超音速聲強(qiáng)近似測量方法

王文璟，張永斌

(1.銅陵職業(yè)技術(shù)學(xué)院，安徽 銅陵 244061；2.合肥工業(yè)大學(xué) 噪聲振動(dòng)工程研究所，合肥 230009)

結(jié)構(gòu)受到激勵(lì)產(chǎn)生彎曲波、縱波或橫波等彈性波，它們在結(jié)構(gòu)里的傳播帶動(dòng)附近的空氣形成聲波并向外輻射。這就是結(jié)構(gòu)聲的產(chǎn)生機(jī)理。根據(jù)結(jié)構(gòu)波傳播速度與聲速的相互關(guān)系，這些結(jié)構(gòu)波可以分為兩類：亞音速波(傳播速度小于聲速)和超音速波(傳播速度大于聲速)。其中超音速波引起的噪聲能夠輻射到遠(yuǎn)場，是環(huán)境噪聲污染的主要組成部分；而由于結(jié)構(gòu)表面相鄰區(qū)域振動(dòng)的抵消作用，亞音速波無法輻射到遠(yuǎn)場，只存在于結(jié)構(gòu)的近場區(qū)域。因此識(shí)別超音速結(jié)構(gòu)波引起的聲源振動(dòng)對于有效控制振動(dòng)結(jié)構(gòu)的噪聲輻射具有重要意義。

聲強(qiáng)(通常是有功聲強(qiáng))測量是一種常用的識(shí)別聲源和評價(jià)聲源強(qiáng)度的方法，但是由于亞音速結(jié)構(gòu)波的存在，在有些位置處聲強(qiáng)的正負(fù)值會(huì)互相抵消，導(dǎo)致難以識(shí)別引起遠(yuǎn)場聲輻射的聲源區(qū)域。為解決該問題，Williams于1995年首次提出了超音速聲強(qiáng)(supersonic acoustic intensity)的概念，并用于水下柱殼的聲源識(shí)別[1]。特別需要注意，這里的“超音速”與常規(guī)含義不同，超音速聲強(qiáng)指的是傳播速度高于聲速的結(jié)構(gòu)波引起的聲強(qiáng)分布。這一概念被提出以后，相繼被擴(kuò)展到平面型結(jié)構(gòu)[2-6]和任意形狀結(jié)構(gòu)的聲源識(shí)別[7-10]。在超音速聲強(qiáng)的基礎(chǔ)上，近年來又延伸出了非負(fù)聲強(qiáng)(non-negative acoustic intensity)的概念[11-12]。

在測量超音速聲強(qiáng)時(shí)，既可以先測量聲壓，也可以先測量質(zhì)點(diǎn)振速，然后通過近場聲全息技術(shù)[13-17]計(jì)算出聲源表面的聲壓和質(zhì)點(diǎn)振速，接下來對聲壓和質(zhì)點(diǎn)振速進(jìn)行波數(shù)域?yàn)V波，去除輻射圓之外的所有倏逝波成分(對應(yīng)亞音速結(jié)構(gòu)波)，只保留輻射圓之內(nèi)的傳播波成分(對應(yīng)超音速結(jié)構(gòu)波)。濾波后的聲壓和質(zhì)點(diǎn)振速分別被稱為超音速聲壓和超音速質(zhì)點(diǎn)振速。最后，在超音速聲壓和質(zhì)點(diǎn)振速的基礎(chǔ)上，采用與有功聲強(qiáng)相同的定義方法計(jì)算超音速聲強(qiáng)。從上述過程可以看到，超音速聲強(qiáng)只需近場測量數(shù)據(jù)，卻能表征聲源的遠(yuǎn)場輻射信息，因此可作為噪聲控制的一個(gè)重要依據(jù)。近年來，超音速聲強(qiáng)還常被用于分析聲學(xué)黑洞的作用機(jī)理和振動(dòng)噪聲控制效果[18-19]。

在已有的超音速聲強(qiáng)測量方法中，需要首先測量聲源表面或近場的法向質(zhì)點(diǎn)振速或聲壓。目前測試這兩個(gè)參量的方法有快照法和掃描法兩種。其中，快照法使用大通道數(shù)測試設(shè)備和大型傳感器陣列同時(shí)測量聲場或振動(dòng)信號。該方法雖然適用于任意聲源信號，但是所需測試硬件設(shè)備的成本過高，而且不適合在空間較小的環(huán)境中使用。掃描法使用小通道數(shù)測試設(shè)備和小型傳感器陣列分步掃描測量聲場，所需測試硬件設(shè)備的成本低，因此是聲陣列測量中的常用方法。但是掃描法需要與聲源相關(guān)的參考信號而且要求參考信號的數(shù)目大于潛在聲源的數(shù)目，來輔助消除不同次測量之間的相位差[20-21]。但在實(shí)際應(yīng)用中，聲源的數(shù)目和位置是未知的，因此難以獲得滿足要求的參考信號。

為解決超音速聲強(qiáng)測量受硬件成本和參考信號限制的問題，本文提出一種超音速聲強(qiáng)近似測量方法。在該方法中，使用傳統(tǒng)的聲強(qiáng)探頭進(jìn)行掃描測量。由于復(fù)聲壓和法向質(zhì)點(diǎn)振速在每一點(diǎn)都是同步測量，初始相位互相抵消，因此傳統(tǒng)的有功聲強(qiáng)這一參量在不同的測量點(diǎn)不受初始相位的影響，因此也就無需參考信號。然后對有功聲強(qiáng)直接進(jìn)行波數(shù)域?yàn)V波，得到近似的超音速聲強(qiáng)。需要說明的是，通過本文方法測量得到的超音速聲強(qiáng)與Williams的定義有所不同，跳過了超音速聲壓和質(zhì)點(diǎn)振速的計(jì)算，直接從傳統(tǒng)聲強(qiáng)計(jì)算超音速聲強(qiáng)，因此是一種近似方法。但是理論推導(dǎo)和數(shù)值驗(yàn)證表明本文定義的近似超音速聲強(qiáng)具有傳統(tǒng)超音速聲強(qiáng)的特性，而且可以有效識(shí)別引起遠(yuǎn)場聲輻射的聲源區(qū)域。

1 理 論

1.1 準(zhǔn)確超音速聲強(qiáng)的定義與計(jì)算

假設(shè)時(shí)間簡諧因子為e-iωt,那么在平面z上的波數(shù)域聲壓P(kx,ky,z)和法向質(zhì)點(diǎn)振速U(kx,ky,z)可以表示為

(1)

(2)

式中，kx和ky分別為x和y方向的波數(shù)分量，p(x,y,z)和u(x,y,z)分別表示平面z上的空間域聲壓和法向質(zhì)點(diǎn)振速。

對波數(shù)域聲壓和質(zhì)點(diǎn)振速進(jìn)行濾波，去除輻射圓(Radiation Circle)之外的倏逝波成分，可以分別得到超音速聲壓和質(zhì)點(diǎn)振速為

(3)

(4)

基于式(3)和式(4)以及傳統(tǒng)的有功聲強(qiáng)的定義，Williams提出的超音速聲強(qiáng)的定義為

(5)

式中，上標(biāo)*表示復(fù)數(shù)共軛，Re表示取復(fù)數(shù)的實(shí)部。經(jīng)過數(shù)學(xué)證明，可以發(fā)現(xiàn)通過式(5)定義的超音速聲強(qiáng)計(jì)算得到的聲功率與通過傳統(tǒng)的有功聲強(qiáng)，即下文式(6)，計(jì)算得到的聲功率相等。這也是式(5)中的I(s)(x,y,z)之所以被稱為聲強(qiáng)的根本原因。

在測量超音速聲強(qiáng)時(shí)，為降低測試成本，通常使用掃描法測量聲壓(或質(zhì)點(diǎn)振速)，然后使用近場聲全息技術(shù)計(jì)算對應(yīng)的質(zhì)點(diǎn)振速(或聲壓)，最后將其代入式(1)～(5)計(jì)算得到超音速聲強(qiáng)I(s)(x,y,z)。但是如引言中所述，使用掃描法測量時(shí)，存在參考信號難以獲取的限制。

1.2 近似超音速聲強(qiáng)的定義與計(jì)算

傳統(tǒng)的有功聲強(qiáng)的定義為

(6)

關(guān)于有功聲強(qiáng)測量方法的研究是一個(gè)經(jīng)典問題，目前已經(jīng)研發(fā)出了多種聲強(qiáng)探頭用于有功聲強(qiáng)的測量[22-23]。這些探頭可以分為兩類：一類是使用兩個(gè)或多個(gè)傳聲器，所需的質(zhì)點(diǎn)振速通過聲壓的有限差分獲得；一類是同時(shí)使用傳聲器和質(zhì)點(diǎn)振速傳感器(如Microflown)，直接實(shí)現(xiàn)有功聲強(qiáng)的測量。不管使用哪類聲強(qiáng)探頭，測試有功聲強(qiáng)時(shí)，不同的傳感器在同一個(gè)點(diǎn)都是同時(shí)進(jìn)行測量，因此它們的測量信號具有相同的初始相位。而且由于在式(6)中，質(zhì)點(diǎn)振速進(jìn)行了共軛運(yùn)算，因此最終的聲壓和質(zhì)點(diǎn)振速的初始相位被抵消。也就是說使用掃描法測試不同位置的有功聲強(qiáng)時(shí)不受初始相位變化的影響。雖然有功聲強(qiáng)具有這一優(yōu)點(diǎn)，但是由于亞音速結(jié)構(gòu)波的存在，式(6)定義的有功聲強(qiáng)在有些位置處的正負(fù)值會(huì)互相抵消，導(dǎo)致使用該參量不適合用于識(shí)別引起遠(yuǎn)場聲輻射的主要聲源區(qū)域[1-4]。

基于上述討論，將有功聲強(qiáng)和超音速聲強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)相結(jié)合，本文定義一種近似的超音速聲強(qiáng)。在聲源附近測量得到式(6)定義的有功聲強(qiáng)之后，通過二維空間Fourier變換計(jì)算其波數(shù)譜IK(kx,ky,z)

(7)

然后通過對IK(kx,ky,z)直接進(jìn)行波數(shù)域?yàn)V波，去除輻射圓之外的倏逝波成分，只保留輻射圓之內(nèi)的傳播波成分，得到近似的超音速聲強(qiáng)為

(8)

式中，Sr與式(3)和式(4)中的含義相同。

檢驗(yàn)公式(8)中超音速聲強(qiáng)的定義是否合理的關(guān)鍵是由該聲強(qiáng)計(jì)算得到的聲功率是否與由式(6)定義的有功聲強(qiáng)計(jì)算得到的聲功率相同。由式(6)計(jì)算得到的聲功率為

(9)

對比式(9)與式(7)可以發(fā)現(xiàn)kx=ky=0時(shí)，兩者相等，即Ψ(z)=IK(0,0,z)。

由式(8)計(jì)算得到的聲功率為

ΨI(s)(z)=

IK(0,0,z)

(10)

因此Ψ(z)=ΨI(s)(z)，也就是說式(8)中定義的參量II(s)(x,y,z)同樣具有聲強(qiáng)的含義。從定義上來說，式(5)中的準(zhǔn)確超音速聲強(qiáng)分別對聲壓和質(zhì)點(diǎn)振速進(jìn)行波數(shù)域?yàn)V波，因此傳播波和倏逝波的定義和界限非常明確；但是如式(6)所示，有功聲強(qiáng)是由聲壓和質(zhì)點(diǎn)振速的共軛相乘得到，因此聲壓和質(zhì)點(diǎn)振速分別對應(yīng)的波數(shù)會(huì)相互疊加或相減，類似于三角函數(shù)的積化和差，導(dǎo)致一些原本不屬于輻射圓內(nèi)的波數(shù)通過相互運(yùn)算后產(chǎn)生位于輻射圓內(nèi)的波數(shù)。因此，式(8)給出的超音速聲強(qiáng)定義雖然可以濾除部分倏逝波的影響且能保證聲功率不變，從而可以有效識(shí)別引起遠(yuǎn)場聲輻射的聲源區(qū)域，但是不能完全消除倏逝波的影響，因此本文將其稱為“近似超音速聲強(qiáng)”。

近似超音速聲強(qiáng)的測量和計(jì)算流程如圖1所示。首先使用聲強(qiáng)探頭在聲源的近場逐點(diǎn)掃描測量法向有功聲強(qiáng)I(x,y,z)，這里假設(shè)法向方向?yàn)閦向，需要注意掃描時(shí)要求x和y方向的測點(diǎn)間隔(即空間采樣頻率)保持不變，以滿足空間Fourier變換的要求。然后對I(x,y,z)進(jìn)行二維空間Fourier變換，得到法向有功聲強(qiáng)的波數(shù)域譜IK(kx,ky,z)。由于計(jì)算過程使用了二維空間Fourier變換，因此與文獻(xiàn)[2]中提出的準(zhǔn)確超音速聲強(qiáng)類似，這里要求測量面為平面。接下來對波數(shù)域譜IK(kx,ky,z)進(jìn)行低通濾波，將輻射圓之外的波數(shù)域譜置零。最后對濾波后的IK(kx,ky,z)進(jìn)行反空間Fourier變換，得到近似超音速聲強(qiáng)II(s)(x,y,z)。

圖1 近似超音速聲強(qiáng)測量和計(jì)算流程Fig.1 Measurement and computational flow of the approximate supersonic acoustic intensity

從計(jì)算角度來說，近似超音速聲強(qiáng)的誤差主要來源于空間Fourier變換。根據(jù)上文的變換公式可以看到空間Fourier變換的積分區(qū)域是無限大的平面，但實(shí)際中只能在有限尺寸的平面上進(jìn)行掃描測量，也就是說需要對空間進(jìn)行截?cái)?。由于空間截?cái)?，空間Fourier變換中會(huì)引入卷繞誤差。減小卷繞誤差的有效方法是對測量數(shù)據(jù)進(jìn)行補(bǔ)零。

2 準(zhǔn)確和近似超音速聲強(qiáng)的對比

2.1 無限大障板上的點(diǎn)源

首先以無限大障板上的點(diǎn)源為例進(jìn)行對比，選擇這個(gè)算例的原因是其超音速聲強(qiáng)能夠推導(dǎo)出解析公式。假設(shè)源強(qiáng)為Q的點(diǎn)源位于z=0處的障板上，那么聲源表面的法向質(zhì)點(diǎn)振速u(x,y,0)=Qδ(x)δ(y),聲源表面的聲壓可以通過Rayleigh積分得到：

(11)

則根據(jù)式(6)，得到有功聲強(qiáng)為

(12)

將式(12)代入式(7)，得到I(x,y,0)的波數(shù)譜為

(13)

將式(13)代入式(8)，并引入極坐標(biāo)變換：kx=kρcosθ,ky=kρsinθ,x=ρcosφ,y=ρsinφ,則可以推導(dǎo)得到近似超音速聲強(qiáng)為

II(s)(x,y,0)=

(14)

式中，J0和J1分別為0階和1階第一類Bessel函數(shù)，上式的推導(dǎo)過程中使用了積分恒等式：

對公式(14)中的II(s)(x,y,0)在整個(gè)聲源面上進(jìn)行積分，可得聲功率為

(15)

將式(12)代入式(9)可得通過有功聲強(qiáng)計(jì)算得到的聲功率，其結(jié)果與式(15)相同。通過這個(gè)算例進(jìn)一步證明了本文定義的近似超音速聲強(qiáng)保持了聲功率不變，具有聲強(qiáng)的特性。

在文獻(xiàn)[2]中，針對這個(gè)算例，Williams給出了準(zhǔn)確超音速聲強(qiáng)的表達(dá)式為

(16)

對比式(14)和式(16)可以發(fā)現(xiàn)，對于無限大障板上的點(diǎn)源而言，本文定義的近似超音速聲強(qiáng)與Williams定義的超音速聲強(qiáng)僅差sin(kρ)/kρ一項(xiàng)。圖2給出了除以ρck2Q2/(8π2)之后的歸一化超音速聲強(qiáng)的對比，其中圖2(a)為線性值，圖2(b)為對數(shù)值。從圖2(a)中可以看到，雖然超音速聲強(qiáng)II(s)不如I(s)集中，但是也可以有效地識(shí)別出對應(yīng)遠(yuǎn)場聲輻射的聲源區(qū)域。上述結(jié)論從圖2(b)也可得到，雖然II(s)的旁瓣比I(s)的旁瓣峰值更大，但是主瓣的峰值相同，主瓣的中心位置也相同。另外從圖2中的I(s)的曲線可以看到，準(zhǔn)確超音速聲強(qiáng)基本沒有負(fù)值，因此不存在聲源附近的聲場正負(fù)抵消問題；相比I(s)，本文定義的II(s)的負(fù)值數(shù)目有所增加，因此II(s)是超音速聲強(qiáng)的近似參量，而不是等價(jià)參量。

(a) 線性值

(a) 準(zhǔn)確超音速聲強(qiáng)

2.2 無限大障板中的簡支板

該簡支板為0.003 m厚的鋁板，其長和寬為2 m×2 m。幅值為500 N的簡諧力作用在該板的中心對其進(jìn)行激勵(lì)。簡諧力的頻率滿足kL=3π，其中L=2 m為簡支板的邊長。板表面的法向位移由(11,9)階模態(tài)振型產(chǎn)生，距離板表面0.02 m處的聲場通過Rayleigh積分?jǐn)?shù)值計(jì)算得到。根據(jù)文獻(xiàn)[2]和文獻(xiàn)[24]可知，(11,9)階模態(tài)角模態(tài)(Corner modal)，即只有四個(gè)角的區(qū)域是形成遠(yuǎn)場聲輻射的主要振動(dòng)區(qū)域，而其他區(qū)域的振動(dòng)形成了能量循環(huán)，因此并不向遠(yuǎn)場輻射。

針對該算例，兩種超音速聲強(qiáng)I(s)和II(s)的計(jì)算結(jié)果如圖3所示。從圖中可以看到在I(s)中基本不包含負(fù)值，但是在II(s)中仍然存在一些負(fù)值，表明在II(s)中仍然殘留一些局部能量循環(huán)。圖4中給出了相同表面上的有功聲強(qiáng)計(jì)算結(jié)果，可以明顯看到在簡支板中間交叉出現(xiàn)正值和負(fù)值，但是這些位置處的能量僅僅形成局部循環(huán)，并不對遠(yuǎn)場聲輻射做出貢獻(xiàn)。通過圖3和圖4的對比可以發(fā)現(xiàn)，相比有功聲強(qiáng)，本文定義的超音速聲強(qiáng)II(s)消除了局部能量循環(huán)導(dǎo)致的干擾聲源，突出了邊角模態(tài)振型，有效地識(shí)別出了引起遠(yuǎn)場聲輻射的聲源位置。

圖4 無限大障板中的簡支板對應(yīng)的有功聲強(qiáng)Fig.4 Active acoustic intensity of a simply supported plate in an infinite baffle

2.3 試 驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)場景如圖5所示，聲源為一塊鋁板，其尺寸為0.44 m×0.44 m×0.003 m，該板做為其中一個(gè)面被安裝在一個(gè)箱體上，箱體的其他幾個(gè)面為硬質(zhì)纖維板，并在箱體中安裝一個(gè)音箱驅(qū)動(dòng)鋁板振動(dòng)。信號采集和發(fā)生設(shè)備為B&K公司的“PULSE”分析儀(型號3560)。

圖5 試驗(yàn)場景Fig.5 Experimental arrangement

為進(jìn)行對比，以分析儀產(chǎn)生的信號為參考，應(yīng)用集成了傳聲器和Microflown質(zhì)點(diǎn)振速傳感器的1/2英寸p-u聲強(qiáng)探頭，在尺寸為0.425 m×0.45 m的平面上，掃描測量了聲壓和質(zhì)點(diǎn)振速，測量點(diǎn)數(shù)為18×19點(diǎn)，測量面與板表面之間的距離為0.045 m。將測量得到的聲壓和質(zhì)點(diǎn)振速代入式(3)～(5)可以計(jì)算得到準(zhǔn)確的超音速聲強(qiáng)。將測量得到的有功聲強(qiáng)代入式(8)可以計(jì)算得到近似超音速聲強(qiáng)。但是需要注意，為實(shí)現(xiàn)掃描測量聲壓和質(zhì)點(diǎn)振速，引入了預(yù)知的輸入信號作為參考信號，但在實(shí)際中激勵(lì)來源和輸入信號是難以獲取的；相對地，測量有功聲強(qiáng)的過程則不需要任何參考信號。這就是本文方法的優(yōu)勢所在。

圖6和圖7分別給出了在200、800、1 000和2 000 Hz處的準(zhǔn)確和近似超音速聲強(qiáng)實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果。通過兩圖的對比可知，除1 000 Hz外，近似超音速聲強(qiáng)結(jié)果均與準(zhǔn)確超音速聲強(qiáng)結(jié)果比較接近，兩者都能定位出主要聲源位置，但是相對而言，準(zhǔn)確超音速聲強(qiáng)結(jié)果干擾更少，聲源位置更為突出。在1 000 Hz時(shí)，如圖6所示，準(zhǔn)確超音速聲強(qiáng)出現(xiàn)了較為明顯的負(fù)值，也就是說在這個(gè)頻率處，兩種方法的測量結(jié)果都存在較大誤差。

圖6 準(zhǔn)確超音速聲強(qiáng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.6 Experimental results of the accurate supersonic acoustic intensity

圖7 近似超音速聲強(qiáng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.7 Experimental results of the approximate supersonic acoustic intensity

3 結(jié) 論

本文提出了一種超音速聲強(qiáng)的近似測量方法，在該方法中利用了傳統(tǒng)有功聲強(qiáng)測量不受初始相位影響的優(yōu)勢，通過在波數(shù)域?yàn)V除有功聲強(qiáng)的倏逝波成分，得到近似的超音速聲強(qiáng)。在使用掃描法測量的過程中，不需要任何參考信號是所提出方法的主要優(yōu)勢。之后，從理論上證明了采用本文給出的超音速聲強(qiáng)計(jì)算得到的聲功率與采用有功聲強(qiáng)計(jì)算得到的聲功率的等價(jià)性，表明本文定義的超音速聲強(qiáng)確實(shí)具有聲強(qiáng)的含義。開展了以無限大障板上的點(diǎn)源和簡支板為聲源的數(shù)值仿真和以有限尺寸鋁板為對象的實(shí)驗(yàn)研究，比較了Williams定義的準(zhǔn)確超音速聲強(qiáng)與本文定義的近似超音速聲強(qiáng)，結(jié)果表明雖然近似超音速聲強(qiáng)的主瓣變寬且旁瓣變大，但是仍可以有效地識(shí)別出對應(yīng)遠(yuǎn)場聲輻射的聲源位置。