數(shù)學(xué)問題解決的系統(tǒng)思維過程及教學(xué)策略

　　在當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中，老師、學(xué)生、家長重視的是學(xué)生解題結(jié)果的正確性和考試分?jǐn)?shù)，忽視學(xué)生思維過程的優(yōu)化。而忽視思維過程的優(yōu)化造成的后果是：教學(xué)不但沒有最大限度提高學(xué)生的解題正確率和考試成績，反而還阻礙了學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決能力的提高，更為嚴(yán)重的是沒有實(shí)現(xiàn)“提高數(shù)學(xué)的提出、分析和解決問題（包括簡單的實(shí)際問題）的能力”這一教學(xué)目標(biāo)。與此同時，忽視思維過程優(yōu)化也導(dǎo)致學(xué)生思維品質(zhì)差、思維能力發(fā)展滯后，帶來了思維的惰性與狹隘性。因此研究學(xué)生在數(shù)學(xué)問題解決中的思維過程及優(yōu)化策略是當(dāng)前數(shù)學(xué)教育工作者應(yīng)重視的問題。
　　關(guān)于思維過程，心理學(xué)家從不同的方面對解決問題的思維過程進(jìn)行了研究，其中有代表性的理論有“解決問題四階段論”、威爾·西蒙的信息處理系統(tǒng)理論、波利亞的解題四環(huán)節(jié)論以及美國心理學(xué)家華萊士根據(jù)許多創(chuàng)造發(fā)明家的自述經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行研究，總結(jié)出四個過程等。綜觀思維過程的研究，可以看到研究的成果是豐富的，探究也十分深入。但是，從整體上看，思維過程的研究尚存缺陷：思維過程的劃分過于機(jī)械化、程式化、不連貫。同時，學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決中思維過程不同于數(shù)學(xué)家的過程，直覺思維與數(shù)學(xué)家不一樣，是算法式思維的熟練階段。二者直覺的結(jié)果是不同的，發(fā)明創(chuàng)造家的結(jié)果是人類未知的新知識，學(xué)生的直覺結(jié)果是再發(fā)明再創(chuàng)造。但二者的思維過程都是對于自身原有思維的飛躍，不自知的過程。而且直覺思維貫穿于思維過程每個部分，算法式思維過程的每個縫隙中都有直覺思維潤滑，直覺思維是潤滑劑，而不是經(jīng)歷了算法式思維才經(jīng)歷直覺思維。因此，學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決的思維過程，應(yīng)是系統(tǒng)思維過程。
　　一、數(shù)學(xué)問題解決的系統(tǒng)思維過程
　　數(shù)學(xué)問題解決的思維過程（以下簡稱系統(tǒng)思維）是在元認(rèn)知監(jiān)控下算法式思維過程和直覺式思維過程相互作用的一個系統(tǒng)過程。
　　算法式思維過程是指按準(zhǔn)備、探索、明朗、建構(gòu)四個步驟解決數(shù)學(xué)問題的思維過程。其中準(zhǔn)備階段包括清楚的意識到面臨的問題、解決問題的動機(jī)、閱讀數(shù)學(xué)問題；探索階段包括用數(shù)學(xué)語言（代數(shù)語言或圖形語言）表示條件或結(jié)論、化簡（包括因式分解、通分、約分、分離常數(shù)、合并同類項(xiàng)、分子或分母有理化、逆用基本運(yùn)算定理和運(yùn)算公式等）、等價(jià)變化條件與結(jié)論、試誤、逆向思考問題。明朗階段包括模式識別、回憶聯(lián)想、找出問題各條件和結(jié)論以及解題過程的中間步驟與條件（或結(jié)論）之間的內(nèi)在邏輯聯(lián)系與差距、找出縮小差距的策略、確定執(zhí)行的策略、對采用策略的評價(jià)、決定一個標(biāo)準(zhǔn)選擇適當(dāng)?shù)牟呗浴＝?gòu)階段：驗(yàn)證結(jié)論，定向控制思維流程，加深鞏固數(shù)學(xué)知識，改進(jìn)數(shù)學(xué)方法，感受積極的情緒體驗(yàn)，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。
　　上述四個步驟的每一階段都有可能遭遇失敗、產(chǎn)生新的問題。此時，元認(rèn)知監(jiān)控思維過程退回到原處或環(huán)境中仔細(xì)探索。這樣的循環(huán)往復(fù)有可能要經(jīng)歷許多次，故由這四個基本階段組成的問題解決過程是非線性的，動態(tài)循環(huán)的過程。[2]直覺思維是高度壓縮的算法式思維過程。當(dāng)學(xué)生算法式思維的探索和明朗階段運(yùn)行良好成為一種潛意識時，問題信息輸入大腦后經(jīng)過短暫的算法式思維（有時甚至是無意識的），瞬間得到結(jié)果，這就是學(xué)生的直覺思維過程。數(shù)學(xué)問題解決時首先經(jīng)歷算法式思維的準(zhǔn)備階段，接著元認(rèn)知控制思維根據(jù)問題情境首先進(jìn)行直覺思維，如能正確解決問題，元認(rèn)知控制思維進(jìn)入算法式思維的建構(gòu)階段，以驗(yàn)證結(jié)果的正確性、分析直覺思維的產(chǎn)生機(jī)制，并將產(chǎn)生機(jī)制作為程序性知識儲存到認(rèn)知結(jié)構(gòu)，作為今后直覺思維產(chǎn)生的觸發(fā)點(diǎn)。否則元認(rèn)知控制思維轉(zhuǎn)向算法式思維的探索、明朗階段，最后進(jìn)入建構(gòu)階段。
　　由此可見，良好有序的算法式思維是產(chǎn)生直覺思維的基礎(chǔ)，而直覺思維又能簡化算法式思維。學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決的思維過程是系統(tǒng)思維。系統(tǒng)思維在數(shù)學(xué)問題解決中具有以下功能：
　　二、系統(tǒng)思維的功能
　　1.促進(jìn)學(xué)生正確歸因
　　很多問題解決主體不能對個人問題解決能力低下進(jìn)行正確歸因，無法采取有效措施，導(dǎo)致問題解決能力長期得不到提高。系統(tǒng)思維須在完整有序的認(rèn)知結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上運(yùn)用。如果認(rèn)知結(jié)構(gòu)有缺陷，系統(tǒng)思維就會受到阻礙而停頓。此時，思維主體就能正確歸因。
　　例如，某生對剛學(xué)會的題目，過一兩個小時候就不會做了。該生的課任老師認(rèn)為這是因?yàn)槔斫饽芰Σ?，不理解概念的?nèi)涵外延，因此，長期指導(dǎo)學(xué)生提高理解能力的訓(xùn)練；家長認(rèn)為是因?yàn)樵撋A賦不高，無法彌補(bǔ)。但是筆者向他講解下題：“設(shè)變量x，y滿足約束條件，則Z=3x-2y的最大值是什么？”時，學(xué)生能很好地理解此題的本質(zhì)含義是：求所表示的區(qū)域中的點(diǎn)使一組平行線Z=3x-2y取得的最大和最小截距。然而，第二天測試此類型的題目，該生又不會了。筆者要求學(xué)生按系統(tǒng)思維做出聲練習(xí)時發(fā)現(xiàn)：該生可以順利完成準(zhǔn)備階段，但是明朗階段的模式識別和回憶聯(lián)想無法進(jìn)行，完全想不起曾經(jīng)做過此類題目。當(dāng)筆者提示昨天講過此類題目后，學(xué)生立刻可以順利解決此題。通過運(yùn)用系統(tǒng)思維解題，該生發(fā)現(xiàn)自己問題解決能力低的原因是記憶力不好。因此對該生的有效指導(dǎo)應(yīng)該是訓(xùn)練記憶力。因此，系統(tǒng)思維在數(shù)學(xué)問題解決中可以起到正確歸因的作用。
　　2.完善學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)
　　系統(tǒng)思維的運(yùn)行需要完善的知識結(jié)構(gòu)支撐。如果知識欠缺，系統(tǒng)思維就會停頓，此時學(xué)生必須主動彌補(bǔ)知識欠缺，系統(tǒng)思維才能繼續(xù)運(yùn)行。因此，系統(tǒng)思維運(yùn)行的過程也是學(xué)生自我完善和鞏固知識結(jié)構(gòu)的過程，同時這也是學(xué)生主動學(xué)習(xí)（或復(fù)習(xí)）的過程，其效果高于被動學(xué)習(xí)。成功的學(xué)習(xí)體驗(yàn)增強(qiáng)了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心和興趣，提高了學(xué)習(xí)積極性。因此，教師在教學(xué)中應(yīng)重視培養(yǎng)學(xué)生的系統(tǒng)思維。而若要培養(yǎng)學(xué)生系統(tǒng)思維，教師首先應(yīng)改革例題的教學(xué)方式，突出系統(tǒng)思維的作用。
　　三、培養(yǎng)系統(tǒng)思維的教學(xué)策略
　　學(xué)生直覺思維的基礎(chǔ)思維是算法式思維，因此培養(yǎng)學(xué)生系統(tǒng)思維首先應(yīng)培養(yǎng)算法式思維，以算法式思維激發(fā)直覺思維。
　　1.改變教師的例題講解方式
　　講解例題時，教師按照系統(tǒng)思維過程講解，展示算法式思維的運(yùn)行軌跡、直覺思維的觸發(fā)，以及元認(rèn)知的調(diào)控過程，讓學(xué)生充分體會到系統(tǒng)思維的有效性和重要性。
　　例1設(shè)函數(shù)f（x）=.如果對任意x∈R，都有f（x）≥2，求a的取值范圍。
　　教師講解此題：此題是證明不等式成立的問題，并且函數(shù)含有兩個絕對值。按照處理含有絕對值代數(shù)式的常用方法，將f（x）=≥2用零點(diǎn)分段法轉(zhuǎn)換表述方式。
　　繼續(xù)觀察條件，由“對任意x∈R，都有f（x）≥2”，知此題是第三類不等式恒成立問題。常用解題方法是求函數(shù)f（x）的最小值g（a），然后解不等式g（a）≥2。分析中間狀態(tài)“分段函數(shù)f（x）”與“求函數(shù)f（x）的最小值g（a）”的關(guān)系，知此類題的常用方法是圖像法，即畫出分段函數(shù)f（x）=的圖像，從圖像上求最小值。從上面的分析過程可知：分析中間狀態(tài)與中間狀態(tài)（條件、結(jié)論）的關(guān)系是解此題的關(guān)鍵；如果算法式思維達(dá)到自動化，可以立即知道此題是求分段函數(shù)的最值，解題方法是圖像法，這就是學(xué)生的直覺思維。到此，教師才分析完此題。從教師分析例題的過程，學(xué)生感受到運(yùn)用系統(tǒng)思維解決問題，思路具有明確的方向性；當(dāng)思維受阻停頓后，知道該想什么；知道思維經(jīng)歷過哪些步驟，少了哪些步驟，哪些步驟是殘缺的，以便及時彌補(bǔ)。從而使學(xué)生感受到了系統(tǒng)思維的有效性，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)系統(tǒng)思維的欲望。
　　2.培養(yǎng)學(xué)生元認(rèn)知監(jiān)控能力
　　當(dāng)學(xué)生具有學(xué)習(xí)系統(tǒng)思維的心理傾向后，采用提問法（前期采用教師提問，學(xué)生回答的方式，后期采用學(xué)生自問的方法）培養(yǎng)學(xué)生的元認(rèn)知監(jiān)控能力。這些問題是：可以用數(shù)學(xué)符號（圖形）語言表示這個題目嗎？是否能用到下面的化簡技巧：等價(jià)代換、合并同類項(xiàng)、因式分解、通分、分母有理化、配方、提取公因式、交叉相乘、分離常數(shù)等。面對的是什么類型的題？條件與結(jié)論、條件與條件之間、中間狀態(tài)與條件和結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系是什么？這個題和典型題的聯(lián)系與區(qū)別？有什么方法可以消除這個差別?消除差別的方法是否簡單？有沒有更簡單的？這個題是否是一個新的典型題？解題方法是否具有典型性？對其他題解決是否有幫助？學(xué)生具有了良好的元認(rèn)知監(jiān)控能力，就可以根據(jù)問題自主控制算法式思維的運(yùn)行，正確選擇所需的算法式的思維的關(guān)鍵步驟，忽略不需要的步驟，最終形成直覺思維。
　　筆者四年的教學(xué)實(shí)踐證明，通過實(shí)施系統(tǒng)思維教學(xué)策略提高了學(xué)生數(shù)學(xué)成績、數(shù)學(xué)直覺思維、元認(rèn)知能力，增強(qiáng)了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。從而證明了系統(tǒng)思維教學(xué)策略在理論上的合理性、實(shí)踐上的有效性和可行性。
　?。▍⒖嘉墨I(xiàn)本刊略）（責(zé)任編輯任洪鉞）