蔗糖溶液中超聲空化泡運動數(shù)值的模擬

黃永春 周 瑩 楊 鋒 任仙娥 何 仁

（廣西工學(xué)院生物與化學(xué)工程系，廣西 柳州 545006）

蔗糖溶液中超聲空化泡運動數(shù)值的模擬

黃永春 周 瑩 楊 鋒 任仙娥 何 仁

（廣西工學(xué)院生物與化學(xué)工程系，廣西 柳州 545006）

為了解超聲場作用下，蔗糖溶液中空化泡動力學(xué)的影響因素及影響規(guī)律，運用Rayleigh－Plesset方程模擬空化泡運動過程。結(jié)果表明：空化泡的振幅隨著超聲波頻率增大而減??；隨著超聲波聲強的增大而增大，空化變易；隨著環(huán)境壓力增大而減小，空化變難；隨著空化泡初始半徑增大而減小，空化強度變?nèi)?；隨蔗糖溶液溫度增大而增大，空化強度加大；隨蔗糖溶液濃度增大而減小，空化強度減小。研究還發(fā)現(xiàn)，雙頻超聲作用的空化效果比單頻超聲作用時強。

蔗糖溶液；超聲；空化泡；動力學(xué)；模擬

超聲波是頻率為20～10MHz的彈性機械振動波。超聲技術(shù)應(yīng)用于化學(xué)、化工領(lǐng)域形成了聲化學(xué)，聲化學(xué)是研究“在聲波作用下加速化學(xué)反應(yīng)或者啟通新的化學(xué)反應(yīng)通道”的一門新的邊緣學(xué)科［1］。聲化學(xué)反應(yīng)的主動力來自聲空化，聲空化把聲場能量集中起來，然后伴隨空化泡崩潰而在極小的空間內(nèi)將其釋放出來，使之在正常溫度與壓力的液體環(huán)境中產(chǎn)生異乎尋常的高溫（高于5 000K）和高壓（高于5×107Pa），形成所謂的“熱點”，從而提高化學(xué)反應(yīng)速度和化工過程，提高化學(xué)產(chǎn)率［2］。

制糖過程是典型的化工過程，超聲波在制糖工業(yè)的應(yīng)用研究，如超聲波強化蔗汁的澄清［3－5］、超聲波防除制糖設(shè)備的積垢［6，7］、超聲強化蔗糖結(jié)晶［8－11］等已有報導(dǎo)，部分研究成果還得到了應(yīng)用。但目前這類研究主要屬于工藝性的研究。本試驗對超聲場作用下蔗糖溶液中空化泡運動進行數(shù)值模擬，探討蔗糖溶液中超聲空化的主要影響因素及其影響規(guī)律，以期為進一步認識制糖過程超聲效應(yīng)作用機理以及優(yōu)化超聲條件提供參考。

1 運動方程及其求解

1.1 超聲空化泡運動基本方程

超聲空化泡運動模型采用Rayleigh－Plesset方程，其表達式如下［12］：

式中：

R——空化泡的半徑，m；

R0——空化泡的初始半徑，m；

P0——作用在空化泡壁上的流體靜壓力，Pa；

Pv——空化泡內(nèi)壓力，Pa；

PA——超聲波作用在空化泡壁上的聲壓振幅，Pa；ρL——液體的密度，kg/m3；

ω——超聲波的角頻度，Hz；

t——時間，s；

σ——液體表面張力系數(shù)，N/m；

μ——液體運動粘滯系數(shù)，Pa·s；

k——氣體多變指數(shù)。

從方程（1）可以看到，空化泡的半徑R隨時間t的變化受到R0、P0、Pv、PA、ρL、ω、σ、μ和k的影響，只要知道上述參量后，即可求出R隨t的變化關(guān)系。為了便于比較各對數(shù)對空化泡運動的影響，研究R/R0隨t/T的變化，T為超聲波作用的周期。

1.2 運動方程的求解

方程（1）為二階非線性常微分方程，難以直接得到它的解析解，可采用數(shù)值迭代法求其數(shù)值解，采用4～5階的龍格－庫塔算法［13］進行求解，初始條件為t＝0，R＝R0，（dR/dt）＝0。

2 結(jié)果與討論

2.1 超聲頻率對空化泡運動的影響

蔗糖溶液濃度c取50°Bx，溫度T取70℃，環(huán)境壓力P0取1.013×105Pa，表面張力系數(shù)近似取σ≈7×10－2N/m，μ＝2.95×10－3Pa·s，ρL＝1.21×103kg/m3，氣泡內(nèi)壓Pv＝2.897×104Pa［14，15］，取R0＝5μm，k＝1.33，應(yīng)用聲強I為0.5W/cm2，頻率f為20，50，120，300kHz的正弦變化的超聲波分別作用，采用方程（1）對蔗糖溶液中空化泡的運動進行數(shù)值模擬，得到空化泡半徑隨時間的變化關(guān)系見圖1。

圖1 蔗糖溶液中超聲頻率對空化泡運動過程的影響Figure 1 Effect of ultrasonic frequency on the kinetic process of cavitation bubble in sugar solution

由圖1可知，在其它條件不變時，空化泡的振幅隨著超聲波頻率的增大而減小，并且空化泡達到最大半徑Rmax的時間也變長了。當頻率為20kHz時，空化泡半徑在1.6個周期左右達到最大值，隨后便開始崩潰，而頻率為50，120，300kHz時在模擬所考察時間范圍內(nèi)發(fā)生周期性的振動。這是因為頻率增大，聲波膨脹和壓縮時間均變短，空化泡來不及增長到太大，同時也來不及壓縮至崩潰。另一方面，頻率越高，超聲波在液體中的能量衰減越快，要獲得同樣的超聲化學(xué)效應(yīng)，所需要付出的能量也越大。因此，為了提高超聲波在蔗糖溶液中的空化效應(yīng)，在其它條件保持相同時，應(yīng)該采用低頻超聲波。

2.2 超聲聲強對空化泡運動的影響

蔗糖溶液模擬體系的c、T、P0、σ、μ、ρL、Pv、R0、k取值和2.1相同，應(yīng)用頻率f為20kHz，聲強I為0.2，0.5，1，10，100W/cm2的正弦變化的超聲波分別作用，模擬得到蔗糖溶液中空化泡半徑隨時間的變化關(guān)系見圖2。

圖2 蔗糖溶液中超聲聲強對空化泡運動過程的影響Figure 2 Effect of ultrasonic intensity on the kinetic process of cavitation bubble in sugar solution

由圖2可知，在其它條件不變時，空化泡的振幅隨著超聲波聲強的增大而增大，并且空化泡的振動周期也變長。當聲強為0.2W/cm2，蔗糖溶液中形成的是穩(wěn)態(tài)空化泡，并且表現(xiàn)出非線性振蕩的特征；當聲強達到0.5W/cm2以上時，蔗糖溶液中形成的是瞬態(tài)空化泡。當聲強為0.5W/cm2時，空化泡振蕩3個周期后即崩潰；當聲強為1，10W/cm2時，空化泡振蕩1個周期后即崩潰，而聲強為100W/cm2時，空化泡便又振蕩2個周期后才崩潰。說明穩(wěn)態(tài)空化過程可在較低的聲強下發(fā)生，而瞬態(tài)空化只能在較大聲強作用下才可發(fā)生；而且，聲強增大，空化泡運動將更加劇烈。然而，當聲強增大到一定程度時（本模擬條件下為100W/cm2），由于空化泡在聲波膨脹相內(nèi)可能增大較大，在第1個周期內(nèi)來不及發(fā)生崩潰，從而延緩了其崩潰時間。因此，為了提高瞬態(tài)空化效應(yīng)，在其它條件保持相同時，存在一個聲強的下限和上限。

2.3 環(huán)境壓力對空化泡運動的影響

蔗糖溶液模擬體系的c、T、σ、μ、ρL、Pv、R0、k取值和2.1相同，環(huán)境壓力P0分別取5.066×104，1.013×105，1.520×105，2.027×105Pa，應(yīng)用超聲波頻率f為20kHz，聲強I為0.5W/cm2的正弦變化的超聲波作用，模擬得到蔗糖溶液中空化泡半徑隨時間的變化關(guān)系見圖3。

由圖3可知，其它條件不變時，當環(huán)境壓力增大，空化運動過程中振幅將趨于變小，空化變得困難，且在較低壓力條件下，空化過程為瞬態(tài)空化，較高壓力下則為穩(wěn)態(tài)空化。對于本研究，當環(huán)境壓力不大于1個標準大氣壓時，應(yīng)用超聲波頻率f為20kHz，聲強I為0.5W/cm2的正弦變化的超聲波作用于濃度為50°Bx、溫度為70℃蔗糖溶液體系，將發(fā)生瞬態(tài)空化，而當環(huán)境壓力達到1.5個標準大氣壓以上時，則發(fā)生的是穩(wěn)態(tài)空化過程。但同時也可以看到，1個標準大氣壓的環(huán)境壓力下空化泡最大的Rmax大于0.5個標準大氣壓環(huán)境壓力下的空化泡Rmax，但其崩潰的時間也相應(yīng)延長了。因此，在應(yīng)用過程中，要綜合考濾環(huán)境壓力。

圖3 蔗糖溶液中環(huán)境壓力對空化泡運動過程的影響Figure 3 Effect of ambient pressure on the kinetic process of cavitation bubble in sugar solution

2.4 氣泡初始半徑對空化泡運動的影響

蔗糖溶液模擬體系的c、T、P0、σ、μ、ρL、Pv、k取值和2.1相同，分別取氣泡初始半徑分別為1，5，10，50μm，應(yīng)用超聲波頻率f為20kHz，聲強I為0.5W/cm2的正弦變化的超聲波作用，模擬得到蔗糖溶液中空化泡半徑隨時間的變化關(guān)系見圖4。

圖4 蔗糖溶液中空化泡初始半徑對空化泡運動過程的影響Figure 4 Effect of original radius on the kinetic process of cavitation bubble in sugar solution

由圖4可知，其它條件不變時，空化運動過程中Rmax/R0隨空化泡初始半徑增大而減小，并且其崩潰時間也趨于變長，空化劇烈程度變?nèi)?。對于本試驗?zāi)M體系，當R0達到50 μm時，空化泡逐漸變大，在考察的6個周期內(nèi)不發(fā)生崩潰。

2.5 溶液溫度對空化泡運動的影響

蔗糖溶液模擬體系的表面張力系數(shù)變化不大，且其對空化泡運動的影響很?。?6］，在本試驗的模擬條件范圍內(nèi)，蔗糖溶液的表面張力可近似取σ≈7×10－2N/m，μ、ρL、Pv隨溶液溫度T的變化對應(yīng)的參數(shù)值見表1（數(shù)據(jù)引自文獻［14］、［15］，其中部分數(shù)據(jù)根據(jù)文獻［14］、［15］的數(shù)據(jù)擬合得到），c、P0、k取值和2.1相同，分別取溶液溫度40，50，60，70℃，應(yīng)用超聲波頻率f為20kHz，聲強I為0.5W/cm2的正弦變化的超聲波作用，模擬得到蔗糖溶液中空化泡半徑隨時間的變化關(guān)系見圖5。

表1 蔗糖溶液中不同溫度對應(yīng)的μ、ρL、Pv值Table 1 The Values of parameter ofμ、ρL、Pv in sugar solution varies with temperature of solution

由表1可知，溫度的改變，主要影響?zhàn)ざ纫约皻馀輧?nèi)壓力的大小。① 溫度增大，溶液粘度變小，空泡膨脹所需克服的液體分子間力變小，空化容易發(fā)生，空化泡的振幅增大；② 溫度增大，空化泡內(nèi)壓力增大，空化泡在聲波膨脹相內(nèi)的振幅逐漸增大，但在聲波壓縮相內(nèi)，作用于空化泡的總壓力減小，因而空化泡在聲波壓縮相內(nèi)的振幅變小。溫度對空化泡運動過程的影響，是上述因素綜合作用的結(jié)果。從模擬的結(jié)果看，要強化蔗糖溶液的空化效應(yīng)，在模擬所選的溫度范圍內(nèi)，70℃效果最好。

圖5 蔗糖溶液中溫度對空化泡運動過程的影響Figure 5 Effect of temperature on the kinetic process of cavitation bubble in sugar solution

由圖5可知，其它條件不變時，在相同的運動時刻，空化泡運動過程中振幅隨蔗糖溶液溫度增大而增大，空化劇烈程度加大，而且溫度增大，空化泡從產(chǎn)生至崩潰所經(jīng)歷的時間趨于變短。

2.6 溶液濃度對空化泡運動的影響

蔗糖溶液的μ、ρL、Pv隨溶液濃度c的變化對應(yīng)的參數(shù)值見表2（數(shù)據(jù)引自文獻［14］、［15］，其中部分數(shù)據(jù)根據(jù)文獻［14］、［15］的數(shù)據(jù)擬合得到），T、σ、P0、k取值和2.1相同，分別取溶液濃度為20，40，60，75°Bx，應(yīng)用超聲波頻率f為20kHz，聲強I為0.5W/cm2的正弦變化的超聲波作用，模擬得到蔗糖溶液中空化泡半徑隨時間的變化關(guān)系見圖6。

表2 不同濃度蔗糖溶液對應(yīng)的μ、ρL、Pv值Table 2 The Values of parameter ofμ、ρL、Pvin sugar solution varies with concentration of solution

由表2可知，濃度的改變，主要影響溶液黏度、溶液密度以及氣泡內(nèi)壓力的改變。① 濃度增大，溶液黏度變大，空泡膨脹所需克服的液體分子間力變大，空化發(fā)生趨于困難，空化泡的振幅減??；② 濃度增大，空化泡內(nèi)壓力減小，空化泡在聲波膨脹相內(nèi)的振幅逐漸減小，但在聲波壓縮相內(nèi)，作用于空化泡的總壓力增大，因而空化在聲波壓縮相內(nèi)的振幅變大；此外，濃度增大，空化也變得趨于困難，但密度對空化泡運動的影響較小，在本試驗中可以忽略。溫度對空化泡運動過程的影響，是上述因素綜合作用的結(jié)果?？傮w而言，蔗糖溶液越小，空化劇烈程度越劇烈。

圖6 蔗糖溶液濃度對空化泡運動過程的影響Figure 6 Effect of concentration on the kinetic process of cavitation bubble in sugar solution

由圖6可知，其它條件不變時，空化運動過程中振幅隨蔗糖溶液濃度增大而減小，空化劇烈程度減?。欢覞舛仍龃蟮侥骋粩?shù)值，空化泡從瞬態(tài)空化轉(zhuǎn)變?yōu)榉€(wěn)態(tài)空化。

2.7 雙頻作用對空化泡運動的影響

蔗糖溶液模擬體系的c、T、P0、σ、μ、ρL、Pv、R0、k取值和2.1相同，應(yīng)用頻率f為20kHz，聲強I為1W/cm2的單頻超聲波，以及雙頻組合為20kHz＋50kHz，20kHz＋500kHz，20kHz＋1 000kHz，每個單頻聲強I均為0.5W/cm2的正弦變化的超聲波分別作用，模擬得到蔗糖溶液中空化泡半徑隨時間的變化關(guān)系見圖7。

圖7 蔗糖溶液中雙頻超聲波對空化泡運動過程的影響Figure 7 Effect of dual－frequeney ultrasonic on the kinetic process of cavitation bubble in sugar solution

由圖7可知，在其它條件不變，在保持總聲強一定時（1W/cm2），雙頻超聲空化泡的振幅較單頻超聲的振幅大，但隨著雙頻超聲中較高頻率的超聲的頻率增大而減小；此外，雙頻超聲作用產(chǎn)生的空化泡達到最大半徑Rmax的時間較單頻超聲長。當頻率為20kHz時，空化泡半徑在0.6個周期左右達到最大值，隨后在0.8個周期左右崩潰，而頻率為20kHz＋50kHz，20kHz＋500kHz，20kHz＋1 000kHz時，空化泡半徑在1.6個周期左右達到最大值，在1.9個周期左右崩潰。為了提高超聲波在蔗糖溶液中的空化效應(yīng)，在聲強一定時和其它條件保持不變時，可考慮采用雙頻超聲，提高空化效果。

3 結(jié)論

通過采用Rayleigh－Plesset方程對蔗糖溶液中超聲空化泡的運動動力學(xué)進行模擬，從理論上獲得了蔗糖溶液中超聲空化泡的運動影響因素影響的大小及其影響規(guī)律。結(jié)果表明：① 空化泡的振幅隨著超聲波頻率的增大而減??；② 空化泡的振幅隨著超聲波聲強的增大而增大，并且空化泡的振動周期變長；③ 環(huán)境壓力增大，空化運動過程中振幅將趨于變小，空化變得困難；④ 空化運動過程中Rmax/R0隨空化泡初始半徑增大而減小，并且其崩潰時間也趨于變長，空化劇烈程度變?nèi)?；⑤空化運動過程中振幅隨蔗糖溶液溫度增大而增大，空化劇烈程度加大；⑥ 空化運動過程中振幅隨蔗糖溶液濃度增大而減小，空化劇烈程度減?。虎?雙頻超聲作用的空化效果比單頻超聲作用時強。

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Numerical simulation on the dynamics for the ultrasonic cavitation bubble in sugar solution

HUANG Yon－chun ZHOU Ying YANG Feng RENXian－eHE Ren

（Department of Biological and Chemical Engineering，Guangxi University of Technology，Liuzhou，Guangxi545006，China）

In order to understand the effects of each parameter on the ultrasonic cavitation bubble dynamics in sugar solution，the motion of the bubble was simulated by using the Rayleigh－Plesset equation.It was shown that with the increasing of ultrasonic frequency the amplitude of cavitation bubble decreased.Meanwhile with the increasing of ultrasonic intensity the amplitude of cavitation bubble increased，and the ultrasonic cavitation became easier.It was founded that with lower ambient pressure，smaller initial radius of bubble，and higher sugar concentration the amplitude of cavitation bubble increased，and the cavitation intensity became weaken；with the increasing of temperature the cavitation intensity became stronger.The investigation also indieatesd that the cavitation intensity due to dual－frequeney ultrasonic was stronger than the cavitation intensity due to single－frequeney ultrasonic.

sugar solution；ultrasound；cavitation bubble；dynamics；simulation

10.3969 /j.issn.1003－5788.2011.06.005

廣西科學(xué)基金項目資助（編號：桂科自0832063）

黃永春（1974－），男，廣西工學(xué)院教授，博士。E－mail：huangyc＠yeah.net

2011－08－01