近世代數(shù)與其他課程的結(jié)合與應(yīng)用

　　摘 要： 本文用具體例子闡述了近世代數(shù)與其他數(shù)學(xué)課程的相互滲透與應(yīng)用。
　　關(guān)鍵詞： 近世代數(shù) 高等代數(shù) 幾何 分析課程 結(jié)合與應(yīng)用
　　
　　近世代數(shù)這門課程具有極高的抽象性，在一定程度上，這門課程中的很多概念是從一些具體的數(shù)學(xué)模型中抽象出的一般結(jié)構(gòu).另外，每一次抽象回到具體，能夠化解一些具體問(wèn)題，甚至能解決一些以前不能解決的問(wèn)題.Galois理論解決方程根的問(wèn)題就是非常典型的一個(gè)例子.并且，近世代數(shù)與其他課程相結(jié)合，具有極大的工具作用.本文就一些具體問(wèn)題，用具體例子闡述近世代數(shù)與其他數(shù)學(xué)課程的相互滲透與應(yīng)用.
　　一、近世代數(shù)與高等代數(shù)
　　近世代數(shù)是高等代數(shù)的后續(xù)課程，近世代數(shù)中的很多一般理論都建立在高等代數(shù)的一些具體的群、環(huán)上，例如，置換群、n階矩陣環(huán)、數(shù)域p上的多項(xiàng)式環(huán)是高等代數(shù)提供的一些具體的代數(shù)結(jié)構(gòu)，這都是我們熟知的.并且這些結(jié)構(gòu)還可以驗(yàn)證近世代數(shù)中的一些結(jié)論，下面就是一個(gè)具體例子：
　　用矩陣環(huán)驗(yàn)證環(huán)論中的一個(gè)結(jié)論，若M，N是環(huán)R的子環(huán)，M+N未必是R的子環(huán).
　　設(shè)R為一個(gè)數(shù)域F上2的全矩陣環(huán)，設(shè)
　　0 x0 0∈M，00y 0∈N，
　　0 x0 0＋00y 0＝0xy0?埸M+N，不封閉，自然不能構(gòu)成子環(huán).
　　二、近世代數(shù)與幾何
　　1.近世代數(shù)也是一些幾何模型的抽象，群的定義引入就用了很多的幾何對(duì)稱圖形［４］［５］.
　　2.近世代數(shù)的一些思想可以通過(guò)具體的幾何圖像得以直觀地解釋，比如陪集的分類思想，見下例：
　　={x∈Ｒ|x=2kπ+r， k∈Ｚ}，（0≦r<2π）是群Ｒ關(guān)于子群H的包含r的一個(gè)陪集.對(duì)于一個(gè)給定的r（0≦r<2π），凡是可以寫成2kπ+r的數(shù)都在中，它們是實(shí)數(shù)軸上相距2k的所有的點(diǎn)組成的點(diǎn)集.
　　3.復(fù)平面上的每個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)復(fù)數(shù)，以下我們把復(fù)平面上的點(diǎn)z稱為復(fù)數(shù)z.
　　以原點(diǎn)為圓心，正實(shí)數(shù)r為半徑畫圓可以得到無(wú)窮多個(gè)同心圓C（r∈R）.如下圖：
　　C=｛z∈C｜｜z｜=r｝， （r∈R）是非零復(fù)數(shù)集合的子集，具有性質(zhì)：
　　1）C=C；
　　2）當(dāng)r≠t時(shí)，C∩C是空集；
　　3）單位圓周C的任意兩個(gè)復(fù)數(shù)的乘積還在C中，非單位圓周C沒有這個(gè)性質(zhì)；
　　4）以原點(diǎn)為起點(diǎn)作射線l與各同心圓相交，交點(diǎn)l∩C=z（r∈R）.所得的復(fù)數(shù)的幅角都相同，只是模不等.設(shè)幅角為θ，z=Re=Rz，則σ：z→z是C到C的雙射；
　　5）以C為元素組成的集合S，即S=﹛C| r∈R﹜.規(guī)定φ：C→r，則φ是S到r到R的雙射.
　　用近世代數(shù)的觀點(diǎn)解釋是：
　?、賃=C={z∈C||z|=1}，（U， ?莓）是（C，?莓）的子群，并且是正規(guī)子群；
　　②C=RU={Rz∈C||z|=1}，C是C關(guān)于子群U的包含r的陪集；
　?、跜等于所有不同陪集的并，C=（rU）；
　　④不同陪集的交是空集，（tU）∩（rU）=?準(zhǔn)（t≠r）；
　?、菝總€(gè)陪集rU與U之間存在雙射σ：re→e;
　?、抟耘慵癁樵亟M成的集合S是C關(guān)于正規(guī)子群U的商集，即C/U=｛rU|r∈R｝=｛C|r∈R｝=S.rU中任一個(gè)數(shù)都可以代表rU，記=rU==……；
　?、咭?guī)定C/U的代數(shù)運(yùn)算.=，則（C/U，?莓）是群；
　?、郈/U到R的雙射Φ:→r〔即5）中的映射φ：C→r〕保持運(yùn)算
　　φ﹙?莓﹚=φ﹙﹚=r?t=φ﹙﹚?φ﹙﹚
　　φ是商群（C/U，?莓）到群﹙R，?莓﹚的同構(gòu)映射，于是C/UR.
　　另外比較典型的一例是二面體群.此例也可以說(shuō)明“用幾何圖形，充分說(shuō)明群是由對(duì)稱抽象得到的結(jié)果”，但因?yàn)橛兄T多文獻(xiàn)闡述幾何對(duì)稱與群的關(guān)系，通過(guò)此例也只是可以再次看到對(duì)稱與群的關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，所以本文不準(zhǔn)備再贅述這種聯(lián)系，主要是用此例說(shuō)明：近世代數(shù)中生成子，生成關(guān)系與群這幾個(gè)概念，以及群的本質(zhì)結(jié)構(gòu)，可以在幾何圖形中得到最好的詮釋.首先來(lái)看二面體群G：如果F是平面上正n邊形，令T為繞中心轉(zhuǎn)，S為對(duì)于某一對(duì)稱軸的鏡面反射，我們可以證明由2n個(gè)元素組成的集合G={T，T，…，T，ST，ST，…ST}是一個(gè)群（其中，T=I，ST=TS，S=I）.
　　根據(jù)群的定義，直接驗(yàn)證可知G是一個(gè)群，但這個(gè)群可以用另外一種方式表達(dá)，即從生成的本質(zhì)上來(lái)予以表達(dá).我們從G的幾何構(gòu)成上很容易看到，G是由生成T，S并且符合生成關(guān)系T=I，ST=TS，S=I，所以G是由二元素生成的自由群的商群，G=（T，S）/N，其中N是由T，STST，S生成的正規(guī)子群.
　　三、近世代數(shù)與分析課程
　　綜合利用近世代數(shù)和分析課程以及其他數(shù)學(xué)知識(shí)，可以解決一些比較困難，甚至表明看起來(lái)無(wú)法解決的一些問(wèn)題.
　　例1.抽象代數(shù)、數(shù)學(xué)分析與組合數(shù)學(xué)的綜合應(yīng)用［６］［７］［８］.
　　設(shè)a，a，…，a是正整數(shù)序列，則至少存在k和l， 1≤k≤l≤m，使得和a+a+…+a是m的倍數(shù).
　　分析：1.正整數(shù)序列除每個(gè)數(shù)是正整數(shù)外，沒有其他特征.而結(jié)論似乎也只有和這個(gè)數(shù)有點(diǎn)聯(lián)系.
　　2.分析結(jié)論，a+a+…+a是m的倍數(shù)其實(shí)就是a+a+…+a≡0（mod m），而m的剩余類共有m類，在分類思想下，對(duì)并無(wú)任何規(guī)律的正整數(shù)序列a，a，…，a似乎有所控制.
　　3. 繼續(xù)分析結(jié)論，a+a+…+a，即是數(shù)學(xué)分析中的和差S-S，這樣結(jié)論就是要S，S這“兩只鴿子”符合關(guān)系S-S≡0（mod m），或者說(shuō)S≡S（mod m）.
　　4. 正整數(shù)序列a，a，…，a雖然無(wú)任何規(guī)律，但由于正整數(shù)的特點(diǎn)：有S　　證：設(shè)S=a， S≡r（mod m ）0≤r≤m-1，（h = 1， 2， …， m）.
　　若存在l， S≡0（mod m ）則命題成立．否則，l≤r≤m-1．但h = 1， 2， …， m．
　　由鴿籠原理，存在r=r， 從而S=S，不妨設(shè) h ＞k．則：
　　S-S=a+a+…+a≡0 （mod m ）.
　　
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　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請(qǐng)以PDF格式閱讀”