W－空間上的廣義收縮型映射族的唯一公共不動(dòng)點(diǎn)

樸勇杰，姜美蘭

（1.延邊大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系，吉林 延吉133002；2.延邊大學(xué)附屬中學(xué)，吉林 延吉 133002）

W－空間上的廣義收縮型映射族的唯一公共不動(dòng)點(diǎn)

樸勇杰1，姜美蘭2

（1.延邊大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系，吉林 延吉133002；2.延邊大學(xué)附屬中學(xué)，吉林 延吉 133002）

介紹了比度量空間和對(duì)稱空間更弱的W-空間的概念，并在W-空間上引進(jìn)了若干個(gè)具有廣義收縮型條件的映射族，得到了三個(gè)具有反交換性的廣義收縮型映射族的唯一公共不動(dòng)點(diǎn)的存在性定理.

W-空間；反交換映射；交換點(diǎn)；廣義收縮型；公共不動(dòng)點(diǎn)

1 預(yù)備知識(shí)

近年來(lái)很多研究者對(duì)度量空間、對(duì)稱空間等進(jìn)行了大量的討論，并給出了映射族的公共不動(dòng)點(diǎn)的唯一存在性問(wèn)題［1－4］，特別是文獻(xiàn)［5-7］通過(guò)在度量空間或?qū)ΨQ空間上引入反交換映射的概念，討論了公共不動(dòng)點(diǎn)的唯一存在性問(wèn)題，而文獻(xiàn)［8］給出了對(duì)稱空間上兩個(gè)自映射存在唯一公共不動(dòng)點(diǎn)的充分必要條件.在本文我們首先引進(jìn)了比對(duì)稱空間和度量空間更弱的一類空間，即W-空間，并在該空間上給出了一些公共不動(dòng)點(diǎn)的唯一存在性定理，這些結(jié)果推廣和改進(jìn)了很多相應(yīng)結(jié)果.然后在W-空間上進(jìn)一步得出滿足某種廣義收縮型條件的映射族的唯一公共不動(dòng)點(diǎn)的存在性定理.

定義1設(shè)X是非空集合，如果映射d：X×X→＋滿足d（x，y）＝0當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)，則稱（X，d）為W－空間.

定義2設(shè)f和ɡ是W-空間（X，d）上的兩個(gè)自映射，稱f和ɡ是反交換自映射，如果存在x∈X使得fɡx＝ɡfx，則fx＝ɡx.

定義3稱x∈X為W-空間（X，d）上的兩個(gè)自映射f和ɡ的交換點(diǎn)，如果滿足fɡx＝ɡfx.

注記1文獻(xiàn)［5-7］在對(duì)稱空間或度量空間上分別引進(jìn)了定義2和定義3.

2 唯一公共不動(dòng)點(diǎn)定理

綜上所述，ffu＝fu，即fu是f的不動(dòng)點(diǎn).又ɡfu＝ffu＝fu，于是fu是ɡ的不動(dòng)點(diǎn)，從而fu＝ɡu是f和ɡ的公共不動(dòng)點(diǎn).

下面證明唯一性，若f和ɡ存在兩個(gè)不同的公共不動(dòng)點(diǎn)u，v∈X，則d（u，v）＞0且d（v，u）＞0，于是

注記4如果d是對(duì)稱映射，則定理3只需要條件（3）或（4）.

注記5從定理1—3的證明可以看出，條件（1）—（4）中的部分項(xiàng)可用其他條件代替，但不影響其結(jié)論.

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Unique common fixed points for generalized contractive type maps onW-spaces

PIAO Yong－jie1，JIANG Mei-lan2

（1.Department of Mathematics，College of Science，Yanbian University，Yanji 133002，China；
2
.Subsidiary Senior School，Yanbian University，Yanji 133002，China）

The concept ofW-spaces，which is weaker than those of metric spaces and symmetric spaces，was introduced，and several maps with generalized contractive type conditions were introduced onW-spaces，and then three existent theorems of unique common fixed point for generalized contractive type maps possessing the converse commuting property were obtained inW-spaces.

W-space；converse commuting selfmaps；commuting point；generalized contractive type；common fixed point

O 177.91

110·1460

A

1000-1832（2011）03-0028-04

2010-03-17

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（10361005）；吉林省教育廳科研項(xiàng)目（吉教科合字［2011］第434號(hào)）.

樸勇杰（1962—），男，博士，教授，主要從事非線性理論和分析學(xué)研究.

陶 理）