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    關(guān)于(s〈c4,n〉)∪pm 的優(yōu)美性

    2011-12-26 08:59:04張志尚張慶成王春月
    關(guān)鍵詞:王春圖論標(biāo)號(hào)

    張志尚,張慶成,王春月

    (1.吉林工程技術(shù)師范學(xué)院應(yīng)用理學(xué)院,吉林 長春 130052;

    2.東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,吉林 長春 130024)

    關(guān)于(s〈c4,n〉)∪pm的優(yōu)美性

    張志尚1,張慶成2,王春月1

    (1.吉林工程技術(shù)師范學(xué)院應(yīng)用理學(xué)院,吉林 長春 130052;

    2.東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,吉林 長春 130024)

    研究了(s〈c4,n〉)∪pm的優(yōu)美性,證明了:(1)m=s-1時(shí),(s〈c4,n〉)∪pm是優(yōu)美的;(2)s=2t,m≥3+s時(shí),(s〈c4,n〉)∪pm是優(yōu)美的.其中:圖〈c4,n〉是將n個(gè)c4中的每一個(gè)c4的一個(gè)頂點(diǎn)粘接到一起得到的新圖,pm是m+1個(gè)頂點(diǎn)的簡單路.(s〈c4,n〉)∪pm是s個(gè)〈c4,n〉與一個(gè)pm的不交并.

    優(yōu)美標(biāo)號(hào);優(yōu)美圖;不交并;路

    1 預(yù)備知識(shí)

    圖的優(yōu)美性研究起源于ROSA猜想,優(yōu)美性術(shù)語由S.W.Golomb給出[1],目前已引起廣泛的關(guān)注和深入的研究,并在其他領(lǐng)域得到重要的應(yīng)用[2-3].R.Frucht關(guān)于特殊的m與n得到了圖cn∪pm是優(yōu)美的結(jié)論[4].董俊超證明了C4k∪C4k∪P4k+t(1≤t≤3)具有優(yōu)美性[5],張志尚等探討了C4k∪C4k∪Pm(m=1或m≥n+2)的優(yōu)美性[6].本文研究了一類新的連通圖與路的并的優(yōu)美性.文中涉及未定義的圖論術(shù)語均與文獻(xiàn)[2]中的意義相同.

    定義1對(duì)于一個(gè)圖G(V,E),如果對(duì)每一個(gè)v∈E,存在一個(gè)非負(fù)整數(shù)f(v)(稱為頂點(diǎn)v的標(biāo)號(hào)),使?jié)M足:(1)max{f(v)|v∈V}=|E(G)|;(2)?u,v∈E,如果u≠v,則f(u)≠f(v);(3)?e1,e2∈E(G),如果e1≠e2,則f′(e1)≠f′(e2).其中f′(e)=|f(u)-f(v)|,uv=e.則稱G為優(yōu)美圖,稱f為G的一個(gè)優(yōu)美值或優(yōu)美標(biāo)號(hào).

    定義2指定圖c4的一個(gè)頂點(diǎn)為根,將n個(gè)c4的根粘在一起得到的圖記為〈c4,n〉.粘結(jié)點(diǎn)記為b.〈c4,n〉中的每個(gè)c4稱為分支,相繼頂點(diǎn)記為:b,ui,vi,wi(i=1,2,…,n).pm是m+1個(gè)頂點(diǎn)的簡單通路.圖(s〈c4,n〉)∪pm是s個(gè)〈c4,n〉與一個(gè)pm的不交并.

    引理1[3]圖〈c4,n〉是優(yōu)美的,且〈c4,n〉的優(yōu)美標(biāo)號(hào)θ為:.引理2[7]?a∈{0,1,…,m},路pm=x0x1…xm存在一個(gè)優(yōu)美標(biāo)號(hào)g,使得g(x0)=a.

    2 主要結(jié)果及證明

    圖1 圖(4〈c4,3〉)∪p9 及其優(yōu)美標(biāo)號(hào)

    猜想 對(duì)?s≥2,?n,m,圖(s〈c4,n〉)∪pm是優(yōu)美的.

    [1] GOLOMB S W.How to number a graph[C]//READ R C,ed.In Graph Theory and Computing,New York:Academic Press,1972:23-37.

    [2] 馬克杰.優(yōu)美圖[M].北京:北京大學(xué)出版社,1991:1-180.

    [3] GALLIAN J A.A dynamic survey of graph labeling[J/OL].[2009-03-20].http:∥www.combinatorics.org/Surveys.

    [4] FRUCHT R,SALINAS L C.Graceful numbering of snakes with constraints on therst label[J].Ars Combin,1985,20(B):143-157.

    [5] 董俊超.C4k∪C4k∪P4k+t(1≤t≤3)的優(yōu)美性[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2000,17(1):133-134.

    [6] ZHANG ZHISHANG,WANG CHUNYUE.On the gracefulness of disjoint union graphC4n,C4nandPm[C]//IEEE Computer Society,ICIECS2009United States,IEEE,2009,3:2185-2187.

    [7] FLANDRIN F,F(xiàn)OURNIER I,GERMA A.Numotations gracieuses des chemins[J].Ars Combin,1983,16:149-181.

    [8] 張志尚,王春月,張慶成.關(guān)于~ωn∪~ωn∪Pm的優(yōu)美性[J].東北師大學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2010,42(4):30-34.

    On the gracefulness of(s〈c4,n〉)∪pm

    ZHANG Zhi-shang1,ZHANG Qing-cheng2,WANG Chun-yue1

    (1.School of Applied Science,Jilin Teachers Institute of Engineering and Technology,Changchun 130052,China;
    2.School of Mathematics and Statistics,Northeast Normal University,Changchun 130032,China)

    The article does the research on the gracefulness of(s〈c4,n〉)∪pm,which proves that(s〈c4,n〉)∪pmis graceful in case thatm=s-1,and the graph(s〈c4,n〉)∪pmis graceful in case thats=2t,m≥3+s,in which the graph〈c4,n〉is achieved by identifying a vertex of eachc4ofnc4s with one vertex;the graphpmis the path withm+1vertexes,and the graph(s〈c4,n〉)∪pmis the disjoint union of s〈c4,n〉s andpm.

    graceful label;graceful graph;disjoint union;path.

    O 157.9

    110·7470

    A

    1000-1832(2011)03-0014-05

    2010-11-05

    國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10871057);吉林省教育廳“十一五”課題[吉教科合字(2007第227號(hào))].

    張志尚(1962—),男,副教授,主要從事組合與圖論研究;通訊作者:張慶成(1960—),男,博士,副教授,主要從事李超代數(shù),組合與圖論研究.

    陶 理)

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