推翻歌德巴赫猜想

　　1978年，已故著名作家徐遲先生的報(bào)告文學(xué)《歌德巴赫猜想》在引用數(shù)學(xué)王子高斯的名言“科學(xué)的皇帝是數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)的皇帝是數(shù)論”時(shí)談到，“自然科學(xué)的皇后是數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)的皇冠是數(shù)論。歌德巴赫猜想，則是皇冠上的明珠”。(《歌德巴赫猜想》，人民文學(xué)出版社1978版，P52)現(xiàn)在看來(lái)，歌德巴赫猜想這顆“明珠”是假的；因?yàn)槿绻軌蚍Q為“明珠”，那么無(wú)論如何它必須是一個(gè)真命題，然而歌德巴赫猜想不是，它只能是一個(gè)偽命題，一個(gè)終于不真的假命題，或許今天的“明珠”應(yīng)該改為“黎曼猜想”。因?yàn)槲覉?jiān)信“黎曼猜想”是真命題。
　　
　　為什么說(shuō)歌德巴赫猜想是偽命題?
　　
　　首先，我們來(lái)看一看什么是“歌德巴赫猜想”。
　　歌德巴赫是18世紀(jì)德國(guó)的一位數(shù)學(xué)家，1742年提出了一種關(guān)于數(shù)論問(wèn)題的直觀的猜想。即：任何一個(gè)大于2的偶數(shù)，都將可以表示為一個(gè)素?cái)?shù)與另一個(gè)素?cái)?shù)相加之和，即所謂“1加1”的問(wèn)題。與他同時(shí)代的大數(shù)學(xué)家歐拉也曾就這個(gè)“猜想”進(jìn)行過(guò)“證明”，兩百多年來(lái)更是吸引了成千上萬(wàn)數(shù)學(xué)家們的注意，包括被稱為數(shù)學(xué)王子的高斯。然而，全都無(wú)功而返。
　　18、19世紀(jì)，無(wú)聲無(wú)息；20世紀(jì)開始有了“進(jìn)展”：1920年，挪威數(shù)學(xué)家布朗證明了“9加9”；1924年，數(shù)學(xué)家拉德馬哈爾證明了“7加7”；1932年，數(shù)學(xué)家愛(ài)斯斯?fàn)柭C明了“6加6”；1938年，數(shù)學(xué)家布赫斯塔勃證明了“5加5”；1940年，他又證明了“4加4”；1948年，匈牙利數(shù)學(xué)家蘭恩易證明了“1加6”；1956年，數(shù)學(xué)家維諾格拉多夫證明了“3加3”；1958年，我國(guó)數(shù)學(xué)家王元證明了“2加3”；1962年，我國(guó)數(shù)學(xué)家潘承洞證明了“1加5”；1962年，我國(guó)數(shù)學(xué)家王元與潘承洞又證明了“1加4”；1965年，布赫斯塔勃、維諾格拉多夫和龐皮艾黎都證明了“1加3”；1966年，我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)證明了“1加2”。
　　這是迄今為止，全人類數(shù)學(xué)家們不斷“推進(jìn)地”(有理由懷疑，不是“推進(jìn)”了，而是完全走偏了)證明歌德巴赫猜想的一個(gè)大致的歷史過(guò)程。
　　到了21世紀(jì)的2010年11月13日的早晨，我突然發(fā)現(xiàn)，關(guān)于“1加1”的歌德巴赫“猜想”的問(wèn)題，根本就不值得去“證明”。因?yàn)檫@個(gè)“猜想”并不是一個(gè)關(guān)于真理的命題，而是一個(gè)并非真理的偽命題、假命題。它之所以偽、假，在于它僅僅是一個(gè)既非永恒必然，也非永恒普遍的只能具有“特稱判斷”正確性的命題，而根本就不是一個(gè)真正能夠符合永恒必然性、普遍性，從而具有“全稱判斷”正確性的真命題。說(shuō)白了，歌德巴赫猜想之中真正出問(wèn)題的是“任何偶數(shù)”之中的“任何”(相當(dāng)于“全稱”的“一切”)兩字。如果僅僅是“有一些”，甚或“有大量”，它都沒(méi)有問(wèn)題；但是如果真是這樣，這個(gè)命題也顯然就沒(méi)有價(jià)值了。換言之，根本就不值得人們拼命地去“證明”它了。
　　
　　為什么會(huì)這樣呢?這得從什么是素?cái)?shù)談起。
　　
　　眾所周知，自然數(shù)可以分為偶數(shù)和奇數(shù)，但也可以分為素?cái)?shù)和合數(shù)。什么是素?cái)?shù)呢?素?cái)?shù)即只能被1和自身整除的數(shù)，例如2，3，5，7，11，13，17，19，等等等等。什么是合數(shù)呢?即可以被其他數(shù)整除的數(shù)，或可以被因數(shù)分解的數(shù)，例如4，6，9，12，14，15，16，18，20等等等等。比較奇特的是，1不被稱為素?cái)?shù)，這只是定義的問(wèn)題，無(wú)關(guān)大體。由上面所述可知，自然數(shù)之中，不是素?cái)?shù)即是合數(shù)，沒(méi)有其他。通過(guò)上面所述，我們也可以知道，除了2之外，偶數(shù)都是合數(shù)；而素?cái)?shù)除了2之外，其余必須是奇數(shù)，但奇數(shù)卻不必都是素?cái)?shù)，例如9、15，等等。
　　我運(yùn)用集合論的方法來(lái)討論自然數(shù)、偶數(shù)、奇數(shù)、合數(shù)、素?cái)?shù)這五者之間的關(guān)系。我們把自然數(shù)、偶數(shù)、奇數(shù)、合數(shù)、素?cái)?shù)全都看成是不同數(shù)字的集合，并運(yùn)用z、O、T、H、s五個(gè)字母來(lái)分別表示自然數(shù)集合、偶數(shù)集合、奇數(shù)集合、合數(shù)集合和素?cái)?shù)集合所具有的“勢(shì)”。什么是集合的“勢(shì)”?即集合中所含有的單位元素的可估算的個(gè)數(shù)，或可進(jìn)行比較所設(shè)想的個(gè)數(shù)。
　　很顯然，它們之間具有如下的關(guān)系：
　　z≥H≥O=J>s
　　(1)
　　公式之中所表示的“大于”(>)，不是一般數(shù)學(xué)之中的“大于”，而是集合論中特有的“大于”。說(shuō)白了，它表示的“大于”是有關(guān)于“無(wú)窮大”的數(shù)量級(jí)別的“大于”；與大于同時(shí)的“等于”，則表示可以具有某種確定的“一一對(duì)應(yīng)”的“映射”或某種完全確定的“運(yùn)算”(公式)關(guān)系。
　　眾所周知，自然數(shù)集合之中的整數(shù)的元素，顯然是“無(wú)窮”的，而其他集合之中的元素也同樣是“無(wú)窮”的。因?yàn)楹竺鏌o(wú)論合數(shù)、偶數(shù)、奇數(shù)、素?cái)?shù)集合，全都只是自然數(shù)集合的真子集，所以它們的集合的“勢(shì)”絕對(duì)都只會(huì)比自然數(shù)集合的“勢(shì)”(z)小，或如果具有其間“一一對(duì)應(yīng)”的確定的“運(yùn)算”關(guān)系的話，也可能成為“等于”。
　　合數(shù)集合的“勢(shì)”(H)大于偶數(shù)集合的“勢(shì)”(O)也是顯然的，因?yàn)榕紨?shù)中除了2之外，全都是合數(shù)，而合數(shù)集合之中還包括部分非素?cái)?shù)的奇數(shù)。
　　在自然數(shù)集合之中，偶數(shù)的個(gè)數(shù)等于奇數(shù)的個(gè)數(shù)，這是顯然的，所以有：
　　O=J
　　(2)
　　素?cái)?shù)除了2之外，其余均屬于奇數(shù)，而奇數(shù)之中除了素?cái)?shù)之外，還包含了大量的屬于奇數(shù)的合數(shù)，所以明顯有：
　　J>s
　　(3)
　　如同上述，很顯然，除了2之外，素?cái)?shù)集合實(shí)際上是奇數(shù)集合的一個(gè)真子集，而且還可以更進(jìn)一步地指出，奇數(shù)集合不僅是包含素?cái)?shù)集合的集合，而且是包含了素?cái)?shù)集合的所有冪集合的集合，即奇數(shù)集合不僅包含有單個(gè)素?cái)?shù)組成的素?cái)?shù)集合，還包含了雙素?cái)?shù)、三素?cái)?shù)、四素?cái)?shù)……全素?cái)?shù)相乘等等的冪集合。說(shuō)白了，奇數(shù)集合是素?cái)?shù)集合以及其所有冪集合的全集合。所以非常顯然，奇數(shù)集合的“勢(shì)”，的確是遠(yuǎn)大于素?cái)?shù)集合的“勢(shì)”，二者在有關(guān)“無(wú)窮大”的意義上是完全不可以相互比擬的。明確地說(shuō)，如果素?cái)?shù)集合趨向無(wú)窮大的話，那么與此同時(shí)，奇數(shù)集合將以無(wú)窮大的無(wú)窮大的乘方的方式趨向無(wú)窮大的無(wú)窮大；或者更明確地說(shuō)，它們之間根本就不可能存在任何可能一一對(duì)應(yīng)，以及一以多應(yīng)的確定的映射關(guān)系，或任何可能明確的加和運(yùn)算(公式)的關(guān)系。
　　也正是因此，并由于公式(2)，所以也具有下面的公式：
　　O>s
　　(4)
　　因?yàn)榕紨?shù)集合的“勢(shì)”等于奇數(shù)集合的“勢(shì)”，所以偶數(shù)集合的“勢(shì)”也同樣遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于素?cái)?shù)集合的“勢(shì)”。
　　更普遍的還有，自然數(shù)集合的“勢(shì)”更同樣是遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于素?cái)?shù)集合的“勢(shì)”，如下面的公式所示：
　　z>s
　　(5)
　　這樣一來(lái)問(wèn)題就尖銳地爆發(fā)出來(lái)了，同時(shí)也基本上可以獲得解決全部問(wèn)題的最關(guān)鍵的途徑了。
　　歌德巴赫猜想指出：任何一個(gè)偶數(shù)，都可以由兩個(gè)素?cái)?shù)之和來(lái)(與之一一對(duì)應(yīng)，或一以多應(yīng)地)相等。這從集合論的理論來(lái)說(shuō)，即是偶數(shù)集合之中的任何一個(gè)元素，都將可以與素?cái)?shù)集合中的兩個(gè)元素之和至少“一一對(duì)應(yīng)”(所謂“至少”是指，也包括“一以多應(yīng)”，例如一個(gè)偶數(shù)在通常的情況之下，很可能會(huì)有多個(gè)雙素?cái)?shù)之和與之“對(duì)應(yīng)”)。但是這可能嗎?事實(shí)上它絕對(duì)不會(huì)普遍地可能，不僅兩個(gè)素?cái)?shù)之和不會(huì)普遍地可能，甚至任何有限的k個(gè)素?cái)?shù)之和也同樣不會(huì)普遍地可能，因?yàn)榕紨?shù)集合的“勢(shì)”，以及自然數(shù)集合的“勢(shì)”均遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于素?cái)?shù)集合的“勢(shì)”，所以它們的元素與素?cái)?shù)集合的元素之間，將絕對(duì)不可能會(huì)具有任何完全確定的(單方向的或雙方向的)一一對(duì)應(yīng)的，或一以多應(yīng)的“映射”，或完全確定的“運(yùn)算”(例如數(shù)個(gè)素?cái)?shù)相加之和)的關(guān)系。
　　運(yùn)用通常的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，即是在愈來(lái)愈趨向“無(wú)窮大”的場(chǎng)合，所有的素?cái)?shù)都將會(huì)被愈來(lái)愈大量的合數(shù)所沖散、所隔離，也即素?cái)?shù)的密度將絕對(duì)地會(huì)變得愈來(lái)愈非常非常地稀疏，甚至不可避免地將愈來(lái)愈趨向于0，以至將絕對(duì)必然地會(huì)發(fā)生如下非常普遍的情形：
　　s(n)>ks(n-1)+1，其中k=2、3、……m
　　(6)
　　公式之中s(n)、s(n-1)分別表示第n和第n-1個(gè)素?cái)?shù)，m、n均表示任意有限大的自然整數(shù)。
　　如果在上述公式之中取k=2成立，那么即可以明顯地看到，任何處于2s(n-1)與s(n)之間的偶數(shù)，就將絕對(duì)不可能會(huì)具有兩個(gè)素?cái)?shù)之和能夠與之一一對(duì)應(yīng)地，或一以多應(yīng)地相等。這正是說(shuō)明了歌德巴赫“猜想”的不可能存在的絕對(duì)的必然性。
　　另外，如果相應(yīng)地取k=3、4、5，等等等等，上面的公式(6)也依然成立，那么也可以更一般地說(shuō)，任何處于ks(n-1)與s(n)之間的自然數(shù)，也同樣將不可能會(huì)有三個(gè)、四個(gè)、五個(gè)，等等直到(奇數(shù)或偶數(shù))k個(gè)素?cái)?shù)之和與之一一對(duì)應(yīng)地，或一以多應(yīng)地相等。例如對(duì)于任何一個(gè)處于ks(n-1)與s(n)之間的奇數(shù)來(lái)說(shuō)，就將不可能會(huì)具有3個(gè)、5個(gè)等等直到奇數(shù)k個(gè)素?cái)?shù)之和能夠與之一一對(duì)應(yīng)地或一以多應(yīng)地相等；或?qū)τ谌魏我粋€(gè)處于1(s(n-1)與s(n)之間的偶數(shù)來(lái)說(shuō)，就將不可能會(huì)具有2個(gè)、4個(gè)等等直到偶數(shù)k個(gè)素?cái)?shù)之和能夠與之一一對(duì)應(yīng)地或一以多應(yīng)地相等。
　　
　　這樣一來(lái)，我們就完全地推翻了歌德巴赫猜想作為真理性規(guī)律存在的任何普遍、必然的可能性。
　　
　　由上述公式也可以一般地進(jìn)行理解，素?cái)?shù)在自然數(shù)軸上的分布密度，將隨著自然數(shù)的加大而逐漸地變得愈來(lái)愈稀疏，我們不妨做一個(gè)比喻，在全部自然數(shù)域，合數(shù)是“太平洋”，而素?cái)?shù)僅僅是太平洋上非常有限的“小島”。或者還可以更進(jìn)一步精確地指出，在自然數(shù)軸上，隨著自然數(shù)字的不斷地增大，合數(shù)所擁有的存在發(fā)生的概率，將愈來(lái)愈趨近于1，當(dāng)然不會(huì)等于1；而素?cái)?shù)所擁有的存在發(fā)生的概率則將愈來(lái)愈趨近于0，當(dāng)然也不會(huì)等于0，而只是變得愈來(lái)愈稀疏，亦正是因此，也將永遠(yuǎn)都不會(huì)產(chǎn)生最大的素?cái)?shù)。這種情形也可以通過(guò)下述的關(guān)于自然數(shù)、偶數(shù)、奇數(shù)、合數(shù)、素?cái)?shù)在實(shí)軸上的分布密度的趨勢(shì)來(lái)加以說(shuō)明。
　　很顯然，自然數(shù)在實(shí)數(shù)軸上的分布密度是均勻的1，而偶數(shù)和奇數(shù)的分布密度分別為1／2，而且它們的分布也是非常均勻的；然而合數(shù)和素?cái)?shù)的分布則是非常不均勻的，合數(shù)的分布密度是從0不斷起伏地趨近于1，而完全相反，素?cái)?shù)的分布密度則是從1不斷起伏地趨近于0。我們還可以在實(shí)數(shù)軸上具體地畫出上述各種數(shù)的分布密度變化的情形。
　　很顯然，由于素?cái)?shù)在自然數(shù)軸上的分布，必然會(huì)按照自然數(shù)的無(wú)限地加大而變得愈來(lái)愈稀疏，所以上述的公式(6)就將會(huì)必然地在達(dá)到了某個(gè)巨大的數(shù)字之后獲得滿足，所以，歌德巴赫猜想，也將必然地不可能是一個(gè)能夠獲得“全稱判斷”的真命題。所以，歌德巴赫猜想作為一個(gè)“全稱判斷”的命題就將絕對(duì)必然地不可能是一個(gè)真命題，從而獲得了證明。
　　在上述的意義上，有理由認(rèn)為相傳已久的素?cái)?shù)定理，其實(shí)也只是一個(gè)非常粗糙的近似的定理，即Ⅱ(x)／(x／10g x)當(dāng)x趨向無(wú)窮大時(shí)，并不是簡(jiǎn)單地等于1，而是一定小于1，甚至最后有可能趨于0，但不會(huì)最終等于0；而且這個(gè)定理也在很大的程度上掩蓋了如下事實(shí)的真象：Ⅱ(x)是實(shí)數(shù)軸上離散地存在的小于x的素?cái)?shù)(整數(shù))的個(gè)數(shù)，而且它出現(xiàn)的離散的程度將一定會(huì)愈來(lái)愈變得巨大，到了最后，甚至長(zhǎng)距離地不出現(xiàn)，而x／(logx)則是實(shí)數(shù)軸上連續(xù)存在的實(shí)數(shù)，關(guān)于這一點(diǎn)，讀者必須清醒地認(rèn)識(shí)到。正是為此，我們必須進(jìn)一步弄清楚，黎曼猜想如果是正確的話，它的可能獲得最后證明的真正的結(jié)果，這個(gè)結(jié)果對(duì)于進(jìn)一步證偽歌德巴赫猜想將會(huì)是極有價(jià)值的。
　　曾在全世界最早證明了費(fèi)馬大定理的我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家蔣春暄先生，曾證明黎曼猜想是錯(cuò)誤的。我看過(guò)了蔣春暄先生的證明，他的關(guān)于蔡塔函數(shù)不能直接等于零的證明是正確的，但卻不能因此而完全否定黎曼猜想。關(guān)于這一點(diǎn)我的看法完全不同：真正具有零點(diǎn)的應(yīng)該是關(guān)于蔡塔函數(shù)的微分方程，而不是蔡塔函數(shù)本身(在這點(diǎn)上，關(guān)于黎曼猜想問(wèn)題的描述者們，甚至包括黎曼本人，幾乎全都錯(cuò)了)。我認(rèn)為，只有在這個(gè)意義上，黎曼猜想才會(huì)是正確的，而且黎曼猜想確實(shí)是一個(gè)非常偉大的數(shù)學(xué)天才的構(gòu)想。我以后將專門討論黎曼猜想的問(wèn)題，并希望有可能真正破解黎曼猜想，以便充分地證明他偉大的正確的預(yù)見，而不僅僅是猜想。我深信，當(dāng)黎曼猜想進(jìn)一步獲得了證明之后，歌德巴赫猜想的問(wèn)題也將會(huì)非常容易地被證偽。
　　因?yàn)楦璧掳秃詹孪氡厝徊皇且粋€(gè)真命題，所以歌德巴赫猜想不可能是數(shù)學(xué)皇冠上的真明珠，而只能是一顆長(zhǎng)期以來(lái)未能獲得人們真正辨識(shí)的假明珠。
　　令人遺憾的是，如此一個(gè)非常明確的結(jié)論，竟然會(huì)在過(guò)去的260多年的漫長(zhǎng)的歲月之中，蒙蔽了那么多偉大的數(shù)學(xué)家。他們?yōu)樗冻隽四敲淳薮蟮摹白C明”的努力，視之為世界數(shù)學(xué)難題?，F(xiàn)在看來(lái)，如此的“證明”真是意義不太大，而且是浪費(fèi)智力。這完全應(yīng)該看成是260多年來(lái)人類整個(gè)數(shù)學(xué)界的一個(gè)巨大的迷誤，甚或是對(duì)過(guò)去的某些數(shù)學(xué)大天才的盲目的迷信。數(shù)學(xué)界的所謂歌德巴赫猜想問(wèn)題，很有點(diǎn)類似物理學(xué)界的“永動(dòng)機(jī)”問(wèn)題。只不過(guò)，物理學(xué)界的永動(dòng)機(jī)問(wèn)題還不至于成為像這個(gè)猜想，在延續(xù)了長(zhǎng)達(dá)兩百六十多年之后，人類仍然不能對(duì)之作出任何具有真實(shí)意義的辨識(shí)。
　　我今天斗膽推翻歌德巴赫猜想，并希望永遠(yuǎn)終結(jié)這個(gè)猜想，從此完全回歸數(shù)學(xué)的真實(shí)。
　　另外，古希臘以來(lái)，西方的數(shù)學(xué)界就一直視“素?cái)?shù)”為全部數(shù)學(xué)的“原子”，并從而認(rèn)定正是“素?cái)?shù)”組成了所有一切的數(shù)。其實(shí)，這是一個(gè)非常不符合邏輯的迷信，我今天不僅要推翻歌德巴赫猜想，還要進(jìn)一步推翻“素?cái)?shù)”是全部數(shù)學(xué)“原子”的更古老的希臘數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的迷信。因?yàn)槲艺J(rèn)為，全部數(shù)學(xué)真正的“原子”，或“基本粒子”應(yīng)該是。和±1，正是這三者，生成了全部數(shù)學(xué)的“萬(wàn)物