共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)在初等幾何問題中的應(yīng)用

　　摘 要： 本文通過總結(jié)共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)，將其運(yùn)用于幾何問題，給出了初等幾何證明的新方法。
　　關(guān)鍵詞： 共軛復(fù)數(shù) 復(fù)平面 幾何意義
　　
　　復(fù)數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的內(nèi)容，共軛復(fù)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中只提到概念，而對(duì)于性質(zhì)則沒有涉及，然而共軛復(fù)數(shù)及其性質(zhì)卻在證明初等幾何問題中有廣泛的應(yīng)用.本文就利用共軛復(fù)數(shù)及其性質(zhì)來證明初等幾何中的一些問題.
　　共軛復(fù)數(shù)中，設(shè)z=x+iy，則z的共軛復(fù)數(shù)為=x-iy，顯然||=z， Arg=-Argz（其中Argz表示復(fù)數(shù)z的輻角）.在復(fù)平面上，z與兩點(diǎn)是關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱點(diǎn).性質(zhì)［１］如下：
　?。?）=z， =±
　?。?） =，=（z≠0）
　?。?）|z|=z， Rez=，Imz=
　?。?）設(shè)R（a， b， c， …）表示對(duì)于復(fù)數(shù)a， b， c， …的任一有理運(yùn)算，則：
　　R（a， b， c， …）=R（， ， ， …）.
　　例1.設(shè)z及z是兩個(gè)復(fù)數(shù)，試證：|z+z|=|z|+|z|+2Re（z），并應(yīng)用此等式證明三角不等式|z+z|≤|z|+|z|.
　　證明：∵|z+z|=（z+z）（）=（z+z）（+）
　　=z+z+z+z=|z|+|z|+（z+z）
　　=|z|+|z|+2Re（z）
　　∴等式成立.
　　∵|z+z|=|z|+|z|+2Re（z），且Re（z）≤|z|=|z||z|.
　　|z|+|z|+2Re（z）≤|z|+|z|+2|z|=|z|+|z|+2|zz|
　?。剑▅z|+|z|）.
　　∴|z+z|≤|z|+|z|（等式中等號(hào)成立的條件是向量z，z同向）.
　　例2.證明：|z+z|+|z-z|=2（|z|+|z|），并說明其幾何意義.
　　證明：對(duì)任意復(fù)數(shù)z，由性質(zhì)（3）知|z|=z，則：
　　|z+z|+|z-z|=（z+z）（）+（z-z）（）
　　=（z+z）（）+（z-z）（）
　　=（z+z+z+z）+（z+z-z-z）
　　=2（z+z）=2（|z|+|z|）
　　即|z+z|+|z-z|=2（|z|+|z|）成立.
　　幾何意義：平行四邊形的兩條對(duì)角線的平方和等于它的一組鄰邊和的2倍.
　　例3［２］.若β為單位圓內(nèi)點(diǎn)，α為復(fù)平面上點(diǎn)，證明：＝1，當(dāng)|α|=1<1，當(dāng)|α|>1，當(dāng)|α|>1，并說明其幾何意義.
　　證明：（1）當(dāng)|α|=1時(shí)，由α≠β得，＝=＝=1
　?。?）當(dāng)|α|<1時(shí)，由|α-β|=（α-β）（-）=|α|+|β|－（β-α）
　?。絴α|+|β|-2Re（β）
　　且|1-β|=（1-β）（1-α）＝1+|α||β|－2Re（β）得，
　　|1-β|-|α-β|=1+|α|β-|α|-|β|=（1-|α|）（1-|β|）
　　∵|α|<1， |β|<1∴|1-β|-|α-β|>0，即<1
　　（3）當(dāng)|α|>1時(shí)，同（2）知|1-β|-|α-β|<0，即>1
　　等式的幾何意義：當(dāng)β為單位圓內(nèi)點(diǎn)，α分別為單位圓上，單位圓內(nèi)和單位圓外點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)z=分別在單位圓上、圓內(nèi)和圓外.
　　例4.試證：兩向量（z=x+iy）與（z=x+iy）互相垂直的充要條件是z+z=0.
　　證明：∵⊥∴|z-z|=|z|+|z|
　　則|z-z|=（z-z）（）=z+z-z-z
　　=|z|+|z|-（z+z）
　　由以上兩式可得：z+z=0
　　例5.設(shè)z，z，z滿足條件z+z+z=0及|z|=|z|=|z|=1，試證z，z，z是一個(gè)內(nèi)接于單位圓周的|z|=1的正三角形的頂點(diǎn).
　　證明：由題意知，點(diǎn)z，z，z在單位圓|z|=1上，要想證z，z，z是一個(gè)內(nèi)接于單位圓周的正三角形，只需證|z-z|=|z-z|=|z-z|=.
　　∵z+z+z=0∴|z+z|=|-z|=1
　　∴|z+z|=（z+z）（）=（z+z）（+）=z+z+z+z
　　=|z|+|z|+（z+z）=2+（z+z）
　　則z+z=|z+z|-2=-1
　　∵|z-z|=（z-z）（）=（z-z）（-z）=z+z-z-z
　　=|z|+|z|-（z+z）
　　∴|z-z|=2-（-1）=3，即|z-z|=
　　同理可得：|z-z|=|z-z|=
　　綜上可得，命題成立.
　　
　　參考文獻(xiàn)：
　?。?］鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論［M］.北京:高等教育出版社，2004.
　?。?］孫清華，孫昊著.復(fù)變函數(shù)內(nèi)容.方法與技巧［M］.武漢：華中科技大學(xué)出版社，2003.7.
　　
　　基金項(xiàng)目：安康學(xué)院大學(xué)生科技創(chuàng)新項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：2010AKXYDXSO1）
　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請(qǐng)以PDF格式閱讀”