高中數學等差數列章節(jié)知識易錯點內容探析

　　摘 要： 本文對解題過程中的問題進行了整理、梳理、匯總和研析，總結出學生易出現錯誤解答的原因：錯誤理解公差的取值而漏解，不能正確理解等差數列的性質，錯用等差數列前幾項和的性質。
　　關鍵詞： 高中數學 等差數列 易錯點
　　
　　等差數列知識點內容是高中數學學科數列章節(jié)知識體系的重要組成部分，是初中數學知識實數知識體系內容的有效升華，是一類特殊的數列。等差數列知識以其自身所具有的性質，在人們日常生活中有著深刻而又廣泛的應用。我通過對等差數列的定義、通項公式、等差中項概念、等差數列性質、等差數列判定方法，以及等差數列前n項和公式的推導和與等差數列的前n項和有關的等差數列的性質等知識內容的教學，發(fā)現學生在等差數列相關問題解答過程中，存在著這樣或那樣的問題。我在教學過程中，對學生解題過程中的問題進行了認真的整理、梳理、匯總和研析，原因主要有以下方面。
　　一、錯誤理解公差的取值而漏解
　　學生作為學習知識的主體，在等差數列概念、性質等內容的學習過程中，由于受思維能力水平局限性的影響（在等差數列中公差的取值可能為正值、負值或0），在解題時往往會主觀地認為公差大于0而造成漏解。在教學活動中，教師要引導學生正確而全面地理解概念及其性質，從而運用全面的思維理念，進行問題的有效解答。
　　例題：已知b是a，c的等差中項，且lg（a+1），lg（b-1），lg（c-1）成等差數列，且a+b+c=15，求a、b、c的值.
　　某一學生解題過程如下：
　　解：∵2b=a+c， a+b+c=15，∴3b=15，b=5.
　　設等差數列a，b，c的公差為d，則a=5-d，c=5+d.
　　∵2lg（b-1）=lg（a+1）+lg（c-1），
　　∴2lg4=lg（5-d+1）+lg（5+d-1）=lg［25-（d-1）］.
　　∴16=25-（d-1）∴（d-1）=9，∴d-1=3，d=4.∴a，b，c依次為1，5，9.
　　通過對等差數列公差的概念和取值方法等內容的分析，發(fā)現該解答過程中，在解（d-1）=9時，開平方得d-1=3，僅取了算術平方根是錯誤的。應該注意到在解題過程中，遇到求某數的算術平方根時一般應求出兩個值，再根據題設條件來決定取舍，如果僅取算術平方根，那么往往會發(fā)生漏解的現象。因此，正確的解答過程如下。
　　解：∵2b=a+c，a+b+c=15，∴3b=15，b=5.
　　設等差數列a，b，c的公差為d，則a=5-d，c=5+d.
　　∵2lg（b-1）=lg（a+1）+lg（c-1），∴2lg4=lg（6-d）+lg（4+d），
　　∴16=（6-d）（4+d），
　　∴d=4或-2，∴a，b，c的值依次是1，5，9或7，5，3.
　　二、不能正確理解等差數列的性質而出現解題錯誤
　　在等差數列{a}中，如果m，n，p，q∈N，且m+n=p+q，則a+a=a+a.但在解答相類似的問題過程中，學生一般會錯誤地將該結果總結為a=a+a.這就要求教師在進行這一問題教學過程中，在進行問題練習的基礎上，還要注意有效引導學生對等差數列的性質內容進行正確理解，找到進行等差數列解答的兩種最基本和最廣泛的性質：（1）若m+n=p+q（m，n，p，q∈N），一定有a+a=a+a（反之亦然）；（2）若（m+n）/2=p（m，n，p∈N），則一定有a+a=2a.從而使學生能夠熟記并靈活運用，實現學生對等差數列性質的正確運用。
　　例題：設{a}是等差數列，a=q，a=p（p≠q），試求a.
　　學生由于對等差數列的性質不能正確地理解，進行了如下解答：
　　∵設{a}是等差數列，∴a=a+a=p+q.
　　這時，我引導學生對等差數列的性質進行復習，學生發(fā)現了上述解題過程錯誤.紛紛說出正確解題過程為：
　　解：∵a=a+（p-1）d，a=a+（q-1）d，∴a+（p-1）d=q，a+（q-1）d=p，
　　組成方程組，得出：（p-q）d=q-p.
　　∵p≠q，∴d=-1.代入方程中，有a+（p-1）（-1）=q，
　　∴a=p+q-1，故a=0.
　　為使學生對等差數列的性質有準確和熟練的掌握和運用，我在進行上述問題訓練活動后，還向學生布置了“已知5個數成等差數列，且它們的和為25，它們的平方和為165，求這5個數.”等凸顯等差數列性質有效運用的綜合性問題，讓學生進行有效訓練，為學生提供進行問題解答的時機，從而為正確高效解答類似問題提供經驗和方法基礎。
　　三、錯用等差數列前n項和的性質
　　等差數列前n項和的性質作為等差數列章節(jié)性質內容的重要部分，是學生掌握等差數列知識內涵，正確解答等差數列問題的重要手段和途徑，但由于學生在解答等差數列{a}的前m項和S的過程中，往往由于思維慣性，經常將S，S-S，S-S成等差數列，誤認為S，S，S成等差數列而導致解題出錯。如在講解“等差數列{a}中，S=10，S=30，求S.”問題時，教師引導學生在進行這一問題解答過程中，有意提醒學生，要注意解答該類問題過程中，要切實避免“S，S-S，S-S成等差數列，誤認為S，S，S成等差數列”情況的發(fā)生。學生在教師的提醒和引導下，通過結合等差數列前n項和的性質解答方法，得出以下解題過程：
　　解：由條件得S=10，S-S=20，由性質得S-S=30，從而S=60.
　　總之，新課程教學目標的提出，為高中數學教師教學活動的開展提出了明確的要求，同時，通過對歷年高考試卷命題知識點的分析，數列內容在整個試卷總分的比重較大，考查的內容中包含了等差數列的知識要點及其性質內容，有效地考查了學生邏輯思維推理能力、運算能力，以及運用數列中的知識和方法分析問題與解決問題的能力。因此，在等差數列知識教學中，教師要善于尋找規(guī)律，找出學生解題錯誤所在，實行“針對性”、“實效性”的解題活動，幫助學生改正解題中的錯誤方法，實現學生良好思維習慣和學習能力的有效形成。
　　摘 要： 本文對解題過程中的問題進行了整理、梳理、匯總和研析，總結出學生易出現錯誤解答的原因：錯誤理解公差的取值而漏解，不能正確理解等差數列的性質，錯用等差數列前幾項和的性質。
　　關鍵詞： 高中數學 等差數列 易錯點
　　
　　等差數列知識點內容是高中數學學科數列章節(jié)知識體系的重要組成部分，是初中數學知識實數知識體系內容的有效升華，是一類特殊的數列。等差數列知識以其自身所具有的性質，在人們日常生活中有著深刻而又廣泛的應用。我通過對等差數列的定義、通項公式、等差中項概念、等差數列性質、等差數列判定方法，以及等差數列前n項和公式的推導和與等差數列的前n項和有關的等差數列的性質等知識內容的教學，發(fā)現學生在等差數列相關問題解答過程中，存在著這樣或那樣的問題。我在教學過程中，對學生解題過程中的問題進行了認真的整理、梳理、匯總和研析，原因主要有以下方面。
　　一、錯誤理解公差的取值而漏解
　　學生作為學習知識的主體，在等差數列概念、性質等內容的學習過程中，由于受思維能力水平局限性的影響（在等差數列中公差的取值可能為正值、負值或0），在解題時往往會主觀地認為公差大于0而造成漏解。在教學活動中，教師要引導學生正確而全面地理解概念及其性質，從而運用全面的思維理念，進行問題的有效解答。
　　例題：已知b是a，c的等差中項，且lg（a+1），lg（b-1），lg（c-1）成等差數列，且a+b+c=15，求a、b、c的值.
　　
　　某一學生解題過程如下：
　　解：∵2b=a+c， a+b+c=15，∴3b=15，b=5.
　　設等差數列a，b，c的公差為d，則a=5-d，c=5+d.
　　∵2lg（b-1）=lg（a+1）+lg（c-1），
　　∴2lg4=lg（5-d+1）+lg（5+d-1）=lg［25-（d-1）］.
　　∴16=25-（d-1）∴（d-1）=9，∴d-1=3，d=4.∴a，b，c依次為1，5，9.
　　通過對等差數列公差的概念和取值方法等內容的分析，發(fā)現該解答過程中，在解（d-1）=9時，開平方得d-1=3，僅取了算術平方根是錯誤的。應該注意到在解題過程中，遇到求某數的算術平方根時一般應求出兩個值，再根據題設條件來決定取舍，如果僅取算術平方根，那么往往會發(fā)生漏解的現象。因此，正確的解答過程如下。
　　解：∵2b=a+c，a+b+c=15，∴3b=15，b=5.
　　設等差數列a，b，c的公差為d，則a=5-d，c=5+d.
　　∵2lg（b-1）=lg（a+1）+lg（c-1），∴2lg4=lg（6-d）+lg（4+d），
　　∴16=（6-d）（4+d），
　　∴d=4或-2，∴a，b，c的值依次是1，5，9或7，5，3.
　　二、不能正確理解等差數列的性質而出現解題錯誤
　　在等差數列{a}中，如果m，n，p，q∈N，且m+n=p+q，則a+a=a+a.但在解答相類似的問題過程中，學生一般會錯誤地將該結果總結為a=a+a.這就要求教師在進行這一問題教學過程中，在進行問題練習的基礎上，還要注意有效引導學生對等差數列的性質內容進行正確理解，找到進行等差數列解答的兩種最基本和最廣泛的性質：（1）若m+n=p+q（m，n，p，q∈N），一定有a+a=a+a（反之亦然）；（2）若（m+n）/2=p（m，n，p∈N），則一定有a+a=2a.從而使學生能夠熟記并靈活運用，實現學生對等差數列性質的正確運用。
　　例題：設{a}是等差數列，a=q，a=p（p≠q），試求a.
　　學生由于對等差數列的性質不能正確地理解，進行了如下解答：
　　∵設{a}是等差數列，∴a=a+a=p+q.
　　這時，我引導學生對等差數列的性質進行復習，學生發(fā)現了上述解題過程錯誤.紛紛說出正確解題過程為：
　　解：∵a=a+（p-1）d，a=a+（q-1）d，∴a+（p-1）d=q，a+（q-1）d=p，
　　組成方程組，得出：（p-q）d=q-p.
　　∵p≠q，∴d=-1.代入方程中，有a+（p-1）（-1）=q，
　　∴a=p+q-1，故a=0.
　　為使學生對等差數列的性質有準確和熟練的掌握和運用，我在進行上述問題訓練活動后，還向學生布置了“已知5個數成等差數列，且它們的和為25，它們的平方和為165，求這5個數.”等凸顯等差數列性質有效運用的綜合性問題，讓學生進行有效訓練，為學生提供進行問題解答的時機，從而為正確高效解答類似問題提供經驗和方法基礎。
　　三、錯用等差數列前n項和的性質
　　等差數列前n項和的性質作為等差數列章節(jié)性質內容的重要部分，是學生掌握等差數列知識內涵，正確解答等差數列問題的重要手段和途徑，但由于學生在解答等差數列{a}的前m項和S的過程中，往往由于思維慣性，經常將S，S-S，S-S成等差數列，誤認為S，S，S成等差數列而導致解題出錯。如在講解“等差數列{a}中，S=10，S=30，求S.”問題時，教師引導學生在進行這一問題解答過程中，有意提醒學生，要注意解答該類問題過程中，要切實避免“S，S-S，S-S成等差數列，誤認為S，S，S成等差數列”情況的發(fā)生。學生在教師的提醒和引導下，通過結合等差數列前n項和的性質解答方法，得出以下解題過程：
　　解：由條件得S=10，S-S=20，由性質得S-S=30，從而S=60.
　　總之，新課程教學目標的提出，為高中數學教師教學活動的開展提出了明確的要求，同時，通過對歷年高考試卷命題知識點的分析，數列內容在整個試卷總分的比重較大，考查的內容中包含了等差數列的知識要點及其性質內容，有效地考查了學生邏輯思維推理能力、運算能力，以及運用數列中的知識和方法分析問題與解決問題的能力。因此，在等差數列知識教學中，教師要善于尋找規(guī)律，找出學生解題錯誤所在，實行“針對性”、“實效性”的解題活動，幫助學生改正解題中的錯誤方法，實現學生良好思維習慣和學習能力的有效形成。
　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”