一類半正二階三點(diǎn)邊值問(wèn)題正解的存在性

許也平

（杭州廣播電視大學(xué)，浙江杭州 310012）

一類半正二階三點(diǎn)邊值問(wèn)題正解的存在性

許也平

（杭州廣播電視大學(xué)，浙江杭州 310012）

研究了一類半正二階非線性常微分方程的三點(diǎn)邊值問(wèn)題正解的存在性，利用Krasnosel'skii錐拉伸錐壓縮型不動(dòng)點(diǎn)定理得到了正解存在的兩個(gè)充分條件.

半正；三點(diǎn)邊值問(wèn)題；正解；存在性；不動(dòng)點(diǎn)定理

1 引言及引理

非線性常微分方程邊值問(wèn)題是微分方程領(lǐng)域中的一個(gè)重要研究課題，在非線性擴(kuò)散氣體動(dòng)力學(xué)、流體力學(xué)等學(xué)科中有重要應(yīng)用.近年來(lái)，許多作者研究了非線性常微分方程三點(diǎn)邊值問(wèn)題正解的存在性［1－5］.文獻(xiàn)［1，4－5］中研究的都是非線性項(xiàng)非負(fù)的情形，該文討論下列非線性二階三點(diǎn)邊值問(wèn)題

正解的存在性，其中λ＞0，0＜η＜1，0＜α＜1.

g∈C（［0，1］×［0，∞），R），且存在M＞0使

而由式（3）知問(wèn)題是半正的，關(guān)于半正二階三點(diǎn)邊值正解存在性問(wèn)題的研究較少.最近文獻(xiàn)［6］研究了一類非線性二階三點(diǎn)邊值問(wèn)題

其中λ＞0，α＞0，0＜η＜1/α.文獻(xiàn)［7］研究了一類非線性二階三點(diǎn)邊值問(wèn)題

其中λ＞0，0＜η＜1，0＜α＜1.受文獻(xiàn)［6－7］的啟發(fā)，在此研究半正問(wèn)題（1）正解的存在性.注意到該文的方程與文［6］相同而邊值條件與文［7］相同.該文的目的是證明，若f在無(wú)窮遠(yuǎn)處是超線性（或次線性）的，那么當(dāng)λ充分小（或充分大）時(shí)邊值問(wèn)題式（1）至少有一正解.這里正解是指滿足u（t）＞0，?t∈（0，1）的解.下面的Krasnosel’skii錐拉伸錐壓縮型不動(dòng)點(diǎn)定理在該文中起關(guān)鍵作用.其證明可參見(jiàn)文獻(xiàn)［8］.

定理1 設(shè)E是Banach空間，K?E是E中的錐.假設(shè)Ω1及Ω2是E的開(kāi)子集，0∈Ω1且?Ω2.T：K∩＼Ω1）→K是全連續(xù)算子.如果以下兩條件之一成立：

（1）Tu≤u，?u∈K∩?Ω1；Tu≥u，?u∈K∩?Ω2.

（2）Tu≤u，?u∈K∩?Ω2；Tu≥u，?u∈K∩?Ω1.

那么T在K∩＼Ω1）中至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

先給出以下條件：

（H1）0＜η＜1，0＜α＜1；

引理2［7］設(shè)（H1）成立，則對(duì)y∈C＋［0，1］邊值問(wèn)題式（4）的唯一解u≥0；進(jìn)一步，若存在t0∈（0，1）使y（t0）＞0，則u（t）＞0，0＜t＜1.

引理3 設(shè)（H1）成立，則對(duì)y∈C＋［0，1］，邊值問(wèn)題式（4）的唯一解u滿足u（t）≥tu，0≤t≤1.

證明 設(shè)邊值問(wèn)題（4）相應(yīng)的齊次方程的Green函數(shù)為G（t，s），則

引理5［6］設(shè)（H2）成立，定義F：［0，∞）→［0，∞）為

引理7［6］設(shè)式（2）（3）成立，那么由式（7）所定義的算子是全連續(xù)的且Tλ：K→K.

2 主要結(jié)果及證明

下面來(lái)敘述并證明該文的主要結(jié)果.

定理2 設(shè)式（2）（3）及（H1）成立，那么當(dāng)λ充分小時(shí)，邊值問(wèn)題式（1）至少有一正解.

證明 令λ滿足

［1］Khan A，Rafique M.Existence and multiplicity results for some three－point boundary value problems［J］.Nonl Anal，2007，66（8）：1686－1697.

［2］Liu Bingmei，Liu Lishan，Wu Yonghong.Positive solutions for singular second order three－point boundary value problems［J］.Nonl A－nal，2007，66（12）：2756－2766.

［3］Zhang Qiumei，Jiang Daqing.Multiple solutions to semipositone Dirichlet boundary value problems with singular dependent nonlinearities for second order three－point differential equations［J］.Comput Math Appl，2010，59（8）：2516－2527.

［4］Ma Ruyun.Positive solutions of a nonlinear three－point boundary value problems［J］.Electron J Differential Equations，1999，1999（34）：1－8.

［5］Liu Bing.Positive solutions of a nonlinear three－point boundary value problem［J］.Appl Mathe Comput，2002，132（1）：11－28.

［6］孫永平.一類半正二階三點(diǎn)邊值問(wèn)題正解的存在性［J］.浙江師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2004，27（4）：329－333.

［7］劉玉玲.一類半正二階三點(diǎn)邊值問(wèn)題的正解存在性［J］.紡織高?；A(chǔ)科學(xué)學(xué)報(bào)，2006，19（3）：256－263.

［8］郭大鈞.非線性泛函分析［M］.濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，1985：310－311.

Existence of Positive Solution for A Semi－Positive Second－Order Three－Point Boundary Value Problem

XU Ye－ping

（Department of Fundamental Courses，Hangzhou Radio ＆TV University，Hangzhou 310012，China）

This paper investigated the existence of positive solutions for a semi－positone second－order three－point boundary value problem and obtained two sufficient conditions that guarantee the existence of the positive solutions by using Krasnosel’skii fixed point theorem.

semi－positone；three－point boundary value problem；positive solutions；existence；fixed point theorem

O175.8 MSC2010：34B10；34B15；34B18

A

1674－232X（2011）05－0411－05

10.3969/j.issn.1674－232X.2011.05.006

2011－03－11

浙江省教育廳科研基金項(xiàng)目（Y200804663）.

許也平（1962—），男，浙江蕭山人，副教授，主要從事微分方程及其應(yīng)用研究.E－mail：xuyep＠126.com