運(yùn)用列表法(或樹狀圖)解決實(shí)際問題初探

摘 要：運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力是新的課程標(biāo)準(zhǔn)中重要的能力要求。有關(guān)概率的知識是新的初中教材中才有的新知識。解題中出現(xiàn)難下手、易錯(cuò)的現(xiàn)象。列舉解此類問題所需注意的幾個(gè)方面，從實(shí)際問題入手，來幫助學(xué)生運(yùn)用列表法（樹狀圖）解決問題的能力，發(fā)展應(yīng)用概率知識的意識。

關(guān)鍵詞：列表法；樹狀圖；分步；概率

學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，對于求一次實(shí)驗(yàn)發(fā)生的概率，兩個(gè)參數(shù)（事件A發(fā)生的結(jié)果數(shù)和所有可能發(fā)生的結(jié)果數(shù)）很容易確定，概率易求，但是對通過兩次或兩次以上實(shí)驗(yàn)發(fā)生的概率問題這兩個(gè)參數(shù)就不易確定了，這時(shí)就可考慮利用樹狀圖或列表法來求某事件發(fā)生的概率了。

一、利用列表法（或樹狀圖）需要注意的幾個(gè)問題

1.認(rèn)識列表法和樹狀圖是數(shù)學(xué)中常說的列舉法（窮舉法、枚舉法）

列舉法求概率需要把機(jī)會均等的結(jié)果一一列舉出來，列表法用于解決兩步實(shí)驗(yàn)的問題，樹狀圖用于兩步及以上的問題。在列舉時(shí)必須注意結(jié)果不重不漏。

2.認(rèn)識使用列表法和樹狀圖是利用概率的古典定義求概率

對于古典概型E，設(shè)它的所有可能結(jié)果是n個(gè)等可能的結(jié)果，事件A包含其中的m個(gè)結(jié)果，則定義事件A的概率為P（A）=■，這個(gè)定義叫概率的古典定義。其中，（1）E的所有結(jié)果是有限個(gè)；（2）E的每個(gè)可能結(jié)果發(fā)生的可能性大小相同。

3.使用列表法和樹狀圖要明確實(shí)驗(yàn)的次數(shù)，即分步

例如，從5張撲克中任意抽取兩張。這個(gè)問題可以看成兩步完成的實(shí)驗(yàn)，也就是，抽取兩次每次一張。另外，要弄清楚每次實(shí)驗(yàn)或每步有哪些機(jī)會均等的結(jié)果，在這個(gè)例子中第一步有5個(gè)結(jié)果，第二步有4個(gè)結(jié)果，可以用列表法（或樹狀圖）來表示。再如，從5張撲克中任意抽取3張。這個(gè)問題可以看成3步完成的實(shí)驗(yàn)，也就是，抽取3次每次一張。第一步有5個(gè)結(jié)果，第二步有4個(gè)結(jié)果，第3次有3個(gè)結(jié)果，只能用樹狀圖來表示。

4.注意實(shí)驗(yàn)是抽取放回實(shí)驗(yàn)，還是抽取不放回實(shí)驗(yàn)。例如，在一副撲克中，求：（1）任意抽取兩張都是黑桃的概率；（2）抽取一張記錄，然后放回洗均勻，再抽取一張，兩張都是黑桃的概率。其中，（1）是抽取不放回的實(shí)驗(yàn)，兩次抽取的不可能是同一張撲克。（2）是抽取放回實(shí)驗(yàn)，兩次抽取的可能是同一張撲克。

二、實(shí)際問題中的運(yùn)用

實(shí)際問題1：

有兩把不同的鎖和三把鑰匙，其中兩把鑰匙分別能打開其中的一把鎖，第三把鑰匙不能打開這兩把鎖中的任意一個(gè)。任意取出一把鑰匙去開任意的一把鎖，一次打開鎖的概率是多少？

分析：在解決此問題時(shí)，要弄清實(shí)驗(yàn)分兩步完成（可以用列表法或樹狀圖），第一步取任意的一把鑰匙，有三個(gè)結(jié)果，分別用a、b、c來表示；第二步取任意的一把鎖，有兩個(gè)結(jié)果，分別用A、B來表示。且鑰匙a能打開A鎖，鑰匙b能打開B鎖。

列表：

■

從圖中可見機(jī)會均等的結(jié)果有6個(gè)，其中鑰匙能打開的鎖的結(jié)果有兩個(gè)。

所以，P（一把鑰匙能打開鎖）=■=■

實(shí)際問題2：

垃圾可分為有機(jī)垃圾、無機(jī)垃圾與有害垃圾共三類。為了有效地保護(hù)環(huán)境，要將日常生活中產(chǎn)生的垃圾進(jìn)行分類投放。這天，小明把垃圾分裝在三個(gè)袋中，可他投放時(shí)有些粗心，每袋垃圾都放錯(cuò)了位置，請你列出小明投放垃圾的可能情況。

分析：

該實(shí)驗(yàn)分三步完成，第一步放有機(jī)垃圾，第二步放無機(jī)垃圾，第三步放有害垃圾。由于垃圾放進(jìn)垃圾桶不再取出，所以實(shí)驗(yàn)是抽取不放回的實(shí)驗(yàn)。

■

實(shí)際問題3：

加工廠生產(chǎn)的5件產(chǎn)品中有4件正品，1件次品；乙工廠生產(chǎn)的5件產(chǎn)品中有3件正品，2件次品，從這兩個(gè)工廠的產(chǎn)品中各任意抽取1件，兩件都是正品的概率是多少？

分析：

實(shí)驗(yàn)很顯然分兩步，第一步抽取甲工廠的產(chǎn)品，第二步抽取乙工廠的產(chǎn)品。用A表示合格產(chǎn)品，B表示不合格產(chǎn)品，可列表如圖：

■

機(jī)會均等的結(jié)果共25個(gè)，其中兩件都是正品的結(jié)果有12種。所以，P（兩件正品）=■

實(shí)際問題4：

有兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動的均勻轉(zhuǎn)盤A、B，都被分成了3等份，并在每份內(nèi)均標(biāo)有數(shù)字，如圖所示，規(guī)則如下：

■

①分別轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤A、B；

②兩個(gè)轉(zhuǎn)盤停止后，將兩個(gè)指針?biāo)阜謨?nèi)的數(shù)字相乘（若指針停止在等份線上，那么重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向某一份為止）。

用列表法（或樹狀圖）分別求出數(shù)字之積為3的倍數(shù)和數(shù)字之積為5的倍數(shù)的概率。

參考文獻(xiàn)：

［1］魏竹軒，郭俊杰，劉鐵峰.工程數(shù)學(xué).人民郵電出版社，1995．

［2］盛驟，謝世千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì).3版.高等教育出版社，2001．

（作者單位 張永剛：山西省沁水縣嘉峰初中 田巧艷：山西省沁水縣東關(guān)小學(xué)）