知識，又重視新知識的應用”的原則，培養(yǎng)了基本數(shù)學思想，形成基本經驗，體會數(shù)學知識應用與生活的價值。】

四、拓展延伸

師：同學們，通過我們共同的努力，不僅認識了韋恩圖，還學會了借助韋恩圖來解決生活中的一些實際問題，其實，生活中也有很多重疊的現(xiàn)象。比如：在排隊的時候，從前數(shù)有多少人，從后數(shù)有多少人？就是重疊問題。

師：（課件演示。）以后學習面積的時候也會遇到重疊問題。生活中的許多現(xiàn)象都是重疊形成的：這是光的三原色，光譜研究中，不同顏色的光重疊在一起會產生奇妙的現(xiàn)象。這就是利用色彩的重疊設計的海報，見過這個嗎？這就是著名的千手觀音，人與人的身體重疊在一起，通過手臂的不同角度，給人一種美的享受。

五、總結

師：同學們，數(shù)學來源于生活，生活中處處有數(shù)學，喜歡數(shù)學嗎？大聲讀出來“我愛數(shù)學，我與數(shù)學共成長”。 雖然我們相處的時間很短，但在老師的心目中你們的未來是不可估量的，我相信，我們3年1班的同學們一定能在數(shù)學這塊廣闊的大地中展翅飛翔。

謝謝同學們，再見！

反思：

1.培養(yǎng)學生收集、整理信息的意識和能力。

集合的抽象性是在它最終形成結論才具有的，而在結論形成過程中，必然以大量的具體內容為基礎。本著從實踐中來到實踐中去的原則，課堂上我們讓學生從生活實際中親身感知集合的思想，并使他們親身體驗集合圖的產生過程，讓學生在過程中體驗集合的思想，在過程中感悟重疊，并頓悟重疊問題的解決方法。讓學生經歷問題解決的數(shù)學化過程，獲得數(shù)學學習體驗。

2.培養(yǎng)學生思維的嚴密性、嚴謹性是數(shù)學學科的基本特征之一。

數(shù)學的教學，最重要的不僅是數(shù)學知識的教學，而且是數(shù)學思維，數(shù)學思想方法的教學。數(shù)學思想貫穿整個數(shù)學體系的始終。所以，從小就給學生滲透一些數(shù)學思想是非常必要而且非常重要的。而其中重要的一環(huán)就是學生數(shù)學思維的嚴謹性的培養(yǎng)。嚴謹性是數(shù)學學科的基本特征之一。反思教學過程，我覺得我也很注重培養(yǎng)學生思維的嚴謹嚴密性，如解讀韋恩圖的過程中，讓學生表述各個部分的意思。大圈是表示“喜歡跳繩”和“喜歡游泳”，而去掉了都參加的部分后是“只喜歡跳繩”，“只喜歡游泳”，多了一個字“只”，雖然只有一字之差，但是意思完全不一樣。還有“既喜歡跳繩，又喜歡游泳”讓學生明白這是同時都喜歡的，課堂上時時注重學生嚴密的思維。如果這里再多讓學生互相說一說就更好了。

3.教學中要注意克服學生的思維定式。

數(shù)學中的思維定勢對于形成學生的解題能力是有必要的，但思維定式也限制了學生思維創(chuàng)造性，這種情況往往在很大程度上限制了學生思維火花的閃現(xiàn)。所以，在課的練習設計上，設計了變式練習，鍛煉學生的思維。但是由于時間關系沒有更充分的開放拓展。

（作者單位：哈爾濱市民生路小學）

編輯/魏繼軍