幾類廣義Pexider方程的解

肖志濤

（廣州華立學(xué)院, 廣東 廣州 511325）

Pexider方程是Pexider J V在文獻(xiàn)[1]中提出的一組方程，形式如下：

并給出了方程在實(shí)數(shù)域 R上的連續(xù)解。一直以來，很多人致力于這組方程的研究，得到了許多有意義的成果，文獻(xiàn)[2-7]研究了Pexider方程在不同區(qū)域上解的情況，文獻(xiàn)[8-9]討論了可加Pexider方程在集值函數(shù)空間的穩(wěn)定性，文獻(xiàn)[10-14]討論了幾類Pexider方程和時(shí)滯方程在不同賦范空間上的解及穩(wěn)定性。本文研究如下形式的廣義Pexider方程：

其中 αk,βk,γk為常數(shù)，且αkβkγk≠0,(n≥2)。通過賦值轉(zhuǎn)化方法，得到了上述方程的通解。

1 引理及基本準(zhǔn)備

首先，本文給出下面的引理[15-16]：

引理1設(shè)f是定義在 R 上的連續(xù)函數(shù)，如下幾個(gè)方程

f(x)+f(y)=f(x+y)，?x,y∈R

f(x)f(y)=f(x+y)，?x,y∈R

f(x)+f(y)=f(xy)，?x,y∈R+

f(x)f(y)=f(xy)，?x,y∈R+

在不考慮平凡解f≡0的情況下，分別有解為

f(x)=f(1)x，(x∈R)

f(x)=ecx=ax，(c為任意常數(shù)，x∈R)

f(x)=clnx，(c為任意常數(shù)，x∈R+)

f(x)=xc，(c為任意常數(shù)，x∈R+)

下面，將引理1推廣為一般的形式，有

引理2設(shè)f是定義在R 上的連續(xù)函數(shù)，如下幾個(gè)方程

在不考慮平凡解f≡0的情況下，分別有解為

f(x)=f(1)x，(x∈R)

從而有

于是，有

將式(7)、(8)代入方程(1)，整理可得

由引理2可得

φ(x)=φ(1)x

f(x)=ecx=ax，(c為任意常數(shù)，x∈R)

f(x)=clnx，(c為任意常數(shù)，x∈R+)

f(x)=xc，(c為任意常數(shù)，x∈R+)

證明由引理1可得結(jié)論成立。

由式(5)、(6)可得

2 主要結(jié)論及證明

定理1設(shè)fk(1 ≤k≤n+1,n≥2) 是定義在R 上的連續(xù)函數(shù)，廣義Pexider可加方程(1)在不考慮平凡解fk≡0(1 ≤k≤n+1,n≥2)的情況下，有解為

證明在方程(1)中，固定某個(gè)xk=x,令其他n?1個(gè)xk=0，有

定理2設(shè)fk(1 ≤k≤n+1,n≥2) 是定義在 R上的連續(xù)函數(shù)，廣義Pexider指數(shù)方程(2)在不考慮平凡解fk≡0(1 ≤k≤n+1,n≥2)的情況下，有解為

證明由于不考慮平凡解，在方程(2)中固定某個(gè)xk=x, 令其他n?1個(gè)xk=0，有

從而

于是

將式(11)、(12)代入方程(2)，整理可得

由引理2可得，上式有解

φ(x)=ecx=ax，(a>0)

由式(9)、(10)可得

定理3設(shè)fk(1 ≤k≤n+1,n≥2) 是定義 R+上的連續(xù)函數(shù)，廣義Pexider對(duì)數(shù)方程(3)在不考慮平凡解fk≡0(1 ≤k≤n+1,n≥2)的情況下，有解為

證明在方程(3)中固定某個(gè)xk=,令其他n?1個(gè)xk=1，有

從而有

于是，有

將式(15)、(16)代入方程(3)，整理可得

由引理2可得

φ(x)=clnx

由式(13)、(14)可得

證明由于不考慮平凡解，在方程(4)中固定某個(gè)xk=,令其他n?1個(gè)xk=1，有

從而

于是

將式(19)、(20)代入方程(4)，整理可得

由引理2可得，上式有解

φ(x)=xc，(c∈R)

由式(17)、(18)可得